В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 107
Текст из файла (страница 107)
и„1и дажР В((' ноы('.~)в кото!)Ых могбт ООВпвднть) и что 17 ВЛП Ильпн, Э.!1 Позняк, часть! Г:1. 11 ФУНКНИИ НЕСКОЛЬКИХ НЕРЕМЕННЫХ зта (11 — 1)-я частная производная имеет в точке ЛХ частнук) производную по аргументу:г,,„, то указаннук) частную произ- ВОдну1О называя)т 1)-11 частнОй Н1)ои')водной (или частнОй производной и-го порядка) функции и = 1(х), ха....,.х,„) в точ- ке Л)( по ар(ументам х„,х;,,...,х;„,,х, Таким образом, мы вводим понятие 1),-й частной производной индукнпипно, перехо- дя От первой) ч к;гной производной к по( и.
(уклцим. Соотноше- ние. определяющее 1);и частную производнук) по аргументам хн, .'еа) ° °..., хы 1, х(„, ихп)ет ВИД д" и д ) д" Если не все индексы 11, 1 >,..., )и Совпадают между собой., то частная производная называется с.((сп((и(но(1 частной производной 1);го порядка. Так как частная производ- ная ())ункнии по аргумент) х, Опр(.д(ля()тся как Обыкновенная производяая функции одной переменной х, при фиксирован- ных значениях остальных переменных, то методика вычисления частных прои:)водных высши( порядков предполагает умение вычислять только обыкновенные производные первого поряд- ка. В качестве примера вычи( ~п(м частные производные второго порядка (1)ункцин и = агс1и —.
Имеем и ди у ди х дх х' з- у' ' ду х'-' з- у) ' д и тху д'и х — у )х) 1 ()))" дхду (х) 1 у)))' ди х — у ди еху д(дх (х)З „)))' д 2 (х) 11)))' В рас()мОтр()нном примере схи'п1ашп*п! '1астньи'. Производны(1 ди ди и ' равны друг другу. Вообще говоря, значения смс- ду дг д,х ду )Ванных производных зависят от порядка, в котором произво- дятся последовательные дифференцирования.
Убедимся, наприди ди, мер, что смешанные частные производные, и ' функпии ду дх дх ду ) ) ху ',, ', при (г +у фО), з у 0 пр 1 +;1'=О в точке 10, 0) существук)т, но не равны друг другу . 1ействитель- но. (х); у'у) д) 0 при хе + 11в = О. ! ь пвоизводпыв и д!ивов! кнциллы высших погядков о(о Поэтому д» д» дг =0. ~л» дх ~ >пп дудх,--о, у=о у- о у д'ы ПУОИОдя аналогичные вы'1ис'пс!Иия, ПОлу 1иь1 = 1. ~» ду »=о,у=о дга, да Таким образом, в точке [0,0),' ~, ' . Выяс;ним лодг.
ду ду дх От«то и!ь«! условия независиг«к:ти зна«гний емец!анных п(>оизводных От порядка, в котором п(юизво.(я!гя по<лс!дева г<л!— ные дифферспцпсрования. Предварительно введем понятие п, раз дифференцируемой функции нес>кольких переменных. й>ункгция !С = С [;1>1, сгг...., Х»с) Нагксаа<.П<ая и. р а г д И ф ф <в 0 0 0 р с н ц и р у с лс о й в точке Ма[!к!,д>2,..., х,»), если всс частныс прс>изввдные (г! — 1)-го порядка этой' функции, являются диффаранцссрусмылли функциялли в точке ЛХо. Отметим следуюгцее утверждение.
Для гогого чгиобьс функция и = 1(хг, х2,... Лх>с>) была, и Раз дссффауанЦиРУглсой в !почка 0 0 0 Мо[х!.хг,...,<гп,), достипгочно, чтс>бы вса сс частные производные и-гс> порядки бьсли непрерывными в точка ЛХо. Справедливость э~ого у тве(»кдс.ни>1 выт<!к!1<гт и;! О<и>ед<!ленин диффсц>енцируемос:ти функции и теоремы 14.10 о достаточных условиях дифференцируемости. Теорема 11.13. Пусть функц<ся, и = ф(х,у) двиэюды д<сффаранц<срусми в точка Мо(хо, уо). Тогда в этой точка частньгс (2(,(2) >11>с>извс>днма („и фу„, равны..
Д о к а ! а т е л ь с т в о. Так как функция и = 1(х., у) дважды дифференцируема в точке ЛХо[.хо. Уо), то частные производные Д и ~„' определены в некоторой окрестности точки Мо и представляют собой дифференцирус>х!ые функции в этой точи<!. Рас>сх!о П>им вг 0>ажение Ф = У [хо + 6: Уо + 6) — Х [!со + 6, Уо) — ф [!хо, Уо + 6) + Х [и>о, Уо): (14.38) где 6 "любое столь ма:п>е число, !то точка ЛХ(х>о+ 6,, уо+ 6) на:<одится в указанной окрес!нос! и го тки Мо. Выражение Ф можно рассматривать как нрпр«с«ение С'.<<С> =- <р(<хе + 6) — <С>(хО) диффер<гнцируемой на сегменте [схо„хо+6) функции <р[х) = Х(х> уо+ + И,) — Х (х, уо) олнои переменной;г.
Поэтому по формуле Пагранжа. обозна !ая через д некоторое число из интервала () ( д ( 1, 17* 616 ФУНКНИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Г:!. 1! можем записать Ф = яс» = р'(хо+ 021) >1 = [«г(хо+ 06; уо+ 6) — «, (хо+ О!И уо)]11 = =- О>(>о+06;Уо+6) — «>(>о Уо)] — [«>(хо+0»,уо) — «,'(хо,уо)])6. (14.39) Так как частная производная «, является дифференцируекшй в тОчкР ЛХО !]>упкцией, то [«,.,,'(хо + 06: Уо + )1) — «'.(хо: Уо)] = = «х>~(хо, Уо)06+ «х~(хоц!2о)11+ О>0» + А»: [«г(х>о + О»,:Уо) «я(хо Уо)] «хк (хо: Уо)06-1- О20>1 где г>1, >01 и оя бесконечно малые прп 6 — > О функции.
ПодстаВляя найдРнныР Выра>кРни51 для [«,'(:го + 06; Уо + )1) —,1'в(:1:о. Уо)] и [Д(хо + 06., уо) — Д(хо; уо)] в формулу (14.39), получим Ф = [«ф(хо:уо) +о]6; (14.40) где о = О>0+ >О! — ОВО бесконечно мец>ая при 6 — > 0 функция. С другой стороны. выражение Ф, определяемое (14.38), ъ!ожно РассматуиВЯть как НРИРЯ1цение .'ЦР = !)>(Уо + 6) — !!>(Уо) Лиф!]>еренцируеъи>й на сегменте [УО,УО+ 6] функции 1(>(у) = «(хО + +6, у) — «(хо, у). Применяя формулу Пагранжа и учитывая дифференцируемость частной производной «,', в точке ЛХо, мы получим совершенно аналогично предыдущему следун>щее выражение для Ф: Ф = [«©„) (51:о., уо) т Я4> ., (14.41) где Д бесконечно малая при 6 — > 0 функция, Приравнивая правые части соотношений (14.40) и (14.41) и сокращая обе части полученно>-о равенства на 6, найдем.
>то «го (хо, уо) + с! = 2 . - . . . !2) ,. = «р, (хгв уо) +,3. Так кяк г> и >3 бесконечно мяльн; при 6 — > 0 фУнкцпи, го из поспеднего Равепствв с>п дУет. что «,, (хо. Уо) = (2) !я) = «,, (хо, уо). Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е. Теорехш 14.13 утверждает, что в данной точке ЛХо(хо, уо) имеет место равенство «,„= «ог, если в этой (Я) !2! точке диффереицируемы «,'. и «,'. Из диффсренцируемо! ти «.', и В точке ЛХо Выт!>ка>г1' сущестВОВаниР В а!ПОЙ шочке нссх !астных производных второго порядка,.
Однако равенство «,» 62) !'2) икгеет место и при у! чОВНН сущРстВОВяния >!ишь прОизВОдн1!х «ху и «~г, но при дополнительном требовании непрерывности (2) !2) 1 б П1'ОИЗВОДПЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 517 этих производных в рассматриваемой точке. Именно, справедливо (ледун>(ц(з('. Ттв(71>ждени(г. Л77сть в неко(нора(1 окресппноспт, гггочк>г( Л>ХО(>7>О> (ХО) функцогх 'и — Х(х> *(7) г(меегп "(асгпньи'. 7(РО(гзе(гдг(ыс Хх, Ху, ~агу ., Хух . Пгдспггч (2) (2) кРоме того, 7(Хгогкзоодгеые ~ху и ~ух неиРсРьш|(ы, в точке МЕО. (2) (2) (2) (2) 'Холода в оо(ой точке Ххг = Хуо . Для доказательства восполгнуг моя выражс вием Ф., определенным соотношением (14.38). Из (14.39) вытекаег, 'гго Ф пре„(с>виляет собой умноженнуго на Ь разность значений функции ф (х, у) в точках (хо + фЬ, уо + Ь) и (хо Ф йЬ.уо) Применяя к гной разности формулу Лагранжа коне шых приращений по переменной у на сегменге ]уо, уо -(- Ь], полу'гим Ф = 7'(."„'(хо+у)г,ус+ д~)г)7>г, гт(е О < дг < 1.
В силу непрерывности Х,„в кочке АХо(хо, уо), из последнего равенства понг л>"(аем Ф = ~Х;„'(хг>, уо) -г- о(7>) ~Ь, где н(7>) — > О при Ь вЂ” > О. С другой стороны, эта >ке величина Ф представляет собой умноженную на Ь разность значений функции ф>(х, у) в точках (хо + Ь, уо -г- йгЬ) и (хо, Уо+д>7>). ПРименка к этой Разнос>и фоРмглУ ЛагРанжа конечных пРиращений по переменной х на г:егменге (хо, а'о-(-Ь] и учигывая неггрерывнг>сть (7! (цт в точке ЬХо(хо, уо), получим Ф = (7'я~, (хо, Уо) Ф Д(7>)1 7>, где д(Ь) — > О при Ь вЂ” > О. Приравнивая последние два выражения для Ф и рассуждая так же, как и в конце доказательства теоремы 14.13, мы убедимся в справедливосги нужно~о нам равенства Х,гг (хо,, уо) = Х„(то, уо).
Докажем теперь теорему о независимости значения любой смешаяной гастной произвочной и-го порядка от порядка, в котором производятся последовательные диффере>щиров(шия. Теорема 14.14. Пуслпь фупкипя и = 7(хг, хг,, х„,) и раз дифферснцпруема в елочке ЬХо(хг, х,.....г„,). 1огда в стоп глочкс влечение любой смегиаяной час>в>>ой производной п-ео порядка не зависпт от порядка, в котором производятся последовательные дпфферснцпрованпя. Д о к а з а т е л ь с т и о.
Очевидно, достагочно доказать независимость значения любой и-й г>ьгегггшшой производной от порядка проведения двух последовательных дифференцировааяй. Иными с>авами, достаточно доказать равенспю дхь, ...дхн,дхн...дхч дх,„...дх,„д:г,,, ...дх„' (14.42) бэ18 Г:1. 11 ЭУНКН14Н НКСКОЛЬКИХ НКРКМКННЫХ де†~ ь и 1 асс мотрим функцию .
Эта функция представляет собой двадл,, ...дх, жды дифференцируемую функцию переменыык ха и хп э, . Поэтому, в силу теоремы 14.13, дьы длзь Отсюда и вытекает справедливость равенсэ ва (14.42). Теорема доказана. Отметим. что в <илучае и, ргсз .1ифференцируемой в точке ЛХа функции и = 1'(х1, хэ,..., хю) ткэбукз ее част(сую производную п,-го порядка можно записать в виде д и де 'дх, е дх",„"' гДН о1,ов,...,енп Целые числа, Удовлетво1>ЯК~И1ие Утщовинм 0 ( сн ( пэ о1 + ая +... + еиа =. я. 2.
Дифференциалы высших порядков. Выпи-. мы исполь:зовнли для обозначения дифференциалов аргументов функции и — ('(х1, хэ,...,х,л) и для обозначения дифферен- циала самой этой функции символы г(х1, с(хэ,...,г1хю и с1п со- ответственно. Теперь нам придется использовать ддя обозначения диф- ференциалов аргументов указанной функции и дифференциа- ла самой этой функции и другие символы.
В частности, мы будем обо погнать дифференциалы аргументов функппи и у (х1, хя,,, .. худ) и дифференциал самой этой функции симво- лами Лх1. Лхэ,..., Лхсп и би соответственно. В этих обозначениях ипвариынтнос по форхп1 выражение для первого диффереш1иала этой функции (14.20) (см. и. 5 8 4) будет иметь вид дв - да- ди би = —,. бх ~ + — б:гв +... + — Бхю. дс1 дхе дх,„, Возвращаясь к прежним обозначениям, рассмотрим выраже- ние (11.20) для первого дифференциала дифференцируетюй в даННОй ТОЧКЕ М(ХЫГя,.... Хп,) фуНКцИИ и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
