В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU) (1108889), страница 116
Текст из файла (страница 116)
элехпнты сходя!цейс я ми!о!свой пес"и довательности ( ) (хь) ) бдс>в:и твс>- ряют неравенствам (14.121), то и предел ~'(>го) этой пос>ледовательностп удовлетворяет неравенствам сл < 1(хо) < м (см. гл, 3, ) Так как исходное множество О является замкнутым, то нрелел хе но всяком случае нринадлежят О. г 7 гглдинитный мнтод поиски вкотгнмт мл 559 следствие 2 из теоремы 3.13)„ а зто и означает. что точка хц принял>ижит мио)кс)стВ1 (,1. Дс)казан)лы:1ВО замк1Г) тое1н мно- ЖСЮТВВ Сг' ЗВВЕРПШНО.
Итак, хсножеетво б) Всех точек х из множества б), для кОторых справедливы нераве)п:тва (14.120), является замкнутым и ограниченным. Докажем теперь следующую лемму. Лемма 6. Прс>ссг)> Яуунл:ция 1(сх) с>слъно с>)яп)укла на ввтрклом замкнртом мнг>жегтве Щ х — лво>бая то >ка бУ. м — л)обс>е положительное члсело, еиллнол Ьх обозначаесп разьин>ть Ьх = Рд(х — сг р ас1 у(э>)) — х.
(14.122) Тогда сприведлисн) нерас>енс>тс>сх (Огас( 1(х), Ьэ:) < — (,Ьх!. (14. 123) >оеэ)11 же. кРоме то>с>, мноэн;ествв Сч) вгРа)ихчеэи> и точка х пр>инадланент подмноэюевтвр б~з тех точек Я, для которых еправедлавьс неуювенвтвв (14.120) пра р > )п)пу(х), то наб- хнО де>пся. строго т>лоэкилтелии)ог сл>ело у такое, чп)в справедливо неравенвтвс> (14.
124) ~Ьх, '> у. Д о к а з а т е л ь е т в о. Докажем сначала неравенство (14.123). Фиксируем произвольну)о точку х множества бУ и. привлекая лемму 4, запишем неравенс:тво (14.117). взяв в нем вместо х точку х — О бгаду(х), а вместо 17 точку х. При атом полу шм неравенство (х — сг.рас(У(х) — Ро(х — о.бгас(У(х)),х — Рд(х — сюбгайу(х))) < О, которое е учетом обозначения Ьх = Рс)(х — О . гас11'(х)) — х перепив)сггея в виде ( — О дгас()(х) — Ьэд — Ьх) < О. Из псктеднего неравенства и из свойств скалярного произведения вытекает, что о(нгас(>'(х).
Ьх) + )Ьх)а < О, а зто и приводит к неравенству (14.123). Остается дока:)ать, что при дополнитс льном предположшпш о том, что С) ограничено и что:1: принадлежит подмножеству ф существует у > 0 такое, что с:праведливо неравенгтво (14.124). 560 ех нкции нкскольких пигиминных Гл. )! Рассыотриь( н<)отрш<ательную ф1нкцню то.(кн:г епда )Ьх) = ~Р<~(х — а . 6га(1 Л (х)) — сг~. (14.125) Убедимся в том„что эта функпия является непрерывной на множестве Я функцией точки х.
Докажет! сначьпа. что в()кторная функция Рс)(х) явля<.пя непрерывной фупкпией точки х. Для этого достаточно доказать н()рав()яство ~РО( + С)<: ) — Р(хЯ < ~С.'!, ~, (14.126) справедливое для любых векторов х и Ьх. В снл1 ~~~~~ 4 справедливы неравенства (х — Р<)(х), Рс)(х + Ьх) — Р<)(х)) < О, (х+ Ьх — Р<)(«)+ (1 х), Р<4(х) — Р<2(х+ ()х)) < О. 1Лспользуя этп неравенства н неравенство КошииБуняковского, пол1чим ц()по )ку соотнопп)ннй ~Р4( +~1х) — Ра(х)Р = = (1с~(х+ ~х) — Рс~(х), Р<4(х + !.'!х) — Р<4(х)) = = (Рс~(х+ Ьх) — х, Р<4(х+ Ьх) — Р<)(х)) + +(х — Р4(х).,Р<4(х+(хх) — Рс)(х)) < < (Р~ (х + Ьх) — х, Рс) (х + Ьх) — Р~ (х)) = = (Рс)(х+ Ьх) —:г — Ьх, Рс)(х + Ьх) — Рс)(х)) + + (Ьх, Р<4(х+ Ьх) — Рд(х)) < (Ьх, Р~(х+ Ьх) — Ро(х)) < < ~С1х:~.
~РЮ(! + Ьх) — Р<)(с<Я. из которой н высекает неравенство (14.126). Итак. доказано, что Рс~(х) является непрерывной векторной <))1 нкци()й точки х. Из сильной выпуклости )'(х) па О вытекает, что функция с< ига<1 ((!) такж() явля()тся непрерывно)( на С~ векторной функцией точки х. Но тогда из теоремы о пепр<)рывности <ложной функции и непрерывности разности непрерывных функций вытекает, что и функция Ро(<)! — о .
ига<( 1(х)) — <х является непрерывной на множестве Я векторной функцией точки х. гглДиентный метОД ИОискл нкст1'ем)умл 561 17 540д)О!ь ук?)заннОЙ векторной функ?1?ш, т. ?ь скалярная фт И«- пня (14.125), тем более является непрерывной на множестве О, а потому и на его подмножестве © Импе. фупкп?ля (14.125) не??р!)рь??з?!а и неотр?щатсльна вподу на замк??ртом ?)?Ра!?1?чен?«)к! Множьктв!! ~в).
В таком ! '!) чае по второй теореме Вейерштрасса (см. теорему 14.7) эта функпия достнгт«т на кшожсстве 1) сво!)го неотринвнельного минима.?ь- НОГО зна'«гния 1. Ъ ?са!за????ОИ ми?п?малы1О?) 3??а'??з????е 1' зав!)Док?О строго поло)кительно. Ибо если бы у равнялось ну;по, то на множестве сл) нашлась бы точка:гв такая, что Р?)(хо — с) 8?а?1 1'(:л)о))— — хв = О, а это означало бы в силУ леммы 5, что в этой точке хе множества Я функпия ф(х) имеет единственный на множестве С) локальный минимум (В тО В)лзм5! как этОт миннь?ум ?10 0?Он!долению Я лежит вне ь)). Итак, у > О, и неравенство (14.124) доказано.
Лемма 6 полностью доказана, Лемма 7. Пусть функция 1'(х) сильно вьшухла на выпуклом замкнутом ллножгствс ?в1, х — л)абая точка ?г, ы — л?обое число. удовлетворяющее неравгнстшлм, (14.115), лах разность в?!да (14.122). Тогда при перел?лоде из точки х в и?очку х~ = Р?)(??; — о . Йга?1 1'(лс)) значглше. функции ?'(?с) не возрасп!агп), пр?гнем ) ~ ')лз 2)~ (14. 127) 71 У.) ') Из (14.11э) вытекает, что ( — — — ! > О. О 2 Есл?л же, кроме того, мноою)сс?пво С~ ограничглн) и точка х прлгнадлсэюитп подмно?всеству 1) тех ?почек Я, для кг)?ш)рых справедливо неравенство (14.120) при )л > п))п ?'(х), то н?4)ага?2 вене?пво (14.127) псрехг)дат в нерезво)осте«) К')-Х(ха) >(-,',— — ') '. (14.128) где у > О пошпоянпая из леммлл 6. Д О к а:з а т е л ь с г в о.
Достаточно для лкк)ой точки х множества Я) установить неравенство (14.127), пбо нз этого неравенства и и:з неравенства (14.124) сразу вытекает и неравенство (14.128) (для точек х. принадлежащих б), при у?ловпи, что Я ограничено) Сначала докажем неравенство (14.127) для случая, когда точка х является в н у т р е н н е й точкой множества Я.
Имея в виду. что точка х' = Р?2(х — о Йта?11(х)) принадлежит мно- 562 Г:1. » эа нкпии нкскольких пвввмкнных жеству с?, на ко!Ором функпия «(1:) сильно Выпукла, выразим значение «(зг') по формуле Тейлора с Пентром в точке х, взяв остаточный член Е?В(зса) в форме Лагранжа. При этом получим «(х") = «(х) + (нгаг?«(х),Ьх) + -1?1«(х+?ЕА)х), (14129) где А>х = х~ — Аг = Рг?(х — 11 вегас) «(х)) — х, 0 < ?Е < 1.
Испо»аз>я неравенство (14.123) и право> н111»звзззп тво (14.104). мы по.>учим из формулы Тейлора (14.129) «(:г ) — «(х) < — — !А>>х! + — !Ьх!, так чго для случая внутреннейз точки х неравенство (14.127) доказано. П>стз. т11>пзрь:г явля>>тся г р и п и ч н О й то зкоЙ множества (,).
По Определззни>о гра,пичной точки найд1>тся посчедовательность (ха) внУгРеинпх >очек множества С>, скоДЯпзансЯ к х. Для каждой точки х„по формуле Тейлора с пентром в этой точке мы полъчим «(х ) = «(х„) + (ега11 «(х„), х — х„) + — 11 «[х, + ?Е„(х — ха)), (14.130) гдеО<О» <1. Учитывая. что правое неравенство (14.104) справедливо для 1Е «В л1ОООЙ то 1ке мпй?КестВВ ГЗ и 1ТО яга11 «(х) яВля1'.Тся не10>е" рывной Векторной фзнкз>ией точки х на множестве СЕ., мы по.зу— чим, что в пределе при и — > оо из соотношения (14.130) вытекает справедливость неравеш:тва (14.127) для граничной точки х множества А,>. Лемма 1 доказана. Перейдем теперь незюсредственно к доказательству основной теоремь1.
Сначала докажем основнун> теорему при дополнительнсаз предположении о том. что замкнутое выпуклое лзножество 1Е ЯВЛ>и",хся 1акж11 О Г р а н и ч 11 и н ы и. Возьмем произвольнуго точку х~ множества с>> и составим изейаз>пошзу>о пег.пДовазе.зьность ?сг») >очек, оп1ЯДОО>леан>к рекуррентным соотнопьением (14.116). при узловии, что число о удовлетворяет неравенствам (14.115) Из леммы 7, а точнее пз неравенства (14.127), сразу же вытекает. что «(гь) «(11>А>-1) ~~ (, ) ° ~>гА.
— хзз-1~ э~ О. 1'1 Ь '1 Таким образом, пскледовательность («'(:г>„,)) является невозрастак>>ПА'.Й. Так как. кром>'. того, эта пзкледоват>зльность ограничзз— ГГЛДИЕНТНЫЙ МЕТОД НОИСКЛ ЭКСТНЕМУМЛ 17 на снизу (минимальным значением т функции 1(<г) на множеств<1 Я), го она явля<ежи сводящейся (см, п<о1н<мб 3.15 из г:1.
3). Ооозпашм предел последовательности (1(х„)) через р. Ясно, что р > гп. <у<е т — миниалальное значение ((х) па множестве < 7. Кроме того. поскольку все члены невозрастающей сводящейся последовательности не мепыпе ее предела (см. замечание 3 к теореме 3.15, гл. 3), то д л я в с <1 к номеров 1 справедливо неравенство У(: Ф) >1. (14.131) .докажем, что д:<я предела 7< справедливо равенство р = п< = =- шюре(х). х с<1 Предположим, что это равенство песправедплво, т. е. предположим, что р > гн, Тогда, с<в<и обозначить через и максиМа.<ЬПОЕ ЗНаЧ<<НИЕ Г(Х) На МНОжс<<тне <1, а <ь< -- ПОдМНОжЕСтВО тек точек <1, для которых справедливы неравен<'тва (14.120), то в силу леммы 7 найдется строго положительная постоянная 7 такая, что справедливо неравенство (14.128),которое приводит к следующему неравенству: 7 (хь) — < (хьт ) > (- — 2 ) 'У > О, (14.
132) справедливому для любого номера й. Суммируя неравенства (14.132), записанные для номеров 1к равных 1, 2, 3,..., (и — 1), мы полу <им. что для любого номера и 1(х1) — Т(ха) > (и — 1) ( — — — 1 7 1 7<е 2 о 2 или, что то же самое, ~(х„) < ((~~) — (и — 1) ( — '') ув (14,132') Неравенства (14.132'), справедливые для любого номера п„противоречат неравенству (14.131).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
