Я.И. Френкель - Кинетическая теория жидкостей (1108150), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Интегрирование по времени может быть выражено через оператор, одра> И с и 1 иый А или Л . В самом деле, так как — 1 $'Ж = $' и -„- = — (Л вЂ” 1), >Тс >' бс ~ т>с)г =. т(Л вЂ” 1) ' У == с,(Аа — 1) ' т'. Заменяя —, и — на 2С, и 2С„' Ва и В на 21с и 2и„с,. на с,=> —,"; (1 1 1 1 а и У па 'с,„и (>и, мы снова приходим к соотношению где М определен как оператор, обратный оператору М'а= — '(А,— 1) '+(С, +Се(1 — А„')) а, М а = —, (Л, — 1) '+ [С + Се (1 — А„')) а, ~а где А =1+с — ~с="— '~ и А,=1+с,—,.
В предельном случае с,.—.0 й т р И соответствующем отсутствию обратимой текучести, Л = А ' = 1 и М а= —,(А — 1) а+ — = —, ((Аа — 1) >+1). 'Умножение этого оператора на Л, — 1 дает ((Л, — 1) '+ Ц (Л, — 1) = — 1 + Л, — 1 = А,, (Л,— 1) '+ 1 =Л (Л вЂ” 1) '=(1 — А,') ', так что в рассматриваемом частном случае М сводится ь С,(1 — Л, ) в соглас>пс с формулой (29а). В противоположном случае отсутствии обычной (необратимой) текучести мы должны положить с = со; при этом оператор Аа — 1 обрасцаотся в беско- раенроетранение колебаний е ииор1днмк телик ть, так что первый член в выражении (30а) отпадает и М прпоптакой же вид, как и л. в форл>ус>е (28)>).
>>а мя релаксации и ооеих формулах, равное =-=- в одном случае и а в другом, может иметь различные значения. В том случае, однако, структурные вязкс>сти (объемная и сдвпгснсап) обусловлены о;спим же механизмом, например ориентацией люлекул, оба времени рс>и>- могут совпадать друг с другом. 3, Применение общей теории к распространению колебаний в аморфных телах яством случае гармонического колебательного движения, напри>пар спространенпи звуковых волн, зависимость дефорл>аций и ншц>я-к>- 'времени определяется множителем еа"'", так что дифферепцпронюпп> грасрование по времени сводится к умножшшю и дслешпо на и .
ом операторы Л, й и М сводятся к комплексным миоиспте,ши, епио: е отсутствия обратимой текучести и М'= —., + >шс>П, па >+ 1 1+ —. >шс ее наличия. лоских волн, распространяющихся в исправлении оси х, зависн- Ични гм и /и от координат и времени определяется множптелс и и обозначает комплексную скорость распространения волн, оп1к' =1/ ~ формулой о=1/ —, где >т' равно М для поперечных колебашгй т о для продольных. Полагая >у =- лтест, получаем 1 о Р Л 1>Л~ З в! ,.". ~Ф."':"*'„-;:-: атйуда причем 1 саз р = т1 ) 16ет (33а) е+ 1 1+ —.
юкт — = оз Втт — соз — Р = ш тн — айа 2и .а/р р . ° /р . т ГЛ '2 = Рй 2. (34) С„ ~Ь' т = (С, + С,).е. довательно т, (1+ — ) шт (Зба) и, следовательно, (35Ь) та в этом случае я =т. —, штт Се ='С, ш 1 В 1 СВ ш-' 2 е 2 р' (Зба) 266 М'силовое Звивееиие в веидвоетие и ие мееоиичесеие свойства т т/1 рк сост . т т/1 — сост Саз 2=р/,, Я)п 2=р' 2 з Длина волны Х н коэффициент паглощенил (амплитудный) р на единице пути определяются формулами Особенно просто выражается при этом коэффициент поглощения на . пути, равном длине волны )с и=~Х=2к1й т. 2' (34а) При малости угла р эта формула сводятся к и~ту к1Ку. й)ы применим эти формулы прежде всего к простейшему случаю распространения поперечных колебаний в среде, абладакнцей лишь обычной сдвиговой упругостью С(=-С,) н вязкостью рс.
К этом случае И=Я= С 1 1+ —. Вше Прп штш«1 (обычные малавязкпе жидкости, колебания не очеш высокой частоты) затухание волн оказывается настолько значительным (и'ж2к), что о распространении нх можно говорить лить чисто формаль. ным образом.
Наоборот, при шт)~1 (амарфные тела, находящиеся в почти твердом состоянии, т. е. облздаеощие чрезвычайно большой вязкостыс прн достаточно большой частоте колооаний) мы имеем, с точностью да величин 1 шх ыС первого порядка относительно —, согласно (34) и (34Ь), (и,)= — — — — 'т1/ —, шс 2и Р р' так же как и при отсутствии вязкости, и Рисироетриивиив иовебоиид в сиор1Виме тьвое 2и — — — период колебании. Таким образом, в рассматриваемом случае ш ициент поглощения поперечных волн оказывается обратно проиональн вязкости среды (тогда как в случае продольных волн стет обычно пряма пропорциональна вязкости, гм. ниже).
и учете обратимой текучести мы должны заменить выраженне (32) ут тем, которое определяется формулой (32а). посмотрим сначала для простоты случай практически твердого тела, положим т =- со. Выражение (32а) сводится при этом к ли шт,))1, то мы имеем, с точностью до величии первого порядка 1 ти атнасительно —: штт ЛХ = Ст + Сз (1 + — ) = Ст + Сз+ 1 — ', прость распространения волн, равная обратному значению веществевасти — [согласна формуле (34)), сводится в том же прпбли'кенни 1 о~ Чуню вм т.
е. к „-Сх+Сз — мгновеннын модуль упругости. лн мт .«1, то М С,+Сер Ротор»стран»нос колебаний о оиорйнык толок Х+оЛХ К + Л, + 20 1 ! 3„ы с >) 1, ытз,~~( 1. В этом случае Усилооос доил»инне в э»иди»стих и их лсхонииескис соойстоо Таким образом, характер Распространения обусловливается в атом случае не только объемными свойствами тела, ат которых зависит комплексный модуль сжимаемости Х, на исдвиговымн свойствами, от которых зависит ЛХ. Для простоты ограничимся случаем тела, лишенного обратимой теку. чести, т. е.
воспользуемся выражением (32) для ЛХ. Что же касается величины Х,, то она выражается совершенно таким же образом, как и ЛХ, при отсутствии обычной текучести. Мы имеем, следовательно, а(ы должны теперь различать четыре практически интересных предельных случая. '1. их <<1, втх <1 (обычные маловязкие жидкости при низких частотах). Предыдущее выражение для М свпдится при этом к 1Ч вЂ” — Кз + Кзссот„+ 26ом = — К (1 + ио (и + 21л) (, что соответствует скорости раснрпст1ип1екия )о,)=»Х — ' и коэффициенту з ГУз поглощения и = ив (2р + р.,) К,, 38) ( 2.
сс т >) 1, со тз >) 1 (аморфное тело в практически твердом состоянии при высоких частотах). В атом случае ° + + +,.(К 1 +2 1 ~,~1+,.~К, 1 +ж где Š— мгновенный модуль Юнга. При этом ) о, ~.= ~/ — и гл р )~с! р Л З (врз+ ) ) (38Ь) 4. ыт((1, ы с, >) 1. Ги Имеющийся в настоящее время акспериментальный материал относится главным образом к первому случаю.
При этом найденные на опыте значе- и для всех жидкостей„за исключением пРостейших, т. е. одкоатомных апример ртути и других расплавленных металлов), превосходят . ятки, сотни„а иногда и тысячи раз те «теоретические» значения, кото- вытекают иа уравнений обычной гидродинамики, ке учитывающих йю~емной вязкости жидкостей.
Точнее говоря, классическое выражение )Ртя козффициента поглощения йт пРЛУчаетсЯ в пРедположении, что пРи чисто объемной деформации (т „= "т~::~:,:„;:." ' й 'ф отсутствуют вязкие напряжения. Легко показать, что зто имеет место, <,.",'",'" ","„" 2 -;;.'7,-",:;~:;.":, если Рэли — —. р. При этом формула (38) дает оклассическое» значение казф- ~щциеита поглощаяия.
Таким образом, мы приходим к заключенник что ' ''~у~'«'!:,:!!!::,,пбъямпая вязкость жидкостей, как правило, во много раз балыке, чеы абыч й ."-:..~'-'„,'-,",'„'-";,'.!;::-:.:;:..'ная вязкость и, по крайней мере при комнатной темпаратуре. Вопрос о за- $::.";-;:;.;.'.:.-::.:!'...: Риоимости и от температуры остается пока совершенно невыясненным. '";:::~;:."„'!.,'!!:;::::::,Тптс факт, что при частотах колебаний дп 10» сек. ' коэффициент и остается 'с';-~~~~!':::.-",:,-":-'-; -:црппорциоиальяым частоте, свидетельствует о том, что саатпошекие ;;"'.".,",',",':;:;-;-:,-:,:,.-',-'' 'с»сс «~ 1 остается выполненным, т.
е. при обычных температурах время .:~'.",:.'!х'-",~!:,':-!:,,::,':уелаксации т меньше 10 ' сек., так же как и обычное время релаксации ч; склзанное с перемещением центров тяжести молекул. Малость т связана с некоторым затруднением, так как аномально боль- йшв поглощение звука в жидкостях может быть объяснено большилш зпа- ~.-",4:"-':, '; (зяйяын коэффициента объемной вязкости рт, который, как известно, прп- ,!-:,"'!)1~.,'-'-;,:,,';:" 'поРЦнанапен с . СРавниваЯ зыРажениа Рз — --Кх с» и Р.,=6, тх, мы видим, что :;:;;-.~--"!":;.;~='т'йеравенство и >) р„, соответствующее экспериментальным данным, ма- ~:--:.:,.'':;",',':::''!~.;,'.жег быть удовлетворено при условии: либо Кз >) Сы если -.
тога же по;~~:::.",~,'.,!~:"-;~'-,'-'с:.Рсядка величины, что и -,, либо т >) с„если К того же порядка величины, :""",,"йт':.".;:,~'::-:::.~::„" 'чта 6». Фактически 6, должно быть»)еньше Кз в 10 — 100 раз. Таким обра- ,'«~!-;;"-"'.~';::-'":.Зпмт чтобы объаснить возможность' тысЯчекРатного пРевьппепил Рз над ',,~~~.;.- ''!,' Рх', сйеДУет заключитьч чта тз не Должно намного пРевышать ти ;.~~!~,:";,.'=~;;,:,:!.':' .'В у 6 отмечалпсь, что Кнезер пытался объяснить аномально большое „;::~';-",.'-:, Пяглпщзние звука в жидкостях механизмом термической релаксации, рас- с„.
— ст ,:"",„'",,'!~~!~:.,':"-.'Рматреяпым в у 6. Замечая, что К,=К вЂ” ', мы убеясдаеыся, что со ',"л~".";."''::,',::-::гласно этому механизму, К, должно быть меньше(скажем, в 10 раз), нежели ...'1~$,~:;.',',!.::,::.;:: .отатнческий модуль сжимаемости, следовательно, объяснение с зтай точки ё':::.'- ,:,р,'„"::,:о( зРйния большого значения Р,=К,« требует значения тз порядка 1000 ты 10 э сек. при комнатной температуре, чему противоречит полное ;~~~~:;-:;:',;;.;...',;-'Ртсутстние следов дисперсии (увеличения скорости звука) вблизи частоты )~:„";-'-.-:.;: 1«0га"енк ы зо , зо.
В случае рэухэтоикых газов прк иорыэльаых температуре и Лэзлсшш т, Равно ио парилку воокчкиы 10-» — 10 о сок. Принимая ио виииэаяе, что среднее число стохИзйзошй одиои молекулы прк этих условиях раино 10'о сок.-', иы убеждаеиси. что 4 еахнннн дннжняве а жвдкнстях в нх мзханичехнне свойства )наверх«званые в«хны и ттж>ахам двнжхннн твердых и жндннх тех й 9. Гиперзвуковые волны в тепловом движении твердых и вшдкич тел и обусловленное ими еветораеееяние Упругие колебания с частотой 104 — 10» сев. т, создаваемые искусственно радиотехническими средствами, называются «ультразвуковыми». Колебания етце олее е более высокой частоты, вазьтватчтьте иногда «гнперзвуковыми», не могут быть пока получены искусственным путем. Эти гиперзвуковые колебания с частотой до 10»» — 10'з сек.
т существуют, однако, в естественных словиях, образуя, согласно теории Дебаи, тепловое движение в твердых телах и .. телах и отчасти в жидкостях.>При атом тепловое движение атомов в простых твердых телах полностью сводится к суперпоаиции продольных и поперечных колебаний, главным образом гиперзвуковой частоты (так как число колебаний в частотном интервале между т и ч+т(»пропорционально .»зт(н), т1то же касается жидкостей, то естественно ожидать, что в них полностью нос ью реализуется дебаевский спектр продольных колебаний — звуковыт, ультразвуковых и гипврзвуковых, образуя часть нормального тепл овохе движения молекул; спектр поперечных упругих колебаний может при атом реализоваться лишь начиная с частот»ы превышающих обратное значение макснелловского времени релаксации хт (колебания меиыней частоты практически не могут распространяться вследствие слишком болыпого затухания, как зто явствует из формулы (35) ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
