Я.И. Френкель - Кинетическая теория жидкостей (1108150), страница 50
Текст из файла (страница 50)
— время релаксации для процесса восстатювления равновесного расления энергии между внутренипмп и внешппмп степенями свободы, авочный член 1 должен оыть отождествлен с предельным значением дс = со. Так как в этом случае ЬТ,.=О, т. е. 1= — йТ„ А' д Гояоор» дг дт ' с, дс другой стороны, подставлля и (21) аначепие йТ, из (21а), имеем ~Р = Ко(1+ ) в годов Тот Наес' с ) с согласно (20а), К, предстанляет собой адиабатпческпй модуль уп- ти. равнения (22) и (22а) тождественны с уравнениями (1ба) и (17а), в последних положить аким образом, рассматриваемому механизму соответствуют следую- знпчения добавочного модуля объемной упругости и коэффициента сти: опрос о том, какой из двух рассмотренных вами механизмов имеет существенное значение, может быть решен лишь путем сопоставлесоотпетствующих им значений «структурного» модуля упругости Кз структурнои вязкости рж то касается К„ то в случае кнезсровского теплового механизма имеем, оно формуле (20а), ..вб«г т'еихоеов двихеение в хсиоиостях и их лехвиисесиие свойстве где К» — иаотермический, а Кг — адиабатический модуль сжимаемости, или с„— с ХХ» — — Хо» с с,' с сгбойиееиив уроеиеиий теории упрек»ости оиореХги»гх тев 26! В ~,~:;:;:;::::;; "кости) случае идеалпаироваппых твердых тел (лпшевкых текучести и Вяз этп' слагающие связаны со слагающими тек»эра деформации $7.
Обобщение уравнений теоршг упругости аморфных тел с учетом эффектов вязкости В классической гидродинамике, выражаемой уравнениями Навье— Стокса, не учитывалась максвелловская релаксационная упругость на . сдвиг, так же как и объемная вязкость, хотя последняя в принципе была введена еще Стаксом. С другой стороны, в классической теории упругости аморфных твердых тел не учитьгваются ни сдвиговая, ни объемная вязкость. Установив тат факт, чта между жидкостями и твердыми аморфными таламп существует лишь количественное различие, характеризуемое величиной времен релаксации„мы должны поставить вопрос о разыскании обобщенных уравнений движения реальных «твердо-жидкихг> тел, учиты. вающих как упругие, так и вязкие свойства последних.
Необходимость ревизии классической гидродивамики и теории упругости в духе их объединения в единую более абщуго теорию непосредственна .явствует из в е и р е р ы в н а с т и процесса перехода из жидкога состояния в твердое в тех случаях, когда этот процесс ве связан с кристаллизацией. Отсюда следует, например, вопреки общераспространенному Представлению, чта не только в твердьгх телах, на и в жидкостях наряду с продольными могут распространяться такгке и поперечные колебания. Та обстоятельства, чта для большинства жидкостей распространение поперечных колебаний ве оп»«те не наблюдается, объясняется тем, что время релаксации этих маловязких жидкостей хг мало в сравнении с периодом таких колебаний. При таких условиях последние должны испнты.Вать чрезвычайно сильное затухание.
Для количественного решении вопроса а затухании поперечных и про'дольных колебаний в «тверда жидких» аморфных телах мы будем всхо'дить из уравнений обычной теории упругости, которые, однако, предварительна обобщим таким образом, чтобы учесть различные эффекты вязкости, а которых говорилось выше. Уравнения движения кепрерыввой материальной среды в случае малых смещений ее частиц мггг) т быть заавсавы в следующей общей форме: (23) ое' С,~ вх„ где р — плотность среды, ие(х, хео т, 1) — слагающве (макро»конические) смещения ее частиц из исходных положенпй, определяемых координатами х«, х„, хз, а Хе„— слагающие тензора напряжений. лйиойгггы цйг„:-„ ,!Хс';::::;:-::;-':;,~;;:::э»':гощгг..
мнется; и соотношением вида Хм =- ОееХ с + 2ЛХ8 во з, +з,+е,= — г)гги п — отпосггтельпое пзмекепие объема ~ — ) 3 — Х 'еее Гг' ' ' ~ р.,) л и о«„=О прк грег, а Х в ЛХ вЂ” два ггоэффггцггевта„«харвктервх упругйе свойства тела (так яазываемые екоэффяциепты Ламе», вемые обычна буквамп е и р; ЛК представляет собой пе чта иное, ычиый модуль сдвига С). вод»таков«ее выраягеяпй (24) в уравнения (23) последние прикипают щий вид: актеркой фарме— (25) Р г =-(Х, + ЛХ) У е+ ЛХУ«п.
валяя лпвергеыцкю от обеих гастей этого уравнения и вспоминая, пг=-з, получаем уравэенпе епв р — = Хг'гее, ея« (25а) ющее распространение волн сжатия и разрежения со скоростью = Х + 2ЛХ вЂ” соответствующий мод) ль упругости. учае сдвиговых колебаппй, прп которых плотность тела ве ие- з=О, и ураввешге (25) сводится и уравнению — „= ЛХсхп, (255) гл «Мисывагощепу распространение поперечных колебаний со скарасыю ,: .'262 Твавовов двивсвмив в всидяосгяя а из авяаничвсаив свойства Обобщение уравнений теории упру»ости аморфных твл 262 = — 2.з ы З с» (28) и на чисто сдвнговую часть 1 =з — —.2 в, т» ж З л» (28а) которая удовлетворяет условию неизменности объема ~,'хп — О. Аналогичным образом разложим тензор напряжений ~,.„на часть 1 где Р= — — Итт+ ттзл+ ~м) — некоторое давление (слагающееся нз статического и вязкого), н часть (27а) описывающую напряженна скалыватощего типа (при равенстве нормальных ттапрпжештй в г,ре днем нулю, согласно формуле ~фа ==0).зт Соотношения (24), лежап1пе в основе обычной теория упругости, моятно записать в ваде двух независимых ипвариантных уравнений: — Р=Аз и фы=2Мсы для объемной п длн сдвш'оной частей деформацпп в отдельности.
Первое нз этих уравнений должно быть заменено соотиотпенттями (18), (18а) и (18Ь) 9 5, которые могут быть записаны в следующей более коыПактной форме. Введем опоратор А,= — (1+с,—,) (28) '»Срл Я. И. Френкель и 10. Н. Образцов, ЖЗТФ, 9, 10Я1, 19З9. 'т Ср.: Я. И. Френкель н Ю. Н.
Образцов, 1ос. сп. Заметим, чтополвее отделение тапговцвольных вапражонвй от нормальных невозможно; в надлежащей системе координат тензор Ь» всегда моя;от быть сводов к одним лишь нормальным напряжениям. Рассмотрим теперь, каким образом следует обобппггь эти уравнения 'для того, ттобы учесть наличие текучести, а теките релаксационные эффекты, описанные в 9 5.м Прп этом мы должны учесть, во-первых, объемнУю внзкость 1л и снпзанные с ней два модУлЯ сжимаемостн Кт и К, согласно схеме рис. 32, во-вторых, упругость на сдвиг, соответствующую максвелловской теории, плн, в общем случае, две сдвпговые ,упругости С, и С и связатшые с ними внзкостп р и 1л„, согласно схеые 'рис.
34, объединяющей обратимую и необратимую текучести. Для решения этой задачи прежде всеп> разлолшм тензор деформации зм на чисто объемную часть еляемый условием ение (1 8Ь) может й -обозна ' — А бйтвт пе ,1 чмм через А,' обратный оператор„ опред 'А = 1. С помощью этих операторов уравн реписано следующим образом: дв 1 ,бв — = — АзллРз, нли — АРх=1л А,, —. бт р ' т ьшан его с (18а), получаем — АР = К з+ Р А,' — „в =1 К, + КзАл'сс б, д ак т — =А — 1, зТт (28а) — А1т=Ез обычатором (28Ь) .равнение имеет такой же вид, как и уравнение и упругости, если множитель Ь заменить опер а=К,+К,(1. А;). одя к обобщению соотношений фы —.2Мсс„„л *шла лишь обычную (необратимую) текучесть ю т1 и модулем сдвига 6 (=С ). При этом мы на упругую часть с',.„н вязкую т,ы связав иями лы примем во вни, характеризуемую должны разлвкить нх с тензором фы фы = 26т;„=- 2т7сттс — обычное время релаксации, т.
е. = — Аф ы 2» л» втор, отличающийся от Л заменой сз на с), ил фы = 2т1Л т — тт„= 2СЛ д1 т» дт с»' н (29) фм= —. 2С(1 — А ') ты. равнение получается пз исходного фы=2М ператором М вЂ” 6(1 — Л ') заменой множив» (29а) у с обычной, мы (19), (19а), (19Ь), р ты. того чтобы учесть обратимую текучесть наряд воспользоватьсн более общими соотттотпениял~и вая в вих под (т' тензор тм, а под у — тензо Склад .'."-!:„:!::::::,::,:: ':; .йт)й: твери ;-„':;:'.: ',.':-:'::: ";::- -тйнзор чм '. ',':=",." авптннйшей ,,",:;";«::;.;::::-::;;-;,,::-'::;-'",Полу ча (А †',.опер '';-»1'~!:,:;:::;::., -:' Это у -'~~;=.:-",::;::::::::: т~-'ти М о ::1::: — ",й нод(хануме - — йр = (К + К (1 — Ал*)) в. ем таким образом 1 б, 1, 1 / =с.
+». =.,' ф + ф; = ~~1+ т» л» "с» 2О' бт т» 2Ч '" 2Л ~ Л =.- 1 + сш.с, Е = К,+ 1 + —. >шс срм = 2Мсм, М =- 1л и>с , илп (82а) 'откуда следует 264 Тенлоеое деиаеение е акидноетяе и нк неканинеенссе ееойетеа Соотнсапения (19а) совпадают с теми, которые уже были рассмотрены в связи с объемной дес)>орлсацпей, и могут быть записаны в виде совершогп>о аналогичном (28а) при саа Солса. Совместно с формулачи (19) вто соотношение дает О= — ' ~ РЛ1+~ — ', + — ', (1 — А,')~'1~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
