Я.И. Френкель - Кинетическая теория жидкостей (1108150), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Рассмотрим слой жидкости толздяиой Ну =о (где о — среднее расстояние между соседними частицами), :"Эайллгчеяяьгй между плоскостями у=ггв и у —.-ув+Ь. Если нижележащий цлой движется как целое с некоторой среднеи скоростью г =ос, то рас- ':СЗ«атриваемый слой движется по о т я о ш си и ю к я е и у со средней до до скоростью гяо=.— г)у= — о. Это движонпе можяо считать обусловленным дс ду (силой, действующей ка рассматриваемый слой слева паправо со стороны гсяедующего слоя (расположенного яад ипм и стремящегося увлечь его вслед за собой). Обозяачим эту силу, отнесояяую к едиикце площади, -через Р (касательяое напряжение). В таком случае на каждую частицу '-рассматриваемого слоя приходится сила Р=Ро» (поскольку площадь, .
Занимаемая каждой частицей, равна ог). В то время как полшкоиия рав;йшвесия всех этих частиц перемещаются в среднем со скоростью ио (так 'же как и у частиц предыдущего слоя), каждая из иих колеблется около ,йвоего временного положения равновесия, меняя его через время, равпое в среднем с, па одно иа соседних положений, находящихся спереди, '.'пзади, слева, вверху или внизу.
Последяие два перемещения мы будем отпарировать, так как оии не влияют па среднее движение рассматри.'ваемого слоя по отношению к предыдущему. Это движеиие, происходящее ,и среднем со скоростью Ьи, складывается иа самом деле из ряда дискрет'ных скачков, производимых отдельиыми частицами в разные моменты .-~три переходе из исходных положений равновесия в соседние на расстоя'-''иие В преямуществеяио вправо, т.
е. в направлении действующей ка иих ,силы. При атом, согласно определению подвижности и, мы имеем йп = иР' = пРо». до Полагая здесь Ьп= — 3, мы приходим к обы шоку соотно»пешпо между ду градиеятом скорости и касательиой силой па единицу площади до — = ггбР, ду и:которой роль коэффициеита вязкости х играет обратяое значение произведеякя иВ. Мы получаем, таким образом, следующее выражение для коэффициента вязкости: г т —— ич * (гд) Механивм еяяково течения во» ,.»1 торов отличается от (5а) лишь отсутствием множителя бт и замеяои которое 1 '~.',. «радиуса диуса» частицы а практически эквивалеитиой величииои междучасткч;,"-",:,!!!: . ного ра го расстояипя В.
В результате после замены подвггягяостгг и ее выраже" "'!!; . ', кием через коэффициент диффузии по формуле (5Ь) для козффпциеята вязкости почучаем выражение гг , "еят, (Ва) практически совпадающее с (ба). ', Прш»едеипый выше анализ молекулярио-кииетпческого механизма лежащего в основе течения жидкостей, позволяет подойти к вопросу об определеиип коэффициента вязкости другим путем, яамечеяньгм еще .~!""'!'": й(аксвеллом и основанным иа упомянутой з з 1 комбияацки вязкого течеипя 'с упругой деформацией сдвига, ооусловлепяой тем ггсе самым касзтельиым напряжением. Коли бы частицы жидкости не могли кли, вернее, яе успевалк, вслед":::„'::.:,. ствие 'слишком быстрого изменения яаправлеиия действугощев силы, перескакивать из одних положений в другие, лежащие и р е и и у!„";,::!:" .щес та сии о в э т о и п а и р а в л е я и и, то действие каса- тедьиого напряжения сводилось бы к упругой деформации сдвига, обус" Фу!~!:.':",:-' йповлеииой иезиачительиым смещением положепий разиовесия частиц в каждом слое жидкости по отиошеииго к соседним слоям, совершенно ) В:;":,:":,'.'-'-:'; хзк же, как в обыкновенном твердом теле, т.
е. согласно уравяеякго 11 Ф"т дс 1 — — - —,Р, ду и где с — Смещение вправо слоя, расположенного ка высоте у, а С вЂ” модуль дс сдвяга; Дифференцируя это уравнение по времени и полагал — „.==: г', 'мокше переписать его в виде .ё-';:::- до' 1 дг ду О Ш* С другой старицы, при неизменном направлении силы Р в течение гч:.."'!::,";'с:: времеии, достаточно болыпого в сравнении с временем оседлой жизни частиц т, жидкость, помимо этой упругой деформации, должна испытывать вязкое течение со скоростью и', определяемой уравнением Нгл — — -- — р.
ду л , Полная скорость смещения слоев я<идкости и равна, очевидно, сумме :::~~;:-:.",'-' .ь' и и ', Мы получаем, таким образом, следующее уравггепве для результируапцего движения «твердо-текучего» тела: — = —.— + — Р. (1О) С дс 63 'Тепловое деихеиие в хеидкоетях и их мехакическив свойства дгехаггигм вягкого течекия К'отому уравнению и сводится содержание максвеллозской «релакса- Рюгииой теории упругостим Наавание ее вытекает из того обстоятельства, чо,::согласно уравнению (10), «упругоео (точнее, «упруго-вязкоео) напря- зеядие Р при внезапной остановке движения не сохраняет того значения 'гад, которое соответствует мгкоэскяой величине упругой долро1ввпцпгь дх' ик в обычной теории упругости, и не обращается сразу в нуль, как этого Ребует обычная (макроскопическая) теория вязкости, но п о с т е и е н и о та д а е т д о н у л я от исходного значения Р, в момент «=О.
Эакон этого спадания определяется дифференциальным уравнением 1 ЕР 1 ~,"' Й« —,.— + — Р=:О, которому сводится уравнение (10) при О=-О. Решение его при условии !='. Ро в начальный момент («==0) имеет вид Р=. Ре ° м= —, (боь чм — время релаксации максвелла.
'. В теории Максвелла время релаксации оставалось совершенно неоредеденным. С излагаемой нами молекулярно-кинетической точки зреия представляется естественным отождествить его с временем оседлой а«зии частиц (почему мы к обозначили его той же буквой ч). Это обстоТелвство не только явствует кз существа дела, но подтверждается раситтрением действия переменной силы, например колеблющейся по гарОническому закону Р ~гг :Правая часть уравнения (10) сводится прп этом к —;1 г+ — ) Ае'"' =-..= — (1+ иск) Р. 3 '"== Кали проиаведение дго г мало в сравнении с 1, т.
е. если период коле2к ~ния силы 0= — велик по сраяяекьчо с временем релаксации -., то вто~ ьгм Фном в скобках моя«но пренебречь; прк таких условиях колебательное ипкение рассматриваемого тела имеет преимущественно вязкий харак- Р, лшпь в незначительной степени осложняясь упругой деформацией. прот«гвоположно«1 случае, если гоч хи 1, т. е. д <о т, мОжнО, наоборот, енебречь единицей в сравнении с Тык, так как правая часть уравке 1 ЕР ~я (10) сводится к — ° — и колебетельпои движение тела принимает 'и 'ш ,Опмущественно упругий характер, лишь слегка ослоткнепный намещющимся (но не развивающимся) вязким течением. 'Отсюда ясно, что максьелловское время релаксации по порядку величины совпадает со средним временем оседлой жизни частиц и' т=к е"'. — о Подставляя это выражение в формулу (10Ь), получаем и' т = 6е = 6-. е "т — — 'о Эта формула совпадает с формулой (4) при следующем значении коэфф:г фИЦИЕита А« -4 — 6чо Ияи, еспи Учесть зависимость тт' от темпеРатУРы (тт'=-И'о — )г17), Л =6ге т.
о .: Оиа очень близка к ранее выведенным нами формулам (ба) или (Эа), ЬТ 6«Т м::::"':". Отличаясь от нпх заменой выражения —. пли —. На модуль сдвига 6. гам «3 1 'Замечая что — „— и, где я — число частиц в единице объема, адг $3 мИ Видим; что прежние выражения для коэффициента вязкости оказыиаются эквивалентными новому„полученному иа основе максвелловской Релансациопной теории упругости, если модуль сдвига жидкости 6 ото'ждествить (с точностью до коэффициента порядка 1 — 10) с давлением Р=-пйг; которое производили бы частицы жидкости, если бы при той же Фоицеитрации п они совершенно не взаимодействовали друг с другом, т.'О" вели себя как частицы идеального газа при данной температуре У.
яаКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОдУЛя СдВИГа НЕ ИМЕЕТ, КОНЕЧНО, ФИЗИЧЕСКОГО Истинное его значение для жидкостей может быть найдено теоротп-,:.!;-:'.'-'ч(вски из Рассмотрения мепгдучастичных сил совершенно таким же об- рюоы, как и для твердых тел, с учетом несколько больпгей вели япп« (-'.-.':!;";;:-'( Иея«дучастичннх расстояний и отсутствия дальнего порядка в расположе- гши атомов. Это обстоятельство доля<но быть, связано С нЕкоторьпм Умеш-,:;:!,::::, .:; и«Опием значення модуля сдвига жидкостей но сравнению с соответствуго- « * Ъ„''ее того«и твердыми телами, без изменения, однако, порядка величины.
7«ки«1 й-," '."-:;,Образом, модуль сдвига жидкостей должен иметь значение порядка '"'~'::-'"': ' " 10 дрн/см, и притом практически не зависящее от температуры, есяп ие считать незначительного его убывания с повышением температуры, бусловленного тепловым рзстпкренкем и наблюдаемого также у твердых Тенеовое движение в жидкостях и их механические свойства Дмрочная теория диффувии и еявкости жидкостей тья.т О возрастаяип модуля сдвига с повышением температуры, как этого 'яТ трепопало бы отождествление 6 с —,, конечно, пе может быть и речи.
Наша теория может быть согласована с теорией Максвелла, если отиазаться от отонодествдеиия максвелловского времени релаксации чм сп средним временем оседлой >кизяи ч и ввести соотношение »Т хм= ОЫ Так как прп Т =.— 300 К давление —, по порядку пели ~ины равно о 1Т ы 10>о — 10" дпи!смв, т.
е. того же порядка величины, что 6, то при обычных условиях чм мало отличается от с. Формулы (6а) или (Оа) имеют преимущество по сравнению с формулой (11) в том отношении, что оии сохраня>от смысл в предельном случае очень высоких температур, когда жидьость из твердоподобиой становится газоподобяой. В этом случае зкспоыеициальпый миожител>ь объясняющий уменьшение пязкости жидкостей при нагревании в обычных условиях, приближается к ш>стояииому значеиию, равному 1 (соответственио чему время оседлой жизни ч приближается к периоду одного колебапия т,), и„маскировавшаяся им зависимость предзкспоиеициальпого множителя А ж ийТ (или ийТе ') от температуры приобретает существенное зяачеиие. Дальнейшему повышению температуры вместо убывания вязкости соответствует по формуле (ба) или (9а) ее возрастаиие, т.
е. качественно такой же ход, как и в случае газов. В последием случае, впрочем, вязкость должна была бы возрастать пропорциоиальио квадратному корню из'абсолютпой температуры, а не пропорционально ее первой степеии. Нетрудно убедиться, что асимптотическое выражение для коэффициента вязкости жидкости, даваемое формулой (ба) или (9а), при очень высоких температурах не только по характеру температурной аависимости, но и по абсолютному зиачеяию близко к тому, которое вытекает из кииетической теории газов, согласно формулам (3) и (За). Полагая в иих р=и>и, 1 г 1'л где >и — масса одной частицы, и (= — — =6(так как в случае ппгд>гост1> и — ( гя + получаем иплйиь С другой стороны, при болыпих значениях Т формула (ба) сводится к з; и)сТт ипмдтч . о— о.
Это выражение совпадает с предыдущим, если время чо отождествить : времеием, необходимым для прохождении расстояния 6 со средней скот Длз больппшстоа простых тод, поприпер металлов 1» форме лплкокристоллпчоскпх агрегатов), модуль сдвига умтпьптоотсп в поскопьпо роо прп повышеппп температуры от нуля до точки пдавдештя. ростью теплового движения п> [как зто было сделано в 5 1 гл. 1 при вы воде формулы (10а)). При высоких телшературах такое отождествлеште представляется вполне естественным.
Если же время чо считать постоянной величиной порядка 10 "» сек., то отношение — по порядку величины оказывается б:шзкпм и ш. 11одобпое в Совяадение зиачеяия т, при высоких температурах с газоккнетическим значением обеспечивается и формулой (11); однако в предположении постояиства модула сдвига 6 или, тем более, убывания его с повии~спиел> температуры формула (11) в этом случае, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
