№ 42 (1107975), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

В дальнейших рассуждениях будем исходить из предположения,что дифракция волн на этом отверстии не помешает считать волны врезонаторе плоскими и наличие его, практически, не повлияет на процессотражения волн от крышки номер один. В воздухе, как и во всякойгазообразной среде, могут распространяться только продольные волны.Поэтому звуковая волна в воздухе представляет собой чередование сжатий иразрежений, происходящих в направлении распространения волны.При подключении динамика к генератору электрических колебанийзвукового диапазона частот (от 16 гц до 20000 гц) от него начнетраспространяться звуковая волна, которая через отверстие в первой крышкепроникает внутрь резонатора. Таким образом, можно считать, что источникзвуковой волны находится на обращенной к трубе поверхности первойкрышки.

От этого источника в направлении ко второй крышке начнетраспространяться звуковая волна, которая через некоторое время достигнетее, отразится и начнет движение в обратном направлении. Рассмотримчастный случай, когда длина звуковой волны такова, что на длине резонатораукладывается целое число её полуволн. Будем по-прежнему предполагать,что и распространение, и отражение волн происходит без потери энергии.Молекулы воздуха внутри резонатора участвуют в двух движениях,соответствующих падающей и отраженной волнам. Рассмотрим этидвижения в системе координат, начало которой совместим с первой крышкой(источником звуковой волны).

Время распространения волны ограничиминтервалом, достаточным для того, чтобы волна достигла второй крышкирезонатора, отразилась от нее и вернулась к первой крышке. Выполнениеэтого условия упрощает дальнейшие рассуждения, так как позволяетограничиться лишь одним отражением от второй крышки.Так как отражение волны происходит с изменением фазы на радиан, то результирующее движение   есть сумма движений (7) и (8).x   1   2  0 sin 2  t    0 sin 2  t  2x0  x   .(12)Уравнение (12) описывает процесс наложения двух волн - падающей иотраженной.

При этом выполняются следующие условия:81) частоты волн одинаковы;2) направления движения молекул воздуха в первой и второй волнесовпадают;3) разность фаз колебаний молекул воздуха не зависит от времени, аопределяется координатой x точки наблюдения.Волны, для которых выполняются перечисленные выше условия,носят название когерентных волн. В области наложения когерентных волнвозникает закономерное распределение амплитуд колебаний частиц среды,называемоеинтерференционной картиной. Интерференционнаякартина, которая получается в результате наложения двух встречныхкогерентных волн, получила название «стоячая волна».

Уравнениестоячей волны получается после несложных тригонометрическихпреобразований уравнения (12). В результате имеем:2 2 x0  x  cos  t  x0  ,    1  2  20 sin (13)где   2 - круговая частота колебаний.Из уравнения (13) следует:а) результирующее колебание в каждой точке происходит погармоническому закону с той же частотой , что и колебания,обусловленные встречными волнами;б) амплитуда этого результирующего колебания не зависит отвремени и изменяется от точки к точке по закону синуса. 20  20 sin   x0  x  .(14)В точках сечений столба воздуха в резонаторе, в которых синусобращается в нуль, амплитуда колебаний падает до нуля. Эти точки средывсе время остаются в покое.

Координаты этих сечений называются узламисмещений. Прежде всего, таким узлом смещения является конец резонатораx  x0 . Остальные узлы смещений лежат в сечениях с координатами xn.узл. ,которые определяются из условия2x0 xn.узл.

  n ,илиxn.узл.  x0  n2,(15)(16)где n  0,1,2,... Из (16) следует, что узлы смещений отстоят друг от друга нарасстоянии полуволны.9В середине между узлами смещений лежат сечения, в которыхамплитуда 0 достигает максимума. Координаты этих сечений называютсяпучностями смещений. Координаты пучностей определяются из условия2x0  xn.пучн.    2n  1илиxn.пучн.  x0   2n  142,(17),(18)где n по-прежнему принимает значения 0, 1, 2...Из соотношений (18) и (16) нетрудно найти, что расстояния междусоседними пучностями, так же, как и расстояния между соседними узлами,равны  2 и что пучности и узлы сдвинуты друг относительно друга нарасстояние  4 ,(19)xузл.

 xпучн.   4 .в) амплитуда колебаний (14) при переходе через нулевое значение вузле изменяет знак. Это означает, что фазы колебаний по разные стороны отузла отличаются на  радиан, т.е. точки, лежащие по обе стороны от одногои того же узла, колеблются в противоположных фазах. Все точки междудвумя соседними узлами колеблются в одинаковых фазах.6. Графическое изображение процессов,сопровождающих стоячую звуковую волну в воздухеНа рис.

3а показана схема колебаний частиц воздуха в стоячей волневнутри резонатора для двух моментов времени, отстоящих на полпериода, t иTt  . Как видно из рисунка, в продольной стоячей волне вблизи узлов, в2которых скорости колеблющихся молекул воздуха равны нулю, происходитрезкое изменение плотности молекул. Это связано с тем, что молекулы воздухато приближаются с двух сторон к узлу, то удаляются от него.

Изменениеплотности молекул происходит не только вблизи узлов стоячей волны, но в тойили иной степени по всей ее длине и обусловлено изменением объема,занимаемого ими. Действительно, выделим в резонаторе со стоячей волнойслой толщиной x и обозначим продольные смещения границ этого слоясоответственно 1 и  2 .. При деформации толщина слоя изменяется на   2  1 , а относительное изменение толщины равно     x .

Впределе при x  0 имеем   d  dx .Для вычисления относительного изменения толщинывоспользуемся формулой (13). После дифференцирования получим  2022  2cos   x0  x  cos  t x . 0 слоя(20)10Так как сечение резонатора по всей его длине одинаково, то  равноотносительному изменению объема, занимаемому некоторым количествоммолекул.

Избыточное давление воздуха, обусловленное деформацией егообъема, определяется формулой(21)P   K ,гдtРезонатореУзлыKаналог'модуoляЮнгаVt + T/2ПучностиРис. 3а Модель движения молекул воздуха в резонаторе3214Рис. 3бXx0Стоячая волна смещенийEв2143XoPзаконеГуoкаx0Рис. 3в Стоячая волна скоростей12X34x0 n  E.КоРис. 3г Стоячая волна избыточного давления11эгде К- аналог модуля Юнга Е в законе Гука  n  E .Коэффициент K , подобно E , положителен. Знак минус в (21)обусловлен тем, что P и  имеют разные знаки, так как увеличениеизбыточного давления воздуха сопровождается уменьшением его объема.Следовательно, наряду со стоячей волной смещений   (13) в трубесуществует стоячая волна избыточного давления P.P  20 K22  2cos   x0  x  cos  t x . 0 (22)Помимо перечисленных волн, в резонаторе возникает и стоячая волнаскоростей V молекул воздуха.

Действительно,Vd 2  2  20 sin   x0  x  sin  t x0  .dt (23)Более наглядным, чем на рис. 3а, является представление стоячих волн ввиде графиков. При этом значения  ,V и P откладывают не в направленииих истинного изменения (оси X ), а в направлении, перпендикулярном этойоси. Соответствующие графики представлены на рис. 3 (б, в, г). Каждыйграфик построен для четырех фиксированных моментов времени. Время2 2 cos  t x0  или sin  t x в  0 уравнениях (13), (22), (23).

Времена ti выбраны из условия равенства2 x нулю,  2 ,  и  3 2  . Индекс i принимает,аргумента  ti  0 определяет величину множителясоответственно, значения 1, 2, 3 и 4. Соответствующие графики отмечены темиже индексами. Из графиков 3 (б, в, г) видно, что в месте отражения x  x0  стоячие волны смещения и скорости имеют узлы, волна избыточногодавления - пучность.7. Перенос энергии стоячей волнойКаждая из волн, образующих стоячую волну, переносит одну и ту жеэнергию, но в противоположных направлениях. Поэтому результирующийпоток энергии в стоячей волне равен нулю.

В узлах стоячей волны скоростеймолекулы воздуха остаются все время неподвижными и поэтому через них неможет быть осуществлена передача кинетической энергии. В узлах стоячейволны избыточного давления (рис. 3 г) никогда не возникает повышенноедавление и поэтому через них не может передаваться потенциальная энергия.Расстояние между узлами скоростей и узлами избыточного давления равно 4 (рис. 3 в, г).Поэтому энергия, которой обладает участок воздуха врезонаторе длиной /4, заключенной между узлом скоростей и узломизбыточного давления, остается всегда на этом участке.

Характеристики

Список файлов лабораторной работы