Д.В. Сивухин - Общий курс физики, Т2. Термодинамика и молекулярная физика (1106322), страница 125

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 125)

Таким образом, решетки. получаемые из простой кубической решетки путем центрирования граней и обьемов основных кубов. будут примитивными. Однако они не бус<ут простыми кубическими решетками. 5. Из каждой примигивной решетки можно выделить параллелепипед, называемый г<риведениь<м. Ои получается следукнцим образом.

Рассмотрим совокупность всех векторов, соединяющих попарно узлы решетки. Из них выберем вектор минимальной длины и примем его за вектор а,. Из оставшихся векторов выберем нектар минимальной длины. нс коллиноарный с а<. Его примем за вектор аз. Из всех остальных векторов ни<берем вектор минимальной длины аз. не компланарный с векторами а, и аз. Базис а<, аз, а, и построенный на нем параллелепипед и называются привеценнь<ми. Основное гвайслпвв приведе<гаага с<ар<с<<э<аз<ели<<веда состоипс в том, ч<по этот параллелепипед — примивявньгй.

)[ля локазательства заметим прежде всего, что вершины приведенного. как и всякого основного параллелешшеда. помещаются в узлах решетки. После этого предположим. что внутри приведенно< о параллелепипеда имеется узел решетки Л1 (рис. 162). Опустим из Л! перпендикуляр ЛХА< на ближайшую грань параллелепипеда. Из — — основания перпендикуляра <у опустим но- вый перпендикуляр <УР иа ближайшее ребро О Р грани. проходящей через точку Ас. Наконец.

соединим точку Р с ближайшим концом О Рис. 162 ребра, па котором она расположится. Из по- строения ясно, что длины взаимно перпендикулярных отрезков <ИАс, <у Р и РО нс могут превосходить половину длины максимального ребра приведенного параллелепипеда асс<<2. Отсюда и из теоремы Пифагора следует. что О И < лсйаз,'2 < аз. Это значит.

что вектор ОЛ!. соединяющий узлы О и Лд, короче вектора а< и не компланареи с векторами а< и аз. Но это противоречит предположению, что базис а,, аз, а< приведенный. Аналогичные рассуждения с линейной и плоской решетками показывают, что не люжет существовать внутренних узлов на ребрах и гранях приведенного параллелепипеда. /(оказанная теорема позволяет в ка*<естве основного брать приведенный параллелепипед. 6. В математических рассуждениях часто бывает удобно, наряду с салюй пространственной решеткой, вводить вспомогательную систему точек. называемую обратной рете<вкоа.

Базвсными векторами обратной решетки являются векторы, взаилтыс по атно<пению к вскторал< а<, аз, аз, т. е. [азаз) „[аза<], [а<аз] ([а,аз]аз) ' ' ([а,а ]аз) ' ([а,аз]аз) 8131] Кристаллические системы 307 [см. т. 1, э 7, задача 9). Объемы базисных параллелепипедов исходной и обратной решеток связаны соотношением ИИ" = 1. [130.7) ЗАДАЧА Доказать, что обратная решетка но зависит от выбора базиса. Решение. Перейдем к новому базису: а, =а~ тпеаг, а., =аз, аг =аз. [130.8) Так как объемы базисных параллелепипедов Ъ' в обоих базисах одни и тв же, то новые базисные векторы обратной решетки будут ае' — — [1/Ъ') [агав] = а[, и а.,* = —, [а',а',] = — [азае]; = [аеа;! = а, *— п,а,', Г ' Г ' '~' 1,, 1 аг" — — — [а',ае] = — [а~а ] = аз.

В обратной решетке можно перейти к новому базису Ь! =а,*, Ъ;, =а~*+пса," =а,;, Ье =аз. По этот базис совпадает с базисом [!30.6). Поэтому будут совпадать и соответствующие ии обратные решетки. В общем случае переход к новому базису можот быть выполнен путем частных преобразований типа [130.8). Поэтому заключение остается в силе и в этом случае.

[1 131. Кристаллические системы 1. Помимо трансляционной симметрии кристаллическая решетка может обладать и другими элементами симметрии. Так, всякая примитивная пространственная решетка имеет центр симметрии. ![ентром симметрии, как легко видеть, является каждая вершина и центр примитивного параллелепипеда решетки, а также середины его ребер и центры граней. Базис однозначно определяет примитивяую решетку. Обратное несправедливо — для одной и той же решетки базис может быть выбран бесконечным множеством способов. Поэтому симметрия базисного параллелепипеда, вообще говоря, яе совпадает с симметрией построенной на нем решетки. 2.

Тела конечных размеров. например молекулы. могут обладать поворотными и зеркально-поворотными осями симметрии любого порядка. Неограниченные кристаллические решетки, как примитивные, так и сложные. благодаря наличию у них трансляционной симметрии, ведут себя иначе. Повороппгые и зеркально-поворотлгые оси симметршь кристаллической реиснпки могрт быпгь только осями 2-го, 3-го. 4-го и бтго пврлг)ков. другие оси в крист ллпческой ршищике певозмолспьь Для доказательства возьмем какие-либо два идентичные соседние узла Л и В на узловой линии ЛВ, т.е.

прямой, содержащей бесконечное множоство атомов решетки [рис. !63). Если через узел Л проходит поворотная ось и-го порядка, то параллельная ей прямая, проходшцая через узел В, будет также поворотной осью Сим.истрия и строение кристаллов ! Гл. ХН того же порядка.

Закрепим эти оси неподвижно в пространстве и условимся называть их осями Л и В. Повернем всю решетку вокруг оси В, на угол р = еон = 2еп. Атом, находившийся в точке Л. перейдет в Л'. причем вся решетка совмгстится ! В 4 сама с собой. Место атома в точке А займет другой в точности такой жо атом.

Произведем теперь поворот на тот хке угол ~р вокруг оси А, но в противоположном на- 0 правлении. Решетка опять совлеестится сама с собой. Атом находившийся в точке В, перейдет в положение В; атомы в точках В Рис. 163 и А' заменится другими совер- шенно такими же атолеамеь Если точки Л' и В' совпадают между собой, то эо = 60", и оси Л и В будут поворотными осями шестого порядка. Если же точки Л' и В' не совпадакп между собой, то прямая В'Л' будет узловой прямой решетки, так как она параллельна прямой АВ. По условию А и В соседние идентичные узлы на прямой АВ, а потому длина ЛВ является основным периодом для обеих узловых линий ЛВ и В'Л'.

Значит, длина В'Л' должна быть кратна длине ЛВ. Но В'Л' = ЛВ х х (! — 2 соэ р). Поэтому число ! — 2 сов ~о должно быть целым (случай. когда оио обращается в нуль, г. е. когда соэ,р = 1 /2. рассмотрен выше). Это возможно тогда и только тогда, когда соэ р = О, — 1 (2, — 1. Таким значениям соответствуют углы поворота р = 00', 120', 180', т.е. поворотные оси 4-го, 3-го и 2-го порлдков. Сочетал соответствуеощий поворот с отражением в плоскости, легко распространить приведенное доказательство и на зеркально-поворотные оси симметрии. 3.

Сложная пространственная решетка состоит из примитивных решеток (решеток Бране). По симметрии примитивных решеток все кристаллы разделяются на семь кристаллических систем. 1!од симметрией здесь понимается еаочечнал симмепгуал, включающал в себя все элементы симметрии. за исключением трансляционных. т. е, центр. плоскости и поворотные оси симметрии различных порядков. В сущности. разделение кристаллов на кристаллические системы производится по числу поворотных осей симметрии различных порядков, которыми обладает решетка Бране. Напомним. что симметрия просгранствеииой решетки не всегда совпадает с симметрией основного параллелепипее(а, на котором построена решетка.

Однако Бране заметил, что из всякой примитивной решетки. за исключением гексагоншп иой, можно выделить параллелепипед. содержал(ий все те элементы симметрии (за исключением. конечно. трансляционных), ~то и решетка в целом. Наименьший из таких параллелепипедов называется паремшелепипедом Враае. Если он вырождается в куб. то мы будем называть его кубом Брове.

Нраве доказал. что могут существовать шесть типов решеток, для которых )Гл. ХП Симмепсртся и етроептс щтетппллов 610 параллелепипед Бране — примитивный. Если к нсслт присоединить гексагонвльную решетку, то получится всего 7 типов решеток. охватывающих всевозможные комбинации элементов симметрии решеток Бране.

Центрирование граней н объемов параллелепипедов Бране не изменяет симметрию рс'шетки. Однако оно приводит к появлению еще 7 новых типов решеток Браве. '!аким образом. существует всего 14 типов решеток Браве, рвспределяющихся тю 7 кристаллическим системам. Опишем эти систелты и соответствующие им решетки Браво. К у б и ч е с к а я с и с т е м а. Решетки этой системы наиболее симметричныы. Параллелепипедоэс Браво является куб (рис. 164).

Существуют три тина решеток Браве кубической системы: простпая (обозначается через Р). объемноцесстрировапппя (обозначается через 7) и грантцтсппсрировтппюя ~обозначтсется через Е). Как указывалось в 31;50, и. 4, параллелепипед Бране простой кубической решетки является также основным паршслелепипедом, Для остальных двух решеток основные параллелепипеды косоугольные, а потому эти параллелепипеды характеризуются более низкой симметрией, чем сами решетки. Длина ребра куба Бране для всех трех кубических решеток является единственным тс1зттсттсрснсттсвептсьслс параметром реисетки.

Эттссз длину сшзываюпс, посттсояптсоту 1теьссеттсьстс тл обьсчпо обозпачатош терез а. Ьри.- стааллические реисетснс кубической сигпшмы имеютп 13 поворютаых осей еилсметрии: 6 осей втпорого порядка, 4 оги псрепсьего порядка и 3 ошс четвертного порядка. Оги гл мметпрпи творога порядка соединяют цешссуты протствополооюпых ребер кубо, Брове, осреспьего — п1соттстсвополозктсьсе веритпьс его, а сетвертого — це~ттсры противополооюпых граней. Тетрагон аль ная (илн квадратная) система. Параллелепипед Бране имеет форму тсряхсой квадратной призмы (рис.! 64). Наряду с примитивной решеткой сссс) существует еще обьемноцентрированнвя решетка (1).

Характеристики

Список файлов книги