Д.В. Сивухин - Общий курс физики, Т2. Термодинамика и молекулярная физика (1106322), страница 123
Текст из файла (страница 123)
Рис. 154 Так, поворот на угол о можно получить путем двух последовательных отражений в двух плоскостях ОА и ОВ, пересекающихся на оси поворота О под углом (1/2) о (рис. 155). Если ось поворота О удалить и бесконечность, т. е. выполнить два отражения в двух параллельных плоскостях. то поворот перейдет в параллельный перенос (трансляцию).
Если выполнить последовательно три отражения в координатных плоско- стах х = сопви й = сопзв х = сопя!ч то точка (х. РД г) пеРейДет в точку ( — х, — Рд — -). В результате получается инверсия, или отражение в начале координат. Таким образом, симметрию любого плела можно вписагпь с помощью одних только операций отражения. Од- з 129) Силсмстрил >пел пако для большей наглядности удобнее при таком описании пользоваться и сложными операциями симметрии, сводящимися к последовательно выполняемым отражениям в плоскостях.
0 Определенные геометрические точки, прямыо и плоскости„симметрично расположенные относительно тела, 1 а называются его элементами 2 3, симмтприи. К ним относятся ось симмеп>раич плоскость --Ь- симметрщк зеркально-поворотная всь, ъсптр с>симе>гь Л В рии и пр. Совокупность всех элементов симметрии тела па- рис. 155 зывается его грргтой симметрии. !'руины симметрии, содержащие только операции отражения, поворота и инверсии, но не содержащие трансляций, называются твчсчиыми гр11ппами. Такие группы оставляют на месте по крайной мере одну точку тела и описывают симметрию конски>ях фигур: атомов, молекул, многогранников и пр. Группы симметрии, содержащие, наряду с перечисленными операциями, также трансляции, описывают симметрию бсскоиечиь>х систем с периодической структурой.
Они называются прастран; ппвсиными грдптами,. 2. Если тело переходит само в себя при повороте на угол у>„= 2п> п 1,п = 1, 2, 3, 4,...) вокруг некоторой оси, то зта ось называется поворотной осью пли осью симме>арии и-го порлдкеь В дальнейшем ради краткости условимся обозначать одним и тем же символом элемент симметрии и соответствующее ему преобразование. Так, поворотную ось п-го порядка и поворот вокруг нее на угол 2к>>а будем обозначать одним и тем же символом С„. Если п =- 1, тело поворачивается на угол у» = 2к, т.
е, возвращается в исходное положение. Такой поворот. следовательно, есть тождественное Рис 155 преобразование. Ему самому по себе не соответствует никакая симметрия. При повороте на угол ~р = р(2к>>п). где и-- целое число, тело. очевидно, также переходит само в себя. Угол можно представить в виде,р = 2к: 1'»)р). Отсюда видно, что если п кратно р. то рассматриваемая поворотная ось Св будет одновременно поворотной осью более низкого порядка п1р, т.е. осью С„1р.
Так, геометрическая ось ЛВ правильной шестигранной призмы (рис. 156) является поворотной осью шестого. третьего и нторого порядков. 3. Если тело переходит само в себя в результате зеркального отражения в некоторой плоскости, то зту плоскость называя>т плоскосгпью симметрии. Ее, а также соответствующую операцию отражения обо- ) Гл. Х!! Симметрия и етреент. кристаллов 55О значают буквой в.'!ак,человеческое тело. если отвлечься от расположения ннутренннх органов !сердце находится слева), имеет плоскость симметрии, которая делит его на две похожие половины: правую и левую.
Наличие в теле поворотной оси любого порядка еще не означает, что в нем есть пле>скость симметрии, проходящая через эту ось. Так, правильная шестигранная призма (рис. 156) имеет шесть плоскостей симметрии. проходящих через ось ЛВ. Если взять совокупность таких призм с общей осью, произвольно повернутых относительно друг друга, то поворотная ось сохранится, однако плоскостей симметрии, проходящих через эту ос>ь вообще говоря, нг будет. 4. Операция поворота тела вокруг неподвижной оси на угол 2п/и с одновременным отражением его н плоскости, перпендикущярной к той же, оси, называется зеркально-пввврвпщым превбраэввакнагм.
Если в результате такого преобразования тола переходит само в себя, то соответствующую ось называюг зеркально-поворотной осью п.-гв порядка. Так, система из четырех точек АВСВ на рис.157 обладает зерквльно-поноротной осью С четвертого порядка. Очевидно, эта ось является также обычной поворотной осью второго порядка. Зеркально-поворотные прообразования и ось будем обозначать через В,. Легко видеть, что при нечетном и зоркально- 'В поворотная ось и-го порядка не является новым элементом симметрии, а сводится к комбинации А .. поворотной оси и-го порядка С„, и перпендику- лярной к ней плоскости симметрии а, )!!оэтому Рис.
157 при рассмотрении зеркально-поворотных осой достаточно ограничиться осями четных порядков.) /)ействительно. повторим операцию Яа и раз. Тело повернется на угол 2л, претерпев нечетное число отражений. Все зти операции эквивалентны однократному отраженна> в плоскости а. Так как каждая из них совмещает тело само с собой. то тем же свойством обладает и операция в. Это показывает, что плоскость в является плоскостью симметрии тела. Учтя это. произведем над телом преобразования в.
и В, тело перейдет само в себя. Но совокупность операций а и В„эквивалентна одному повороту С„. Значит, ось Вв янляется поворотной осью тела п-го порядка. 5. Если при инверсии относительно некоторой точки О тело переходит само в себя, то точка О называется цепи>ром симмепгрии тела. /!опустим, что тело имеет зеркально-поворотную ось второго порядка Ям Докажем. что н этом случае точка О, в которой ось Яа пересекает соответствующую ей плоскость П, будот центром симметрии тела. Действительно, поворот вокруг оси Яа на 180' (рис. 158) переводит точку А в положение А'.
Отражение в плоскости П переводит точку А' в положение В. Так как Ьа есть зеркально-поворотная осгь то в положении В должна находиться гочка тела, идентичная с точкой А. з 129) Сттм нетпру„я, птетт 501 Но точки Л и В симметрично расположены относительно то*тки О. Это значит, что точка О является центром симметрии тела.
Таким образом, если в теле еглаь верь;альао-поворотная ось вттторого ттврядка, тав в пем естпь и Л' Л(х,й, ) це~тар ст ммептрии. Обратно, если в теле еспть центр етьммтгтттртт, ттто в нем Вт т меются и зеркальттв-ттвввротттттые оси вттторого тторядка и ттуитполц каь нептрйдна заметитаь, тпаьих осей бееконе"тно много. Из рис. 158 видно также, что три элемента: центр симметрии, поворотная ось второго порядка н перпендикулярная к ней плоскость симметрии не независимы. Существование любой пары таких В( — х,— р.— з) В' элементов симметрии влечет и существование третьего. тт[ействительно, до- Рис. 158 пустим, например, что в теле есть центр симметрии и поворогная ось второго порядка. Тогда, если тело содержит точку Л.
то из-за наличия поворотной оси оно должно содержать также точку Л, а из-за наличия центра симметрии точки В и В'. Но точки Л' и В, Л и В' симметрично расположены относительно плоскости Л. Следонательно, П есть плоскость симметрии. 6, Нри отражении тела в плоскости может получиться тело. вполне идентичное с исходным оба тела можно совместить друг с другом одними только поворотами. Но может полу шться тело, хотя и похожее на исходное, однако отличающееся от него примерно так, как правая рука отличается от левая.
Никакими поворотами такие два тела нельзя совместить друг с другом. Г!ервый случай будет иметь место всегда, когда тело достаточно симметрично, а именно имеет плоскость симметрии или зеркально-поворотную ось. в частности центр симметрии; второй когда тело этими элементами симметрии не обладает. Органическая химия дает многочисленные примеры, когда молекулы вещества состоят из одних и тех же атомов, но встречаются в двух неидентичных модификациях: одна может быть получена из другой путем зеркального отражения. Такие молекулы называются зеркальными изомерами, или гптереоизамералтть Само явление получило название зеркаттьной изомерии.
Оно было открыто 11астером (1822— 1895). Нриведем простейший пример. Возьмем молекулу метана СНх. Она имеет форму тетраэдра с атомом углерода в центре и четырьмя атомами водорода в его вершинах. Такая молекула имсот плоскости симметрии, а потому зеркальной изомерией не обладает. Не обладает зеркальной изомерией и молекула, в которой один из атомов водорода заменен хлором, а также молекула. в которой один из атомов водорода заменен хлором, а другой бромом. (В таких молекулах есть, по крайней мере, одна плоскость симметрии.) Однако если третий атом водорода заменить йодом, то получится молекула СНС1Вг1, которая (Гл. Х1! Св.мметрол и строетм кристаллов 502 может существовать в виде двух различных стереоизомеров, как это видно из рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
