Д.В. Сивухин - Общий курс физики, Т2. Термодинамика и молекулярная физика (1106322), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Пусть т и у ознв Рис. 125 чают текущие координаты точки, лежащей на искомой поверхности. Давление внутри жидкости па уровне точки Л <рнс. 125) равно Р— Ра — ряу, где Ра — атмосферное давлаяис. То жа давление можно выразить по формуле Лапласа Р = Ра — пК, гда К вЂ” абсолютное значение кривизны поверхности жидкости в точке А. Следовательно, (109.5) рду = пК.
8 109) Формула Лапласа 12З По определению кривизны й = — — КФ/дв, гдо <Ь вЂ” элемент длины дуги, считвсмый поло>кительныьь когда оп проходит в направлении снизу вверх. Он связан с г!х и Ку соотношениями: Йх -- дв совз>; ду = двв!пу. Таким образом, В = а — 2~ — ~ъ'2 — !п(ъ>2 -!- 1); '= а — 1,066 ~ —. (109.10) !) РК >~ РК Если а ( 1,066З>'а/рд, то минимальное значение Р равно нулю. В этом случае предельное значение угла р = 0 не достигается. Пусть а ) 1,066.
>а/РК. Тогда максимально возможная высота поднятия определится из формулы (109.8), если гюложить э> = 0: Г 6=2~ —. !109.11) Разность ать>осфсриого и гидростатнческого давлений на пластинку направлена вниз и равна РК 6. Поэтому Г = К и- РК6а = 9 + 2а,Греха. (109.12) дф 4~р К = - — совр = - — в!яр. дх ' 49 ' Подставляя этн выражения в (109.5), получим два уравнения: РК у йу + а в!и Э> 6 р = О, (109.6) РКу Их + а сов З> Щ = О.
(109.7) Интегрируя (109.6) при начальном условии Э> = х при у = О, получим у = 2 — сов —. а (103 8) ~/РК 2 Подстановка этого выражения в (109.7) приводит к уравнению дх = — > ~ — соз — 41>+ —, )! РК 2 2 )( РК сов(З>>>2) ' интегрирование которого при начальном условии х = 0 при э> = х/2 дает 1 и Г 1 З> З 1 )га (! -г в!и (Э>,12))(ъ' 2 . 1) х = 2>~ — ! — — вш — ! + †, — !и .
(109.9) )) РК з>2 2 ' ~ РК (1 — в!и ~Э>/2)нъ 2--1) Формулы (10!).8) и (109.9) выражают уравнение искомой поворхности в параметрической форме. б. Определить в предыдущей задаче максимально возможную высоту поднятия пластинки над уровнем жидкости 6 и тол>ципу приподнятого столба жидкости Р в наиболсо узком месте М 7>' !рис.
125) при той же высоте поднятия. Найти также силу Г, которую необходимо приложить к едишще длины пластинки, чтобы оторвать последни>ю от жидкости. Вес единицы длины пластинки равен д, ее ширина а. Решение. Минимальная толщина столба жидкости Х> = М>з' при максимально возможной высоте поднятия 6 (рис. 125) определится из тре- бования Э> = 0 при у = 6. Подставляя в формулу (109.9) х = 1а — В)/2, э> = О, получим [Гл. 1Х Поверхностное нагляжсние Рассмотрим теперь второй случай: а < 1,066 Угп/р~. В этом случае и Р й = 2 — сое —, ~( ря 2' где Ээ определяется из транс~[ендентного уравнения 1109.13) — ) ( 1 ' 'э') 1 ~ и (1е.эшМ2)НЧ2 - 1) 1109 Л 1) 2 ~' РЮ ~ъ'2 2 l 2 1~ РИ (1 эш(Р/2))(ъ'2 ч 1) Š— —.
9 Е 2аэ/Рлп сов —, -Г 2п э1п Р. 2 1109.15) Если а « э~ т/р~, то вторым членом в этой формуле можно пренебречь. Пренебрегая также в 1109 14) членом а/2. находим Ээ = я/2. Таким образом, прн а (( М~~!РГ 6. Бесконечно длинная прямоугольная пластинка ширины а положена на поверхность несмачпвающей ое жидкости с поверхностным натяжением а. Плотность вещеу ства пластинки ре больше плотности жидкости р. Найти максимальную толщину пластинки 1г, при которой опа еще пс утонет. Решение. Примем за ось У вертикальную прямую, касающуюся боковой поверхности жидкости, а за ось Х вЂ” горизонтальную прямую, псрпендикуляр- ную к длине пластинки и Рис. 126 касающуюся поверхности жи,чкости в бесконечности 1рис.126). Уравнение боковой поверхности жидкости будет ) и г 1 Ээ 1 )) и 11 -Г соз1Ээ/2)иъ'2 — 1) )) т ~э/2 2l 2~( И П вЂ” соз(1э/2)их72 т1) 1109.16) ~п .
ээ р .—. -2 — эш )(ря 2 П09.17) Минимальное расстояние В = МД' при максимально возможной глубине погружения пластинки ~й „,„.„,. определится из требования ээ =- я, которос дает 12 = и — 2~ — 1у'2 — 1п1э'2 -~- 1)) = о — 1,066 ~ Рй '1 РЯ 1109.18) При нахождении Е необходимо учостгь что в рассматриваемом случае пла- стинку тянет вниз дополнительная сила поверхностного натяжения 2п э1п ~р.
С учетом этой силы 6 109) Формула Лапласа урд 2' (109.20) где Эл определяется из уравнения Ло'1 1 ) и (1 «-сов(Ээ/2))(л/2 — 1) 2)1( Ру (1 — сов(1о/2))(т'2 а 1] толщины пластинки получаем 2 ) ар, ла 2и ый~ Ф ро — р ~ у "" 2 уа(ре р)' (10922 Ц Для максимальной (109.22) Если а « л/е/рд, то первым членом справа можно пренебречь. При этом, как видно из (109.21), ла — -- л/2, и мы находим 2и й =, или 2и = бай(ре — р), (109.26) уа(ро — р) т.
с. вес пластинки уравновешивается 1ловерхностнылл яатяясенпсм н архилледовой подъемной силой. 7. Определить силу г', необходимую для отрыиа круглой невесомой пластинки радиуса г = 6 см, полонсенной на поверхность воды. Поверхностное натяжение воды и =- 76 дин,'см. Пластинка смачивается водой, О т в с т. Пренебрегая кривизной окружности, ограничнвающей пластинку,получим Г' — 2ягэл/Руи — 1,1 Н. 8. Найти высоту поднятия й жидкости у вертикальной бесконечной пластинки, сллачиваемой жидкостью. Краевой угол равен д. У..С Ре 9.
Опре,аелить глубину й ртутной лужицы на плоском горизонтальном стекле. Поперечные размеры лужицы валики по сравнению с сс глубияой. Поверхностное натяжение ртути на границе с воздухом и =. 490 дин/см, краевой угол на стекле д = 140'. Плотность ртути р = 13,6 г/сллэ. /и, д Ответ. 1л = 2П вЂ” в!и —, = 6 6 мм. 1/ Рб Если а < 1,066 л/и/Рл,то О =- 0 и пРсдсльнос значение Угла Ф = х нс достигается. РассмотРим сначала слУчай а > 1,066л/и/Ро. В этом слУчае максимальная глубина погружения верхнего основания пластинки определится иэ (109.17), осли положить ла — х. Ояа равна у| „,„- 2,/а/р~. Прп этом на основание пластинки будет действовать направленная вверх разность давлений ру(6 «- ~у!„, „), которая должна быть уравновешена весом пластинки. ййаксимаяьная толщина пластинки, при которой она еще не утонет, определится из условия рд'(й «-~у~„„,) =- род,катеров дает б= (1098 9) Рс — Р1' у Теперь рассмотрим случай а < 1,066 ь/и/рр.
В этом случае ) Гл. 1Х Поесрхнпстное натяеюсние 10. Стальная иголка, покрытая тонким слоем парафина илн жира, может плавать на поверхности воды (рис. 127). Найти радиус иголки г, ширину зазора В - МХ между боковыми поверхностями жидкости в наиболее Рнс. 127 узком месте, а также глубияу погружения Н для различных значений угла и, образуемого общей касательной к поверхности иголки и жидкости с горизонтальной плоскостью.
Плотность стали рс = 7,8 гВз1, поверхностное 3 натяжение воды и = 73 дип!сзс Определить максимальный радиус иголки, при котором она еще не утонет. Найти максимально возможную глубину погружении и соответствующий ей радиус иголки. При расчете иголку заменить бесконечно длинным цилиндром. Рсшопие.
В точке А (рис.128) поверхности жидкости и иголки тангеициально расходятся. На одиницу длины иголки вверх действует сила поверхностного натяжения К = йпзшд. Крол~с того, на нес действует Рис. 128 сила гидростатического давления, также направленная вверх. Если бы часть АСВ иголки была заменена жидкостью, то сила гидростатического давления была бы равна 86 = р86 ° ЛВ = 2р86г з1п д, где 1 -- радиус иголки, а р — плотность жидкости. Благодаря тому что часть АВС погружена в жидкость, на иголку дополнительно действует сила гидростатического давления Вз, равная весу воды, вытесненной частью АСВ, т.е.
Вз = рйг~(д — з1п д соз д). Сумма трех сил 6 ы гй н 9гя должна равняться весу единицы длины иголки. Это дает 2п з1п д т 2р86гзш д ' рдг (д — я1пд сов д) = ряд лг . 9 Между углом д и высотой 6 существует соотношение 6 2~9 — з1п —, (сы. решение задачи 6), и продыдущее уравнение принимаот вид [ 1, 89 з 1рп д 2пз9пд лре — р(д — —, в9п 2д))1 — 4г — з1п дзш — — = О. (10924) 2 99 '7' 8 2 5 109) Формула Лапласа 427 ,'[ля В и Н получаем В = 2гюпл7-~-2 — 52 сов — е !и!8 — ) — 2 — (у2 — !п(лг2 — '1)), (10925) )!) рд 2 4 )!~ рд вд / д Н =- 2г вш — -!-2 — в!и —. (109.26) 2 )!! рд 2 После подстановки числовых значений: [2,-(- .
)]'-, 1 д 24,5 — ! д — —, вш2л5) !г — 1,091 в!идя!и —, г — 0,1488в|пг5 = О, (109.27) д д В = 2г в!и г7 -!- 1,091 сов — -~- 1,256 !8!8 — — 0,291. 2 ' 4 (109.28) !Предполагается, что здесь длины выражаются в сантиметрах.) Придавая д различные значения, получим следующую таблипу. л7, град г, мм Н, мм г,мм Н,мм В,мм В, мм д, град 0 0 10 0,328 20 0.471 30 0,583 40 0,680 50 0.,763 60 0,840 70 0,903 0 Ос!81 0,975 1,49 2,03 2,58 3,15 3,72 80 90 100 110 120 !30 139 139'30' 0,955 0,990 1,005 1,001 0,977 0,922 0,846 0,842 4,29 4,85 5,35 5,82 6,20 6,59 6,60 1,98 1,91 1,68 1,24 0,65 0,04 0,00 Наибольший радиус г получается прн д 100' и составляет приблизительно 1 мм. Если г > 0,842 мм, то существуют два положения равновоспя иголки: одно при лв ~ 100"', другое при д > 100'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
