Д.В. Сивухин - Общий курс физики, Т2. Термодинамика и молекулярная физика (1106322), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Погрузим сетку в расплавленный парафин. а затем встряхнем, чтобы парафин не заполнял отверстия в сетке. После этого положим на дно сита лист бумаги и нальем в него воды. Осторожно вытянем лист бумаги. Вода не будет выливаться через отверстия сотки. Возьлгем ареометр илп похожий на него прибор, плавающий в вертикальном положонии на поверхности воды, выступая немного наружу. На верхний конец чрубки ареометра наденем в закрепим плоский кружок из проволочной сетки и погрузим весь прибор в воду.
Ареозсетр начнет всплывать. Однако когда сетка дойдет до поверхности воды, то прибор остановится. Ь Гор) Формула, Лапласа встречая у самой поверхности сопротивление пропускающей его пленки. Если слегка наклонить прибор, чтобы край сетки отделился от воды,то оп всплывет, и сетка окажется значительно выше поверхности воды. Можно заставить ареометр всплывать и не наклоняя его.,Г[.пя этого достаточно капнуть на воду несколько капель эфира.
й 109. Разность давлений по разные стороны изогнутой поверхности жидкости. Формула Лапласа 1. Если поверхность жидкости — кривая,то при равновесии давления по разные стороны ее должны бгять разными. Явление обусловлено силами поверхностного натяжения. Рассмотрим сначала простейший случай, когда жид- АСВ кость ограничена боковой поверхностью прямого круглого цилиндра. 1!оперечное сечение Ьа цилиндра представлено на рис.
121. Выберем О на ого поверхности бесконечно малый участок Р~ Р ЛВ, стягиваел|ый центральным углом ьз. На его боковые стороны действуют касательные силы Ьп, где Ь длина цилиндра. Равнодейстную- Рис. 121 щая этих сил напраялена параллельно радиусу СО цилиндра и равна Р = 21нг э!и(;р/2), или Р = до р. так как угол р выбран бесконечно малым. 11одставляя сюда р = о!В, где о — длина дуги АВ, а В - радиус цилиндра, получим Р = — и. (102.1) Здесь В = оЬ вЂ” площадь бесконечно малого прямоугольного участка на боковой поверхности цилиндра. Разделив силу Р на площадь В, найдем разность давлений внутри и снаружи жидкости Рв — Рг = о'/Й. 2.
Обобщим теперь эту формулу на случай, когда жидкость ограничена поверхностью двойной кривизны. С этой целью возьл1ем на поверхности жидкости четыре точки Л, В. С, О, находящиеся в вершинах бес- С конечно малого прямоугольника (рис. 122). ! !роведем через А и В, В и С н т. д. плоское и сти, перпендикулярные к поверхности жид- А кости. (На рис. !22 изобраэкены только две плоскости, проведенные через ЛО и ВС. Они пересекаются вдоль бесконечно мало- Д1 го отрезка 00'.) В результате получится О' бесконечно лгалый криволинейяый прямо- О угольник ЛВСО.
Его стороны могут рассматриваться как бесконечно малые дуги Рис. 122 окружностей. ! !усть й~ . радиус кривизны ) Гл. 1Х Поверхностное носе.кжснле 420 дуги АВ. Радиус кривизны дуги ОС отличается от й~ бесконечно мало. На противоположные стороны А О и ВС действуют касательные силы поверхностного натяжения. Результирующая этих сил нормальна к поверхности жидкости.
Согласно формуле 1109.1) ее модуль Р, 1о /й~)Я, где  — площадь прямоугольника АВСО. Рассуждая так же, найдем, что результирующая касательных сил поверхностного натяжения, действующих на противоположные стороны АВ и ОС, тоже нормальна к поверхности жидкости и ее модуль /''э = (о/йх)В, где йе — радиус кривизны дуги Ао. (Радиус кривизны дуги ВС отличается от него бесконечно мало.) Таким образом, модуль результирующей всех сил поверхностного натяжения, действующих на границах прямоугольника ЛВС В, 1 1 Р = Рг + Р'э = ой ( — + — ) .
Йч Й2 Разделив ее на В, получим искомую разность давлений: (Й Й) 1 1 1109.2) 2о рз — 1., = —. Й Для мыльного пузыря разность давлений воздуха внутри и вне пузыря вдвое больше по сравнению с тем, что дает формула 1109.3), т.с. 4о. Рв — Рг = —. Й Это связано с тем, что оболочка пузыря имеет две поверхности: наружную и внутреннюю. Она действует как пленка с удвоенным поверхностяым натяжением. Таким образом, чем больше кривизна поверхности пузыря, том болыпе давление газа в нем. 11оложение здесь противоположно тому, Формула 1109.2) называется форжрлок1 Лаплпсо.
Вели*пены Й~ и Йз суть радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных нормальных сечений поверхности жидкости. Радиус кривизны считается положительным, если соответствующее нормальное сечение вогнуто в сторону жидкости. В противном случае он считается отрицательным. Величина 1/Й~ + 1/ Йз называезюя средней кривизной пове1зхносголь Средняя кривизна не зависит от выбора взаимно перпендикулярных нормальных сечений поверхности жидкости.
В противном случае от такого выбора зависела бы и разность давлений Р, — Р,, что физически бессмысленно. В дифференциальной геометрии независимость средней кривизны любой поверхности от выбора нормальных сечений доказывается чисго математическими методами без использования физических или каких-либо других соображений. Эта независимость составляю содержание так называемой гпеоремы Эй ~ера. 3. Если поверхность жидкости сферическая, то Й~ = Йх = Й, и формула 1109.2) переходит в ! 100) Формула Ла>гласа 421 с которым мы сталкиваемся, надувая футбольный мяч: с увеличением размеров мяча увеличивается н давление газа внутри него.
Указанное различие связано с тем,что поверхностное натяжение пленки пузыря не зависит от его раз- К> меров, тогда как натяжение оболочки камеры футбольного мяча возрастает по мере ее надувания. Кг Кв Рассмотрим два мыльных пузыря, ссюбщающихся друг с другом.
Их можно получить при помощи тройника, снабженного необходимыми кранами (рис. 123). Сначвг>а каждый пузырь выдувается в отдельности. Затем кран Кг Рис. 123 закрывается, а краны Кг и Кв открываются. Давление в меньшем пузыре балы(е, и воздух из этого пузыря будет перетекать в болыпий пузырь. Болыпий пузырь будет расти за счет меныпего. 4.
Применим формулу 1!апласа для расчета высоты поднятия жидкости в цилиндрическом капилляре радиуса а (рис. 124). Пренебрежсм изменением давления жидкости при изменении высоты на величину порядка а. В этом приближении разность давлений Рв — Р> будет одной и той же во всех точках мениска. То >ке относится к средней кривизне 1/Л> + 1/Йг, как это следует из формулы 1! апласа (109.2). Кроме того, ввиду симлгетрии Л> = Лг.
Поэтому в рассматриваемом приближении мешиск можно считать сферическилс. Его радиус кривизньс а Л= сов д ' где д краевой угол. В рассматриваемом случае Р, есть атмосферное давление, а 1>г— давление жидкости на уровне мениска. Эти давления связаны соотношением Рис. 124 Р> — Рг — — рв 1г, 2а 2сг й = = сов д. рЛЛ руа (109.4) Вьюота поднятия обратно пропорциональна радиусу капилляра. Когда угол д тупой, т.е. лсениск выпуклый, вели сина Ь отрицательна, т.е.
имеет место не поди>ггие, а опускание жидкости в капилляре. ЗАДАЧИ 1. Капля воды массы т — ОД г ввсдсна между двумя плоскими и параллольнымн между собой стеклянными властинками, смачивавмыми водой, где 6 высота поднятия, а р плотность жидкости.
Сравнивая эту формулу с формулой (109.3), получим ) Гл. !Х Паеерхнастнае натяеюсяие причем краевой угол д = О. Как валика сила притяжения между пластинка<<и Р, если они находятся друг от друга на расстоянии <1 = 10 < см? Поверхностное натяжаниа воды (нри 18') и — 75 див<<с<<. Р с<пение. Капля примет форму диска с вогнутой периферийной поверхностью. Кривнзпой сечения этой поверхности плоскостью. параллельной пластинкам, можно пренебречь.
Радиус кривизны нормального к нему сачапня г = <1<<2. Сродная кривизна боковой поверхности диска 1<<7?«-- .<. 1<<??г . 2/<4. /[веление жидкости <<ежду дисками меныпе атмосферного на 4Р = 2п<<а<. Площадь диска Б = <п<<р<э где р — плотность жидкости. Пластинки будут прижнматы:я друг к другу с силой Р = Я 2Р = 2<па)р<? = 1,46 10' дин = 1,46 10 Н.
2. Грамм ртути помещен между двумя плоскими стеклянными пластинками. Какую силу Р надо приложить к верхней пластинке, чтобы ртуть приняла форму круглой лепешки однородной толп<нны и радиуса 5? = 5 см? Поверхностное натяжение ртути <при 15'С) а --- 487 дин/слд краевой угол между ртутью и стеклом О = 40'. 2<гр сов <<1 Ответ. Р = х~??< = 630 Н !и< — масса ртути). т 3. С какой силой Р притягиваются два вертикальные и параллельные стсклянныа пластинки, частично погруженные в воду так, что расстояние между ними равно <1 = 0,1 мм? П!ирина пластинок ! = 10 см, и = 73 динусм, <? = О. Высота пластинок такова, что поднявшаяся вода нс доходит до их верхних краев. 2пг1 Ответ, Р = созг0 10 Н.
рь <1 4. Бесконечно длинная прямоугольная пластинка кладется на поверхность смачивающей еа жидкости, а затем слегка приподнимается, увлекая за собой некоторое количество жидкости (ри<л 125). Найти уравнение бо- ковой поверхности жндкос- ~К ти, устанавливающейся под влиянием капиллярных сил и силы тяжести. =:==::1:Д<г,у) Решение. Примем за ось Х прямую, перпснди- М г:- = <'<' кулярную к длинной сто=: =:г роно пластинки н лажап<ую :==:-г на горизонтальной ности жидкости, а за ось ==я ===-==- К вЂ” вертикальную прямую, =:::-=-=: = ===:-= =-=0=-::==::===:=:==:::= касающуюся правой цилиндрической новархностн жид- кости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
