Д.В. Сивухин - Общий курс физики, Т2. Термодинамика и молекулярная физика (1106322), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Если жг г ( 0,842 мм, то суплоствует только одно положение равновесия с л5 < 60',так как в этом случае прн л7 > 60' формула (109.28) дает для В отрицательное значение. Наибольшая глубина погружения Н получается при г 0,842 лллл и равна приблизительно 6,60 мм. 11. /)ве вертикальные параллельные пластинки частично погружены в жидкость. Показать, что между ними будет наблюдаться притяжение, когда обе пластинки либо смачиваются, либо не смачиваются жидкостью, и отталкивание, когда одна пластинка смачивается жидкостью, а другая нет. Решение.
В случае смачивания жидкость между пластинками поднимается !рис. 129 а). Давление в поднявшейся части жидкости становится меньше давления окружающей атмосферы. Атмосферное давление стремится прижать пластинки друг к другу. В случае несмачивания (рис. 1295) давление жидкости снаружи пластинок больше давления воздуха между ними. Появляется разность давлений, стремящаяся сблизить пластинки. Рассмотрим теперь случай, когда левая пластинка смачивается жидкостью, а правая не смачивастся (рис. 129 е). Если пластинки расположены достаточно блнзко друг к,чругу, то поверхность жидкости между ними ни в одной точке нс становится горизонтальной.
Она имоет точку перегиба где-то между пластинкалли. Вследствие этого жидкость между пластинками поднимаотся ~ Гл. ГХ Поееряностиое. натяжение ниже у левой пластинки и опустится ьгопьпге у правой пластинки„чем наружная жидкость. С этим обстоятельством и связано в рассматриваемом случае появление отталкивания между пластинками. Давление жидкости Рис. 129 между пластинками в точке Л равно делению наружной жидкости Рз на той же высоте. Давление воздуха Р больше Р,, так как поверхность жидкости у левой пластинки обрапгона к воздуху вогнутой стороной.
Давление Рз убывает с высотой, тогда как Рэ остается практически постоянным. Поэтолгу разность давлений стремится переместить левую пластинку влево. В точке В давление жидкости Рз больше Рз, так как поверхность жидкости в этой точке обращена к воздуху выпуклой стороной. Тем более это справедливо для давления ниже этой точки. В результате разность давлений Рз — Ре будет перемещать правую пластинку вправо. Действием рассмотренных сил объясняется концентрация в кучи пузырьков воздуха, листьев, мелких щепок и прочих смачиваомых тол, плаваюп1их на поверхности воды в стоячих водоемах. 12. Столбик жидкости, помещенный в коническую трубку, сам движется к более узкой части, когда он смачивает стенки трубки, н к более широкой части, когда не смачивает. Объяснить явление.
13. Если в трубке находится ряд капель (столбиков1 какой-либо жидкости, то требуется значительное давление, чтобы продвинуть их вдоль трубки, независимо от того, смачивают они стенки трубки или не смачивают. Сопротивление смачнвающнх капель сщс У более увеличивается, когда канал трубки попеременно суживается н расширяется. Г!ри этом келли собираются в суженных частях канала.()бънснить явление. Х 14.
Определить форму мыльной пленки,края которой закреплены на двух одинаковых кольцах радиуса й, удаленных друг от друга на расстояние 20. Цонтры колец лежат на общой прямой,перпендикулярной к их плоскостям. Плоскости колец не затянуты пленками. Рис. 1,'50 Решение. Ввиду симметрии планка будет поверхностью вращения вокруг прямой, на которой лежат центры колец.
Пересечем поверхность пленки произвольной плоскостью, проходящей чорсз эту ось, и примем ее за координатную плоскость ХУ (рис. 130). Так как давления по обе стороны пленки 3 109) Формула Лог!лага 129 одинаковы, то ее полпая кривизна 1,! Лс -~-1 сс йз должна равняться нулю. Радиус кривизны сс! пормальиого сечения пленки, лежащего в плоскости ХУ, 1 уа определяотся формулой — = — . 1велссчииа отрицательная). 11, с1, сэ)зсз Радиус кривизны перпоидикулярпого к лому нормального сечения легко определить с: помощью известной из дифференциальной геометрии теоромы Меньо, согласно которой у = йз сова, где а — угол между плоскостью нормального сечения и координатной плоскостью УЯ. Подставляя значение соз сс, получим Вэ =- узс Г~- усе (величисса положительпая).
Таким образом, дифференциальное уравнение, определяющее форму осевого сечения пленки, принимает вид (109.29) сз Ввсдслс подстановку у = яЬВЬ Тогда 1+ у = сЬ Г3, у = ' . Диффе- :Ьо с10/с)т ренцируя после,чпое соотиопюпие и принимая во внимание, что ус — еЬ О, паходим ааОссся~ = О, .откуда сй = ая -~- Ь, где а в Ь вЂ” постоянные. Опи определятся из граничных условий: у = Я при а = Ыс. Очевидно, Ь = О, так как ввиду симметрии у должва быть четной функцией от я.
Окончательно: (! 09.30) у —.— — сЬ аз —. — (е'"' -~ е ""), а 2а где постоянная а определяется уравиеиием (109.3Ц Поверхность пленки получается вращением кривой (109.30) вокруг оси Х. Опа называется каспессоссс1ом. Уравнспне (109.31) легче всего исследовать и решать графически. Применяя этот метод, нетрудно доказать, что оио имеет решение только при условви !з,сЬ > 1,51. Значит, чтобы между кольцами могла образоваться пленка, необходимо, чтобы расстояние между»ими 21с пе превьппало (2,с1,51) В = 1,32 Я. 15. Струя жидкости вытекает через трубку в дне сосуда (рис. 131).
Поперечное сочсние трубки имоет форму эллипса, вытянутого в горизоитальполс направлении. Струя принимает форму цепи, звенья которой попеременно то вытянуты, то сплюсиуты в горизонтальном направлении. Объяснить явление. Пользуясь с'оображепиями размерности, найти зависимость длины звена ! в начальной части струи от плотности жидкости Р,поверхпостного иатяжопия сц расстояния Ь между основа- Рис.
131 вием трубки и уровнем жидкости, а также от ускорения свободного падения д, если попсрочиое сгченио трубки остаатся неизменным. На наблюдении этого явления основан погод Рэлся измерения поверхностного натяжения жидкостей. Ответ. 1 зсРКЬ!а 16. Мыльный пузырь выдут через цилиндрическую трубку с внутренним радиусом г = 1 мм и длиной ! = 10 см. В тот момент, когда радиус (Гл.!Х 100 Поверхностное нат,.я:жение. пузыря достигает значения Пе — — 1О см, перестают дуть. и воздух из пузыря начинает выходить через трубку.
Через какое время, начиная с этого люмонта, пузырь исчезнет? Поверхностное натяжение мыльного раствора а =- 50 дип,'см, вязкость воздуха ц = 1,8 ° 10 Я гцс см). Измененном плотности воз,чуха за вралю процесса пренебречь. Ответ. Время 1 связано с радиусом пузыря соотношением ~01 нл аг Пузырь исчезнет через время л Па=72 10 с=-2ч. 201 пг 17.
На какую величину 0Т температура воздуха внутри мыльного пузыря должна превышать температуру окружающего воздуха Т, чтобы пузырь стал подниматься? Радиус пузыря равен г, поверхностноо натяжопио мыльной пленки а. Массой пленки можно пренебречь, Учесть, что давление воздуха внутри пузыря мало отличается от атмосферного давления Р. Ответ. 2Т > 4аТ/Ргз ~ 110.
Капиллярно-гравитационные волны малой амплитуды 1. Капилллрио-гравитационными солками нлзыааютс» зол~и, распросгпратяянциеая по поаерхногти,ясидкагти под дейстаием тгл, пааерхност; ного натлхсенхл и силы тяэкеглпль Для понимания яастоящего параграфа требуется знакомство с некоторыми понятиями, относящвмися к учению о волнах, которые будут подробно изложоны в третьем томе нашего курса.
Читатель, не знакомый с этими понятиями, может пропустить этот параграф без ущерба для понимания далынгйшего. Ограничимся рассмотрепиеза капиллярпо-гравитационных волн малой амплитуды. Так называются волны, амплитуда которых мала по сравнению с длиной волны. Мы будем также считать жидкость глубокой, т.е. рассмотрим случай, когда глубина жидкости значительно больше длины волны. Найдем выражение для скорости распространения капиллярно-гравитационных волн. Это можно сделать очень просто, если воспользоваться слгдуюгцим результатом, вытекаюп1иы нз уравнений гидродинамики несжимас мой жидкости.
В плоской бегущей синусоид льной, гтлне мшюй амплитяуды каэкдая частица жидкости даггэкетсл по окруэкгюсгпи., располоэкеннай е аергпик леной пгюскости, прохадшцей через напрааление распространения волны. Радиус окружности г мал по сравнению с длиной волны Л. Он убывает экспоненцивльно при удалении от поверхности жидкости. Однако знание конкретного закона, по которому происходит такое убывание, для последующих рассуждений не тробустся. Существенно только то, что на поверхности жидкости амплитуда колебаний максимальна, а далеко от нее (па расстояниях во много раз больших Л) обращается в нуль.
Если точки поверхности жидкости, расположенные на некоторой прямой, заставить совершать гармоническое колебательное движение, то вдоль поворхности жидкости перпондикулярно к этой прямой побежит капиллярно-гравитационная волна, скорость распространенна которой обозначим чороз с.
В неподвижной системе отсчета, как уже сказано, каждая частица жидкости движется по окружности. Рассмотрим явление в систоме отсчета, 3 110) Капеиылрно-грпентацвоннне еианы малой амшщгпрды 431 равномерно движущейся со скоростью с. В этой системс волны будут стоять на месте. Движение частицы будет слагаться из равноморно-поступательного со скоростью с и равномерного вращения по окружности радиуса г. Так как радиус г предполагается малым по сравнению с длиной волны Л, то можно пренебречь горпзоитальными колебаниями частицы. Если ось Х направить по псвозмущснной поверхности жидкости в сторону распространения волны, а ось Я вЂ” вертикально вниз, то в указанном приближении движение частицы на поверхности жидкости изобразится уравнениями 2хс1 я=се, с=тяп Л (110.
Ц Форма траектории найдется отсюда исключением времени 1, что дает 2хл л = гэ~п Л (! 10.2) Это — синусоида. Частицы, расположенные нс на поверхности, а в глубине жидкости, также движутся по синусоидам. Но для иих радиус г мсныпс— он убывает с глубиной. 2. На рис. 132 верхняя синусоида АВС представляет траекторию частицы иа поворхности жидкости, а А'В'С' — боскоиечно близкой к ной частицы в глубине жидкости. В рассматриваемой системе отсчета течение с — о В' с+о Рис. 132 жидкости стационарно.
Пространство между поверхностями А ВС и А'В'С' представляет собой трубку тока. Приманим к пей уравнение Вернулли. Если о — скорость движения жидкости по окружности. то в точке А, где поступательное и вращательное движения вычитаются, полная скорость жидкости будет с — о, а в точке В, где они складываются, с 1- е. Разность высот точек А и В равна Ь, =. эг. Поэтому по уравнению Бернулли Рл + — 1с — о) —; 2раг = Рэ -,. — 1с + е) р а,, р 2 ' 2 и.ли 2рсо = 2рдг -Ь (Рл Рэ)- 1110.3) Очевидно, 2яг 2агс о =- 7' Л Датчанин жидкости в точках А и В по Формуле Лапласа равны соответственно Рл -= Ро ~ оК, Рн = Ро. оК.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
