А.В. Зотеев, А.А. Склянкин - Лекции по курсу общей физики (1106108), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

В том случае, когда через поверхность, ограниченную контуром C, протекают распределённые токи, вправой части вместо суммы следует записать поверхностныйинтеграл вида  jn dS . Этот интеграл, как нетрудно догадаться поопыту работы с электростатическим полем, имеет смысл потокавектора плотности тока j через поверхность , ограниченную- 206 -§ 15. Теорема о циркуляцииконтуром C – предполагается, что именно черезнеё ипереносится заряд!15.2. Доказательство теоремы о циркуляции векторамагнитной индукцииКак и при доказательстве теоремы Гаусса в электростатикепроведём его по шагам, двигаясь от простого к сложному.a) Рассмотрим сначала простейший случай – постоянный токпротекает по бесконечно длинному прямолинейному тонкомупроводнику.КонтурС–окружность,располагающаясявплоскости, перпендикулярной проводнику, проходящему через еёцентр – см.

рис. 15.2.Очевидно, прежде всего, что контур С совпадает с одной излиний индукции магнитного поля проводника. Отсюда ясно, чтопод знак интеграла при расчёте циркуляции попадают простопроизведенияB(r)dl(налюбоммаломучасткеконтуранаправления векторов B и dl совпадают!). В силу осевойсимметрии модуль вектора B зависит только от расстояния допроводника и постоянен на окружности радиуса r, а потому егоможно вынести за знак интеграла. Получаем: Bl dl   B(r )dl  B(r )  dl  B(r )  2r .

(*)CCCЗдесь учтено, что оставшийся интегралаC dl , равен по определению математикиCдлине контура С, т.е. длине окружности2r. Индукция магнитного поля бесконечнодлинного прямолинейного проводника нарасстоянии r от него равна, как мы ужезнаем (результат применения закона БиоСавара-Лапласа и принципа суперпозиции)- 207 -rnIбC dlВdlnВВIdlРис. 15.2 dlВЭлектричество и магнетизмB(r ) 0 I. Подставим это в правую часть соотношения (*) и2 rпридём к результату для циркуляции: Bl dl C0 I 2r   0  I ,2 rчто как раз и совпадает с утверждением теоремы.б) Несколько усложним ситуацию – пусть контур С попрежнему лежит в плоскости перепендикулярной проводнику,охватывает проводник, но на этот раз имеет произвольную форму15.3,а).(рис.Запишемсначалацепочкуочевидных«погеометрическим соображениям» равенств: ( B, dl )  Bl  dl  B  dlB  B  dl  B  r  dи подставим сюда, как и в первом случае, значение модулявектора индукции магнитного поля прямолинейного проводникаI B  0  .

В итоге получим подынтегральное выражение для2 r вычисления циркуляции:циркуляцию I0 I r  d  0 d . Теперь посчитать22 rстановится очень просто– ведь переменнойвеличиной является только угол поворота  радиус вектора rпри обходе контура С. Получаем:а)Cб)IrdIdlB1CdldРис. 15.3- 208 -2Bdl§ 15. Теорема о циркуляции Bl dl C0 I I  d  0 2   0  I ,2 C2что опять-таки соответствует утверждению теоремы.в) Пусть теперь проводник проходит вне контура С. Контурпридётся разбить теперь на две составляющие и при вычисленииинтеграла двигаться сначала от точки 1 к точке 2 по болееудалённой его части, а затем от точки 2 к точке 1 возвращатьсяпо более близкой (см.

рис. рис. 15.3,б). При этом интегралразбивается на две части. Для участка 1–2 угол между векторамиB и dl острый и знак их скалярного произведения положителен.Напротив, для участка 2–1 угол между векторами B и dl тупой изнак произведения противоположен. В итоге получаем:0 I Bl dl 2C22   d   d   01 1Это означает, что токи лежащие вне поверхности, ограниченнойконтуром (не «пронзающие» эту поверхность), вклада вциркуляцию не дают.г) Нам остаётся провести лишь несложные обобщения наслучаи – контур не является плоским (нетрудно сообразить, чтопопутно снимаются ограничения и на условие прямолинейностисамого проводника) (рис.

15.4); самих проводников с токомнесколько (много) – рис. 15.5. Все малые элементы произвольногонеплоского контура можно представить как сумму компонент,CIIidl  dl CIkРис. 15.4○Рис. 15.5- 209 -I2○I1I3Электричество и магнетизмлежащих в плоскости перпендикулярной проводнику ( dl ), исоставляющих, параллельных ему ( dl ). Хотя при обходезамкнутого контура С в общем случае происходит не толькоповорот соотверствующего радиус-вектора (d), но и смещениепараллельно проводнику, подынтегральное выражение изменяетсяровно так же, как и в случае плоского контура на величину   ( B, dl )  ( B, dl )  ( B, dlII )  B  r  d____________0Векторы взаимно перпендикулярны!Дальнейшие действия аналогичные пунктам б) и в) приведутнас к тем же самым результатам – 0I, для проводников«охваченных» контуром и 0 для «не охваченных».д) Последний шаг доказательства теоремы требует обобщенияна случай присутствия произвольного количества проводников стоком.

Мы лишь приведём соответствующий рисунок (см. рис.15.5) и скажем, что результат очевиден с учётом принципасуперпозиции магнитных полей. То же относится и к вопросу олюбомпереносе зарядачерезповерхность,ограниченнуюконтуром, только сумму дискретных величин придётся заменитьинтегралом хорошо знакомого вида  jn dS (поток!).Теорема доказана!15.3.

Применение теоремы о циркуляции векторамагнитной индукцииКак мы уже отмечали, применение теоремы о циркуляциивектораBоправданноприрешениезадачсплоской,цилиндрической и сферической симметрией переноса заряда. Вэтих случаях за счёт выбора формы контура С интеграл в левойчасти равенства (15.1) можно свести к произведению модуля- 210 -§ 15. Теорема о циркуляциивектораBна длину контура или отдельных его частей.Проиллюстрируем это на примере.Пример 1.

По длинному прямолинейному проводнику радиуса Rтечёт ток. Плотность тока распределена равномерно по сечениюпроводника и равна j. Найти зависимость индукции магнитного полятока B(r ) как внутри, так и вне этого проводникаДоговоримся сразу, что магнитная проницаемость веществапровода и окружающей среды практически равна единице (т.е.эти вещества не являются ферромагнитными).

Для длинногопроводника (строго говоря, «бесконечено длинного») можноговорить о цилиндрической симметрии задачи – в любойплоскости, перпендикулярной проводнику, линии поля – окружностис центрами на оси проводника. Модуль вектора B зависит толькоот расстояния до проводника и постоянен на любой такой линии.Для применения теоремы о циркуляции, выберем поэтому контурС в виде окружности радиуса r , совпадающей с одной из линийполя (см. рис.

15.6,а). Векторы B и dl на любом её участкесонаправлены, поэтому:B(r )C1 Bl dl   B(r )dl  B(r )  dl  B(r )  2r . (*)CCCB (мы уже проделывали подобное приj  dl доказательстве теоремы – шаг а).BОтметимтеперь,чтозаконBРис. 15.6,аИприменимизменения индукции с расстоянием,вероятно,различендляобластипространства вне и внутри проводника.теоремуоциркуляциидважды,выбравсоответствующие контуры С1 и С2 (см. рис. 15.6,б) – окружности срадиусом r большим и меньшим, чем радиус R цилиндрическогопроводника с током соответственно. Выражения для циркуляции- 211 -Электричество и магнетизмB(r )2магнитного поля для обоих контуров поC1B1jdlBC2Bвиду записи совершенно одинаковы –В2r.

Отличия будут лишь в диапазонезначений радиуса окружности (для С1:r > R, а для С2: 0 < r < R) и в правойчасти равенства (15.1), соответствующеготеореме о циркуляции:0 j R2 – для контура С1 (r > R),Рис. 15.6охватывающего всю поверхность 1, через которую переносится заряд, и0 j r2 – для контура С2, охватывающего лишь поверхность 2, т.е.при 0 < r < R.Мы здесь учитываем, что плотность тока отлична от нуля ипостоянна (j) только в пределах проводника (поверхности 1)радиуса R. Результаты дляиндукции магнитного поляможно записать в виде:B(r )  0 jR 2 1B( r ) 0 jj– вне2 rпроводника, т.е. при r > R и0r – внутри2проводника, т.е.

при 0 < r < R.BНа рисунке 15.7 показанораспределениеполявмагнитногорадиальномпоrR0отношению к оси проводникаRrРис. 15.7направлении.Ясно, что направление магнитного полявлюбойпространства определяется “правилом правого винта”.- 212 -точке§ 15. Теорема о циркуляцииПример 2. Найдём индукцию магнитного поля В соленоидаСоленоидом, как мы уже знаем, называют dB длинную катушку – длина катушки многобольше её диаметра. Прежде чем применятьdBрассмотренный выше подход (теорему оциркуляции) сделаем некоторые заключения оO2O1структуре поля соленоида.

Катушка состоит избольшого количества одинаковых витков сРис. 15.8током, каждый из которых дает свой вклад врезультирующее магнитное поле. При этом для каждого витканайдется симметрично ему расположенный по отношению кплоскости, перпендикулярной к оси катушки (О1О2, см. рис. 15.8).Сумма векторов индукции от симметричных витков в любой точкеэтой плоскости даёт вектор параллельный оси соленоида. Итак,направление векторов может быть только параллельным осикатушки как вне, так и внутри неё.Выберем теперь контур 1–2–3–4 для применения теоремы оциркуляции в виде прямоугольника, две стороны которогорасполагаются вдоль оси катушки, а две другие –перпендикулярно.

Характеристики

Список файлов лекций