1 (1106064), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Это значит, что если можно сконструировать функцию распределения так, что она будет выражаться через комбинации переменных

то функция распределения станет функцией Е, Р, М, т.е.

.

Импульс и момент замкнутых систем связаны с их движением как целого - равномерным поступательным движением и равномерным вращением. Если использовать систему отсчёта, в которой система частиц покоится, то можно исключить из рассмотрения момент и импульс, и тогда функция распределения будет функцией только энергии системы

В этом случае проблема поиска статистического распределения сводится к нахождению формулы для вероятности такого состояния всей системы (подсистемы), при котором эта система (подсистема) имеет энергию .

И Гиббс нашёл формулу для определения этой вероятности. Она имеет

,

где Т - абсолютная температура системы (см.ниже), К - постоянная величина (константа Больцмана), А - нормировочная постоянная, не зависящая от Е.

Эта формула носит название канонического распределения Гиббса и представляет собой равновесное распределение вероятностей состояний статистических систем в различных физических условиях. В статистической физике это распределение и является фундаментальным законом, используя который можно находить вероятности состояний систем в различных конкретных условиях, как следствия.

Формула справедлива для систем, в которых имеют место и дискретное, и непрерывное распределения энергий. Среднее значение любой физической величины , характеризующей систему для случая дискретного распределения энергий, может быть вычислено с помощью распределения Гиббса по формуле

при условии .

Для систем с непрерывным распределением значений энергии, используя распределение Гиббса, находится функция распределения

и

при условии

.

Интегрирование проводится по всем областям значений Р и q.

Прежде, чем использовать распределение Гиббса для получения распределений в конкретных системах, обратим внимание на следующий факт.

Мы рассматривали макроскопическую систему как замкнутую механическую систему и использовали её механические параметры. В распределении Гиббса основной параметр механической энергии присутствует - это энергия системы Е, но в том же распределении присутствует и термодинамический параметр - температура Т. Наличие этого параметра указывает на то, что рассматриваемая система является ещё и термодинамической системой, находящейся в равновесии, и как для любой термодинамической системы её равновесное состояние не зависит от начальных условий.

С другой стороны, появление температуры в статистической системе указывает на то, что температура имеет статистическую природу и может быть определена в процессе статистического рассмотрения. Поэтому интересно выяснить, как в распределении Гиббса появилась температура.

Температура является одним из тех физических параметров, которые специфичны для систем, состоящих из большого числа частиц, и не имеют смысла для механических систем, состоящих из небольшого числа частиц. Температура, как параметр системы, должна быть связана с другими параметрами, характерными для макроскопической системы, в том числе и с параметрами, связанными со спецификой статистической системы - её вероятностным описанием.

Такие параметры, связанные со спецификой статистической системы, должны подчиняться общим условиям статистического рассмотрения:

1) условию квазинезависимости (статистической независимости): вероятность W того, что в составной системе одновременно каждая i-подсистема находится в состоянии i равна произведению вероятностей

,

где - вероятность нахождения i-подсистемы в состоянии i, т.е.

;

2) как следствие квазинезависимости параметры должны быть аддитивными, т.е. значение такой величины для всего тела (системы) S есть сумма значений этой величины для отдельных его частей (подсистем)

.

Итак, если существует физическая величина, связанная со спецификой статистической системы, находящейся в равновесном состоянии, то она должна подчиняться следующим условиям:

.

Этим условиям удовлетворяет величина .

Действительно,

.

Коэффициент k - размерный коэффициент, так как S - величина физическая, а lnw - величина безразмерная; он зависит от природы системы. Например, если статистической системой является идеальный газ, то k = 1,381 10^-23 дж/К и носит название постоянной Больцмана (именно этот коэффициент содержится в формуле распределения Гиббса).

Итак, существует S - величина, специфическая для макроскопической системы. Величина S получила название энтропия.

Существует теорема: в состоянии термодинамического равновесия энтропия имеет максимальное значение.

Энтропия, как физическая величина, характеризующая поведение статистической системы, должна быть связана с другими величинами, характеризующими систему, в частности, с энергией, т.е.

S = S (E).

Рассмотрим два тела, находящихся в тепловом равновесии друг с другом, причём оба тела составляют замкнутую систему. Тогда общая энергия Е замкнутой системы

Е = Е₁ + Е₂,

а общая энтропия

S (E) = S₁ (E₁) + S₂(E₂).

Так как в тепловом равновесии энтропия максимальна, то

.

Пояснение:

1) Так как Е₁ + Е₂ = Е, то выражая Е₂ = Е - Е₁ = f(Е₁) и E = const, мы по сути имеем одну переменную Е₁.

2) Производная энтропии по энергии равно нулю - условие максимума.

3) Так как имеем одну переменную Е₁, то, дифференцируя по ней, получаем

,

так как

Итак, получаем

т.е. если система находится в состоянии термодинамического равновесия, то производная энтропии по энергии для всех её частей одинакова.

С другой стороны, величиной, характеризующей состояние термодинамического равновесия и одинаковой для всех частей системы, является термодинамическая величина температура. Таким образом, в соответствии с размерностями, можно считать, что

где Т - абсолютная температура.

Таким образом, температура, как и энтропия, действительно является величиной чисто статистического характера, имеющая смысл исключительно для макроскопических систем.

Рассматривая систему многих тел как механическую статистическую систему, характеризующуюся параметрами Е и S (энергией и энтропией) при выводе своей формулы Гиббс использовал соотношение

.

Так температура появилась в распределении Гиббса. В качестве примера конкретного использования распределения Гиббса, возьмём модель идеального газа, т.е. газа, в котором пренебрегаем потенциальной энергией взаимодействия молекул и их размерами. В общем случае энергия E (p, q) в формуле распределения Гиббса для классической статистической системы всегда может быть представлена как сумма кинетической W (p) и потенциальной U (q) энергий:

E (p, q) = W (p) + U (q).

В этом случае вероятность

разбивается на произведение двух сомножителей, один из которых

зависит только от импульсов, другой

зависит только от координат.

Так как сумма вероятностей всех возможных значений импульсов (так же, как и координат) должна быть равна 1, то и из этих условий можно определить а и b.

В случае идеального газа U (q) = 0 и таким образом с помощью распределения Гиббса определим вероятность различных значений импульсов, т.е.

при условии ,

где интервал берётся по всем возможным значениям импульса. W (p) в данном случае есть сумма кинетических энергий всех молекул газa (_i), т.е.

,

где .

Здесь m - масса молекулы идеального газа, n - число молекул.

, где

Таким образом,

,

т.е. для каждой i-й молекулы идеального газа распределение вероятностей dw_p имеет вид

при условии

.

Так как импульсы могут принимать любые значения, т.е. , то пределами интегрирования будут и , т.е.

.

Существует табличный интеграл

.

Используя эту формулу, можно найти, что

или

.

Таким образом, для идеального газа распределение вероятностей по импульсам любой его молекулы имеет вид

.

Теперь обратимся к распределению вероятностей для координат

.

В него входит потенциальная энергия молекул.

В идеальном газе потенциальная энергия взаимодействия молекул газа между собой равна нулю, но если газ находится в каком-либо внешнем поле (например, гравитационном), то молекулы идеального газа взаимодействуют с этим полем и возникает соответствующая потенциальная энергия, приводящая к распределению вероятностей молекул по координатам, а значит, возникновению величины, зависящей от координат, например, плотности газа.

Будем считать, что идеальный газ находится во внешнем поле, в котором потенциальная энергия молекулы есть функция координат U = U (x,y,z). В этом случае распределение молекулы по координатам будет иметь вид:

.

Если из N молекул газа dN молекул имеют координаты x, y, z, то можно считать, что

Характеристики

Список файлов лекций