1 (1106064), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

.

Для систем, состояния которых [т.е. координаты (x, y, z) и скорости V_x, V_y, V_z отдельных частиц] изменяются не дискретным, а непрерывным образом, т.е. когда имеют дело с непрерывно изменяющимися величинами, вводят вероятность dw_L того, что величина L имеет значение, лежащее в интервале между L и dL, причём постулируют пропорциональную связь между dw_L и dL, т.е.

где по определению r(L) - вероятность того, что значение L лежит в некотором единичном интервале. Функция r(L) называется плотность вероятности. Она подчиняется условию

а

где интегрирование проводят по всей области значений параметра L.

Метод среднестатистического среднего, использующий вероятностные представления, действительно не характерен для классической механики, основанной на принципах детерминизма.

Теперь надо выяснить, насколько среднее значение какого-либо параметра макроскопической равновесной системы отличается от её истинного (измеренного) значения.

Для ответа на этот вопрос надо ввести удобные величины, которые и характеризовали бы отклонение истинных значений величины L от её среднего значения . В качестве таких величин выбирают средний квадрат разности

.

Эта величина носит название квадратичной флуктуации L, и величину

- она носит название относительной флуктуации.

В статистической физике доказывается теорема: если имеется система, состоящая из N независимых частей, то относительная флуктуация любой аддитивной функции состояние L обратно пропорциональна корню из числа частей N, т.е.

.

Напомним, что аддитивность - свойство величин, состоящее в том, что значение величины, соответствующее целому объекту, равно сумме значений величин, соответствующих его частям.

Поскольку число частиц в макроскопической системе больше 10²⁰, то относительная флуктуация любой аддитивной величины практически равна нулю и все аддитивные величины имеют значения, близкие к средним. А это значит, что для описания поведения равновесных макроскопических систем достаточно находить среднестатистические значения параметров системы.

Теперь перейдём к рассмотрению решения некоторых конкретных проблем молекулярной физики статистическим методом.

Будем рассматривать системы, находящиеся в статистическом равновесии, т.е. имеющие физические параметры, не зависящие от времени. К таким системам можно отнести замкнутые системы, т.е. системы, не взаимодействующие ни с какими другими телами. При этом каждая такая система может распадаться на несколько частей (подсистем), каждая из которых мала по сравнению с целой системой, но в то же время является также макроскопической, т.е. содержит большое число частиц. Как подсистема, она также является механической системой, но уже не замкнутой, а испытывающей воздействие со стороны остальных подсистем. Ограничимся рассмотрением таких систем, в которых взаимодействие между подсистемами относительно слабое и подсистемы в первом приближении независимы друг от друга, т.е. в первом приближении этим взаимодействием можно пренебречь. В этом случае подсистемы носят название квазизамкнутых, или квазинезависимых.

Очевидно, что подсистемы являются квазинезависимыми, если энергия их взаимодействия ( ) в среднем мала по сравнению с энергией (e) каждой из подсистем. Такая ситуация реализуется, если между подсистемами существует сильное, но короткое по времени взаимодействие, т.е. длительность взаимодействия очень мала, а основное время подсистемы не взаимодействуют. Пример: молекулы идеального газа, которые вступают в сильное взаимодействие на очень короткое время - время прямых столкновений, а в остальное время не воздействуют друг на друга.

В других случаях, кроме коротких столкновений, между квазинезависимыми подсистемами, происходит непрерывное, но слабое взаимодействие, например, в реальном газе. Поскольку подсистема состоит из большого числа частиц, то её полная энергия ( ) состоит из энергии движения отдельных частиц, поэтому она пропорциональна числу частиц, входящих в подсистему. Число частиц пропорционально объёму подсистемы. В газовой среде взаимодействие обусловлено, в основном, молекулярными силами, которые быстро убывают с расстоянием, т.е. во взаимодействии подсистем участвуют, в основном, частицы, лежащие на границах подсистем, т.е. на их поверхностях.

Таким образом, средняя энергия взаимодействия ( ) подсистем пропорциональна площади поверхности, т.е.

.

Эта величина является малой при большом числе частиц.

К макроскопической квазинезависимой подсистеме, состоящей из большого числа частиц, также применим метод статистического среднего. При этом квазинезависимые системы считаются независимыми также и в статистическом смысле.

Статистическая независимость означает, что состояние, в котором находится одна из подсистем, никак не влияет на вероятности различных состояний других подсистем. Математическая формализация статистической независимости означает, что в терминах теории вероятности вероятность W того, что в составной системе из n подсистем одновременно первая подсистема находится в состоянии 1, вторая подсистема находится в состоянии 2, ... , n-ая подсистема находится в состоянии n и равна произведению вероятностей, т.е.

W = W₁ W₂ W₃ ... W_n,

где W₁ - вероятность нахождения подсистемы 1 в состоянии 1; W₂ - вероятность нахождения подсистемы 2 в состоянии 2; W₃ - вероятность нахождения подсистемы 3 в состоянии 3 ... W_n вероятность нахождения подсистемы n в состоянии n.

Итак, среднее значение параметра , характеризующего макроскопическую подсистему (или квазинезависимую подсистему) и практически совпадающего с истинным значением этого параметра, можно найти, используя формулу

.

Состояние системы задано, если заданы значения координат (r) и скоростей (V) всех частиц системы. Подчеркнём, что в статистике принято пользоваться координатами и импульсами (Р), а не скоростями, поскольку это намного удобней и не меняет сути, так как импульс и скорость отличаются на константу

,

где m - масса частицы, которая считается заданной.

Поэтому любая физическая величина, характеризующая систему (подсистемы), является функцией координат и импульсов составляющих её частиц.

Если система (подсистема) содержит n-частиц, то её состояние характеризуется 3n координатами и 3n компонентами импульсов, а значит, любая физическая величина L может быть представлена как

а значит, и вероятность dw состояний системы (подсистемы) будет в общем случае функцией всех координат и импульсов, т.е.

Чтобы не писать каждый раз длинные формулы, введём сокращения

,

где р - совокупность импульсов, q - совокупность координат.

В сокращённых обозначениях формула имеет вид

.

Функцию , играющую роль плотности распределения вероятностей координат и импульсов, называют функцией статистического распределения. Статистическое распределение системы (подсистемы) не зависит от начальных условий, и поэтому её можно найти, не решая задачи механики для системы (подсистемы) с учётом начальных условий.

Функция распределения удовлетворяет условию

- условие нормировки

Из формулы для следует, что если статистическое распределение данной системы (подсистемы) известно, то можно вычислить вероятности различных значений любых физических величин, зависящих от состояния этой системы (подсистемы), а затем вычислить среднее значение любой такой величины. Нахождение статистического распределения для любой подсистемы является основной задачей при использовании метода статистического среднего.

При этом желательно найти такое распределение, которое могло бы играть роль фундаментального закона, т.е. быть общей для всех систем аксиомой, используя которую можно найти статистическое распределение для любой конкретной статистической системы, как следствие этой аксиомы. Эта задача была решена Дж. Гиббсом в 1901 г.

Сначала функция распределения была сведена к одной переменной. Дело в том, что для замкнутой системы, которой с механической точки зрения является равновесная система (или её квазинезависимая подсистема) энергия системы (Е), импульс системы (Р), момент импульса (М) сохраняются постоянными, но каждая из этих величин является функцией р, q, т.е.

Характеристики

Список файлов лекций