1 (1106064), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

и

.

Вычисляя интеграл заменой переменных и использованием метода "интегрирования по частям" или нахождением его в соответствующем справочнике, получаем

,

т.е. то же значение , что и найденное первым способом.

Из этой формулы можно получить любопытные и полезные следствия, использующиеся во многих задачах.

Итак, средняя энергия молекулы газа

и не зависит от её природы. Полная средняя энергия всего ансамбля, включающего N частиц,

,

т.е. энергия данной массы идеального газа определяется его температурой. Эта внутренняя энергия отождествляется с макроскопической тепловой энергией термодинамической системы, т.е. внутренняя энергия всякого макроскопического тела есть энергия теплового движения молекул, из которых оно построено. С этой точки зрения абсолютная температура трактуется как величина, характеризующая среднюю кинетическую энергию молекул.

Итак, для молекулы идеального газа имеем

.

При этом мы рассматриваем молекулы идеального газа как материальную точку. Однако в общем случае уравнение состояния идеального газа

справедливо и для молекул, включающих несколько атомов.

Возникает проблема: как для многоатомных молекул связать среднюю внутреннюю энергию и температуру, так как это необходимо для расчёта термодинамических параметров, например, теплоёмкости. Можно найти, исходя из следующих соображений.

Постулировали, что внутренняя энергия молекулы идеального газа зависит от числа её степеней свободы. В механике степени свободы определяются как независимые возможные изменения состояния физической системы, обусловленные вариациями её параметров. В механике обычно изменениями состояния являются изменения положения, т.е. перемещения, и потому, используя понятие степеней свободы и связанных с ним величин, ограничиваются перемещениями. Число степеней свободы в механике можно определить, как число независимых между собой возможных перемещений механической системы.

Число степеней свободы зависит от числа материальных точек, образующих систему, а также от числа и характера наложенных на систему механических связей.

Так, положение материальной точки определяется тремя независимыми координатами (x, y, z) и точка может совершать независимые перемещения вдоль каждой из осей - для неё число степеней свободы равно трём. Две свободные материальные точки описываются шестью независимыми координатами и имеют шесть степеней свободы. Две связанные жёсткой связью материальные точки описываются пятью независимыми координатами и имеют пять степеней свободы.

Связи уменьшают число степеней свободы. Если связи в системе тел геометрические, то система называется голономной. Голономная система - механическая система, в которой все связи являются геометрическими, т.е. эти связи налагают ограничения только на положения (перемещение) точек и тел системы, но не на их скорости. Для любой голономной системы число степеней свободы равно числу i независимых между собой координат, определяющих положение системы, и даётся равенством i = 3 n - k, где n - число точек системы, k - число геометрических связей.

Поскольку в общем случае независимые перемещения могут иметь поступательный, вращательный и колебательный характер, то степени свободы классифицируют на поступательные степени свободы (i_пост), вращательные степени свободы (i_вращ), колебательные степени свободы (i_кол). Соответственно, внутреннюю энергию e можно представить как сумму энергии поступательного движения (e_пост), энергии вращательного движения (e_вращ) и энергии колебательного движения (e_кол).

Максвелл доказал теорему, что все степени свободы являются равноправными, и на каждую степень свободы приходится энергия, равная .

Однако, по сути, колебательная степень свободы имеет "двойной" характер по сравнению с поступательной и вращательной. Поступательная и вращательная компоненты внутренней энергии обусловлены только кинетической энергией поступательного и вращательного движения.

Что касается колебательного движения, то колебательная компонента включает кинетическую и потенциальную энергию (вспомним, что при колебательном движении средняя (за период) кинетическая энергия равна средней потенциальной, а значит, энергия колебательного движения состоит из двух частей, на каждую из которых должно приходиться по .

Таким образом, общее число степеней свободы

i = i_пост + i _вращ +2 i_колеб,

где i берётся с учётом числа связей.

В качестве примера рассмотрим, каким числом свободы описываются трёхатомные молекулы.

а) СО₂ - в молекуле СО₂ все атомы расположены вдоль линии (такие молекулы называют линейными. Молекула имеет:

, , означают частоты колебаний; стрелками показаны направления движения в одной фазе нормальных колебаний, т.е. собственных (свободных) гармонических колебаний линейных систем с постоянными параметрами без потери или притока энергии.

Возможны два колебания с частотой n₂, происходящих независимо друг от друга в двух перпендикулярных плоскостях. На рис. 2 показано колебание в одной такой плоскости. Вторая плоскость повёрнута на 90^о относительно заданной.

Таким образом,

.

б) Молекула SO₂. В молекуле SO₂ атомы не находятся на одной линии. Такие молекулы называют нелинейными.

Таким образом, для SO₂

.

В общем случае можно показать, что для линейной молекулы, включающей n атомов,

;

для нелинейной молекулы, включающей n атомов

.

Рассмотрим теперь пример решения механической задачи с использованием статистического распределения.

В закрытом сосуде при температуре Т содержится газ, концентрация которого n. Найти давление газа на стенку сосуда.

Рассмотрим сначала общую проблему: какой физический процесс приводит к давлению и как давление вычислить? Молекулы газа сталкиваются между собой и со стенками ссуда. В результате соударений молекул газа со стенками возникает сила, обусловленная изменением импульсов молекул в единицу времени. Сила, обусловленная изменением общего импульса в единицу времени от всех молекул, ударившихся о стенку и приходящаяся на единицу площади поверхности стенки, и будет по определению давлением, которое надо найти (P_F).

Выберем систему координат, в которой стенка сосуда расположена в плоскости Y0Z. В этом случае при столкновении любой молекулы газа со стенкой будет изменяться составляющая импульса P_x = mV_x, P_x и P_y компоненты при любых значениях скорости изменяться не будут.

При этих условиях для нахождения изменения общего импульса в единицу времени надо найти изменение общего импульса в единицу времени всех молекул, имеющих скорости и испытавших столкновения с единичной площадью стенки и просуммировать по всем значениям V_х.

Итак,

Поскольку V_х - непрерывная функция, то суммирование можно заменить интегрированием по всем возможным значениям V_х.

Теперь надо найти . По определению, эта величина равна изменению х-компоненты импульса в единицу времени от одной молекулы , умноженной на полное число ударов dn_х, приходящихся на единицу поверхности в единицу времени, т.е. выражение для давления газа будет иметь вид

.

Будем считать, что столкновение молекул газа со стенками сосуда происходят абсолютно упруго. В этом случае молекула, имеющая х-компоненту импульса до соударения (mV_x) после соударения приобретает компоненту импульса (-mV_x), и изменение импульса

DP_x = -2mV_x = -f_xDt,

где f_x - сила, действующая на молекулу со стороны стенки. По III закону Ньютона, такая же по величине и противоположная по направлению сила действует на стенку со стороны молекулы.

Таким образом,

Характеристики

Список файлов лекций