1 (1106064), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

и тогда

.

Эта формула справедлива для любого аргумента U (x, y, z), в том числе и точек, где U (x, y, z) = 0. Для этих точек получаем

,

или

- плотность частиц в точках, где U (x, y, z) = 0.

Таким образом, имеем из полученной формулы

- зависимость плотности газа от координат.

Полученная формула носит название формулы Больцмана.

Рассмотрим изменение энергии термодинамической системы (идеального газа), которая взаимодействует с окружающими телами (средой) и обменивается с ними энергией при прямом контакте.

Рассмотрим такие процессы, при которых систему можно считать находящейся всё время в состоянии статистического равновесия. Такие процессы называют квазистатическими или обратимыми (точную формулировку смотри ниже). Если система состоит из i-подсистем, то её энергия

.

Полное изменение энергии системы

.

Рассмотрим первое слагаемое: оно выражает ту часть изменения энергии, которая обусловлена изменением энергий индивидуальных частей при неизменном распределении вероятностей термодинамической системы.

Дело в том, что состояние тела, находящегося в статическом равновесии, зависит не только от температуры, но и от внешних условий. Внешние условия характеризуются величинами, которые носят название внешних параметров. Например, если система является газом, заполняющим сосуд-цилиндр с поршнем, то положение поршня (его координата) является внешним параметром, поскольку координата поршня не зависит от природы и свойств газа, находящегося в сосуде.

Рассмотрим изменение энергии _i при бесконечно малом изменении x (координаты поршня). Согласно математическим правилам

.

Но величина , имеющая размерность силы (ньютон) (так как размерность энергии - джоуль = н метр, измеряется в метрах) и является внешней силой, действующей на частицу со стороны среды, - f_i.

Следовательно, _I =- f_ix. Но тогда

,

где f - средняя сила, действующая на всю систему при изменении параметра х. Величина -f представляет из себя работу A, производимую над системой при изменении координаты поршня на величину x. Знак "минус" означает, что работа производится внешними силами над системой. В сосуде одинакового сечения площадью S: f = pS, где p - давление, и A = -fx = -pSx = -pV, где V - изменение объёма системы.

Второе слагаемое в формуле для E представляет ту часть изменения энергии системы, которая не связана с изменением внешних параметров. В этом случае энергия, подводимая к системе извне, идёт на изменение распределения вероятностей. Состояния с большей энергией становятся более вероятными - система нагревается. Для идеального газа при подведении энергии число молекул, имеющих относительно большие энергии, увеличивается, а имеющие малые энергии - уменьшается.

Таким образом, второе слагаемое в Е равно изменению средней энергии системы, возникающему вследствие непосредственной передачи энергии от частиц среды к частицам системы. Эта часть изменения энергии есть количество теплоты Q, подводимого к системе.

В целом, имеем E = A + Q.

Формула представляет закон сохранения энергии для тепловых процессов (первое начало термодинамики). Впервые он был получен в такой форме как обобщение опытных данных (см. выше).

Внутренняя энергия Е является однозначной функцией состояния системы. Если возвратить систему в первоначальное состояние, её энергия будет иметь первоначальное значение (математическая формализация означает, что ) и таким образом, с точки зрения математики, величина Е является полным дифференциалом Е = Е₂ – Е₁. Работа А и количество тепла Q зависят не только от состояния системы, но и от характера процесса, происходящего с системой. Поэтому не имеет смысла говорить о количестве тепла, заключённом в системе в данном состоянии, а имеет смысл говорить только об изменении количества тепла Q.

Итак, статистический подход позволяет находить значения макроскопических параметров, характеризующих состояния термодинами-ческих систем, а также позволяет вскрыть молекулярный смысл этих величин. Следует отметить, однако, что теоретические вычисления статистическим методом связаны с большими трудностями математического характера, и поэтому полноценные расчёты можно провести только для простейших систем. Значения физических величин, характеризующих макроскопические системы и их функциональные связи, полученные статистическим методом, используются в термодинамике.

3.2.1. Общие замечания по решению задач
раздела "Молекулярная физика"

Задачи этого раздела в общем случае решаются в рамках общей функциональной схемы (см. Механику). Объектами задач по молекулярной физике являются макроскопические тела, поведение которых можно описать, используя свойства микрочастиц и вычисляя среднестатистические значения параметров этих тел. Зная параметры тел, можно установить функциональные связи между ними, которые и являются количественным описанием поведения объектов.

Среднестатистические параметры ищут, используя формулу

.

Чтобы использовать эту формулу, надо знать L (p,q), dw(p,q) или r(L)и вычислить соответствующий интеграл. В общем случае и нахождение L (p,q), dw(p,q) и вычисление интеграла связано с большими трудностями принципиального и технического характера. Поэтому широко используются специальные методы, специальные функции, табулированные интегралы и т.п. Точные аналитические решения получают только для самых простых моделей. Простейшей статистической системой является идеальный газ. В рамках этой модели каждая молекула характеризуется известным распределением по импульсам, полученным как следствие из формулы Гиббса.

Поскольку любая физическая величина Ф, характеризующая подсистему, является функцией параметров состояния, в частности, Ф = j (Р), то, используя эту функциональную связь, можно получить формулу , подставить в формулу функции распределения по импульсам, вместо импульсов Р равные им величины y (Ф) и получить распределение , а значит, найти среднее значение этой величины

.

Что касается величины Ф, то она, как функция Р, или известна, или её можно найти, используя законы механики.

Рассмотрим несколько конкретных примеров.

3.2.1.1.Конкретные примеры.

1. Для идеального газа массы m, находящегося при температуре Т, найти средний квадрат компоненты скорости . Общая формула для расчёта

.

Для решения задачи надо знать распределение вероятностей компонент скорости V_x частицы.

Известно распределение вероятностей для импульсов dwp = f (p) и функциональная связь ; для нахождения f (V) надо подставить в распределение вместо и получить , т.е.

- распределение Максвелла по компонентам скоростей.

Итак,

.

2. Вычислить среднее значение кинетической энергии атома. Задачу можно решить, по крайней мере, двумя способами.

1) Используя связь

.

В этом случае надо найти , используя и , и подставить в формулу для , т.е.

.

2) можно найти прямым вычислением по формуле

.

Чтобы решить задачу этим способом, надо найти - распределение вероятностей по энергиям.

Используем функциональную связь

.

В этом случае надо знать распределение вероятностей по абсолютному значению скоростей. Нам известно из решения предыдущей задачи распределение вероятностей по компонентам скоростей. Чтобы найти распределение вероятностей по абсолютным значениям скоростей, надо использовать данное распределение и записать его в сферических координатах, используя соответствующие математические правила для перехода от декартовых координат к сферическим. В декартовых координатах

.

Согласно правилам перехода

.

В сферических координатах скорость точки задаётся её абсолютной величиной V, полярным углом Q и азимутальным углом j, определяющих направление V_z скорости (см. рис. 1).

.

Это распределение носит название распределения Максвелла по абсолютному значению скоростей.

Имея распределение вероятностей по абсолютному значению скоростей dw_V, можно найти распределение вероятностей по энергиям dw_. Подставим в dw_V вместо V равное ему значение

(так как ).

Тогда получим

Характеристики

Список файлов лекций