Е.Б. Винберг - Курс лекций по высшей алгебре (1106010)
Текст из файла
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙУНИВЕРСИТЕТимени М.В.ЛОМОНОСОВАМеханико–математический факультетКафедра Высшей алгебрыКурс лекций по высшей алгебреЛектор — Эрнест Борисович ВинбергЛетописец — Бибиков Павел Витальевич (группа 212)II курс, 2 поток, отделение математики (2006 – 2007 гг.)Лекция 1.1. Определение и примеры групп.Группой называется множество G с операцией умножения, удовлетворяющей условиям1) (ab)c = a(bc) (ассоциативность),2) ∃ e (единица) : ae = ea = a ∀ a ∈ G,3) ∀a ∈ G ∃ a−1 ∈ G (обратный элемент) : aa−1 = a−1 a = e.Группа G называется коммутативной (или абелевой), если ab == ba ∀a, b ∈ G.Аддитивной группой называется множество G с операцией сложения,удовлетворяющей условиям1) (a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность)2) ∃ 0 (нуль) : a + 0 = 0 + a = a ∀a ∈ G3) ∀a ∈ G ∃ (−a) ∈ G (противоположный элемент) : a + (−a) == (−a) + a = 0.Обычно аддитивная группа предполагается абелевой: a + b = b ++ a ∀a, b ∈ G.Подмножество H группы G называется подгруппой, если1) ab ∈ H ∀a, b ∈ H,2) a−1 ∈ H ∀a ∈ H,3) e ∈ H.Подгруппа сама является группой относительно той же операции.Отображение f : G → H называется изоморфизмом группы G нагруппу H, если1) f биективно,2) f (ab) = f (a)f (b) ∀a, b ∈ G.Свойства изоморфизма: f (e) = e, f (a−1 ) = f (a)−1 .Примеры.1.
Z (по сложению) — абелева группа. По определению, всякое кольцоявляется абелевой группой по сложению.2. R+ = R \ {0} — абелева группа по умножению. По определению, совокупность ненулевых элементов любого поля K является абелевойгруппой по умножению и обозначается через K ∗ .3. T = {z ∈ C : |z| = 1} — подгруппа в C∗ .14. Cn = {z ∈ C : z n = 1} — подгруппа в T.5. Векторы плоскости (или пространства) образуют абелеву группуотносительно сложения. П определению, всякое векторное пространство является абелевой группой по сложению.6. S(X) — группа преобразований (биективных отображений в себя)множества X (единица — idX ).
В частности, S({1, 2, . . . , n}) = Sn —симметрическая группа подстановок степени n. Всякая подгруппагруппы S(X) называется группой преобразований множества X.7. Isom E2 (Isom E3 ) — группа движений евклидовой плоскости (пространства). Isom+ E2 (Isom+ E3 ) — подгруппа собственных (сохраняющих ориентацию) движений.8. Группа симметрий правильных многоугольников (или многогранников): P ⊂ E2 (E3 ). Sym P = {g ∈ Isom E2 (E3 ) : gP = P }.Dn — группа симметрий правильного n-угольника (группа диэдра).|Dn | = 2n. Cn — это группа вращений правильного n-угольника.|Cn | = n.9. Кристаллографические группы (группы симметрий кристаллических структур).10.
GL(V ) — группа невырожденных линейных преобразований n-мерного векторного пространства над полем K. GL(V ) ≃ GLn (K) —группа невырожденных матриц n × n над полем K.11. O(V ) — группа преобразований евклидова векторного пространстваV . O(V ) ≃ On — группа ортогональных матриц. Отказываясь оттребования положительной определенности скалярного умножения(но предполагая невырожденность), получаем группу псевдоортогональных преобразований, изоморфную Op,q (группа псевдоортогональных матриц), где (p, q) — сигнатура скалярного умножения(т.е. число плюсов и минусов). В частности, O3,1 — группа Лоренца.12.
GLn (Z) — группа обратимых целочисленных матриц.13. K — поле, f ∈ K[x] — неприводимый многочлен степени n; K ⊂ L —поле разложения многочлена f . Gal L/K = {ϕ ∈ Aut L : ϕ|K == id} — группа Галуа поля L над K. Gal L/K ⊂ Sn . Например,Gal C/R ≃ C2 .22. Циклические группы.Степень элемента: g n = g · . . . · g при n > 0, e при n = 0 и g −1 · . . . · g −1| {z }|{z}nnпри n < 0. g m · g n = g m+n , (g n )−1 = g −n .hgi = {g n : n ∈ Z} — циклическая группа, порожденная элементомg. Если ∃ g ∈ G : G = hgi, то G называется циклической группой.Либо все g n различны, либо нет.
Во втором случае они циклическиповторяются с некоторым периодом m = ord g (порядок элемента g).ord g = min{n > 0}.ng =eТеорема 2.1. 1. Все бесконечные циклические группы изоморфны Z.2. Всякие конечные циклические группы порядка n изоморфны Cn . Лекция 2.3. Факторгруппа.Отношение на множестве X — это подмножество R ∈ X × X. Если(x, y) ∈ R, то говорят, что x и y находятся в отношении R и пишутxRy. Отношение R называется отношением эквивалентности, если1) xRx ∀x ∈ X (рефлексивность),2) xRy ⇒ yRx (симметричность),3) xRy & yRz ⇒ xRz (транзитивность).Обычно пишут x ∼ y, или просто x ∼ y.RКласс эквивалентности, содержащий x: R(x) = [x] = {y ∈ X : x ∼∼ y}.
Классы эквивалентности задают разбиение множества X. Множество классов эквивалентности называется фактормножеством множества X по отношению эквивалентности R и обозначается X/R.Есть естественное отображение π : X → X/R, x 7→ R(x). Оно называется отображением факторизации.Для любого отображения f : X → Y определяется отношение эквивалентности Rf на X: x1 ∼ x2 , если f (x1 ) = f (x2 ). Получается следующаядиаграмма:X FFfFFFFπ FF""// Y<<yyyyyyyyy f¯X/Rf3По определению, f¯([x]) = f (x). f = f¯ ◦ π, π сюръективен, f¯ инъективен.Это разложение называется факторизацией f .Пусть (X, ◦) — множество с операцией. Отношение эквивалентностиR на множестве X называется согласованным с операцией ◦, если x ∼ x′ ,y ∼ y ′ ⇒ x ◦ y ∼ x′ ◦ y ′.
Тогда на фактормножестве X/R можно ввестиоперацию ◦: [x]◦[y] = [x◦y]. Это определение корректно. Из определенияследует, что отображение факторизации является гомоморфизмом, т.е.π(x ◦ y) = π(x) ◦ π(y).Пусть (X, ◦) и (Y, ∗) — два множества с операциями, f : X → Y —гомоморфизм, т.е. f (x1 ◦ x2 ) = f (x1 ) ∗ f (x2 ) ∀x1 , x2 ∈ X. Имеем: f = f¯π,где π : X → X/Rf , f¯([x]) = f (x).Теорема 3.1. f¯ — гомоморфизм, а если f сюръективен, то f¯ — изоморфизм X/Rf на Y .Доказательство.
f¯([x1 ] ◦ [x2 ]) = f¯([x1 ◦ x2 ]) = f (x1 ◦ x2 ) = f (x1 ) ∗ f (x2) == f¯([x1 ]) ∗ f¯([x2 ]).Пусть G — группа, H ⊂ G — подгруппа. Отношение сравнимости помодулю H: g1 ≡ g2 (mod H), если g1−1g2 ∈ H. Это отношение являетсяотношением эквивалентности. Классы эквивалентности имеют вид [g] == gH = {gh : h ∈ H} и называются левыми смежными классами группыG по H.Аналогично, можно определить g1 ≡ g2 (mod H), если g2 g1−1 ∈ H. Тогда классы эквивалентности имеют вид [g] = Hg и называются правымисмежными классами группы G по H.Инверсия (взятие обратного элемента) в группе G осуществляет биекцию между множествами левых и правых смежных классов: (gH)−1 == Hg −1.
Количество левых и правых смежных классов одинаково и обозначается |G : H|.Теорема 3.2 (Лагранж). Если |G| < ∞, то |G| = |G : H| · |H|. Подгруппа H ⊂ G называется нормальной, если ∀g ∈ G gH = Hg(⇔ gHg −1 = H). Обозначение: H ⊳ G.Примеры.1. Sn−1 ⋪ Sn при n > 3.2. Если G абелева, то всякая ее подгруппа нормальна.4Теорема 3.3. Отношение сравнимости по модулю подгруппы H согласовано с операцией в G тогда и только тогда.
когда H нормальна.Доказательство. Пусть H ⊳G, g1 ≡ g1′ (mod H), g2 ≡ g2′ (mod H). Тогдаg1′ = g1 h1 , g2′ = g2 h2 (где h1 , h2 ∈ H) ⇒ g1′ g2′ = g1 (h1 g2 )h2 = g1 (g2 h′1 )h2 == (g1 g2 )(h′1 h2 ) ≡ g1 g2 (mod H).Обратно, пусть отношение сравнимости согласовано с операцией. Тогда ∀g ∈ G, h ∈ H ghg −1 ≡ geg −1 ≡ e (mod H) ⇒ ghg −1 ∈ H, т.е.gHg −1 ⊂ H. Аналогично, g −1Hg ⊂ H.
Но тогда H ⊂ gHg −1 ⇒ gHg −1 == H.Теорема 3.4. Всякое отношение эквивалентности в G, согласованноес операцией, есть отношение сравнимости по модулю некоторой подгруппы.Доказательство. Рассмотрим H = [e] = {h ∈ G : e ∼ h}. Докажем, чтоH — подгруппа: h1 , h2 ∼ e ⇒ h1 h2 ∼ e; h ∼ e ⇒ e = hh−1 ∼ eh−1 = h−1 ;e ∼ e. Тогда g1 ∼ g2 ⇔ e ∼ g1−1g2 ⇔ g1−1 g2 ∈ H ⇔ g1 ≡ g2 (mod H).Т.о., если N ⊳ G, то на множестве классов сравнимости по модулюN определяется операция: (g1 N)(g2 N) = (g1 g2 )N. Множество классовсопряженности обозначается G/N и относительно такой операции оноявляется группой. Она называется факторгруппой группы G по N.Отображение факторизации π : G → G/N, g 7→ gN является гомоморфизмом.
Обратно, пусть f : G → H — гомоморфизм групп. Тогда соответствующее отношение эквивалентности Rf согласовано с операцией.Значит, это отношение сравнимости по модулю нормальной подгруппыN = {g ∈ G : f (g) = e}. Эта подгруппа называется ядром и обозначаетсякак N = ker f .Имеет место следующая диаграмма:G DDfDDDDπ DD!!// Hz<<zzzzzf¯zzG/NТеорема 3.5. Если f : G → H — гомоморфизм групп, то f¯: G/N →H — гомоморфизм. Если f сюръективен, то f¯ — изоморфизм. 5Замечание.
В общем случае G/ ker f ≃ Im f .Примеры.1. sgn : Sn → {±1}. ker sgn = An . Т.о., Sn /An ≃ {±1}.2. det : GLn (K) → K ∗ . ker det = SLn (K). Т.о., GLn (K)/SLn (K) ≃ K ∗ .3. f : C∗ → C∗ , z 7→ z n . ker f = Cn ⇒ C∗ /Cn ≃ C∗ .4. f : C∗ → R∗+ , z 7→ |z|. ker f = T ⇒ C∗ /T ≃ R∗+ .5. exp : R → R∗ , x 7→ ex . ker exp = {0}, Im exp = R∗+ ⇒ R ≃ R∗+ .exp : C → C∗ , z 7→ ez . ker exp = 2πiZ, Im exp = C∗ ⇒ C/2πiZ ≃ C∗(также C/Z ≃ C∗ ).6. Линейное отображение f : K n → K m , (x1 , . .
. , xn ) 7→ (y1 , . . . , yn ),nPyi =aij xj , i = 1, . . . , m. ker f — множество решений системы одj=1нородных линейных уравненийnPaij xj = 0. b = (b1 , . . . , bm ) ∈ Kj=1⇒ f −1 (b) либо пуст, либо класс сопряженности (mod ker f ), т.е.f −1 (b) = x0 + ker f . С другой стороны, f −1 (b) есть множество решеnPний системыaij xj = bi (i = 1, . . . , m).j=17. f : S4 → S3 . y1 = x1 x2 + x3 x4 , y2 = x1 x3 + x2 x4 , y3 = x1 x4 ++x2 x3 . ker f = {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} = V4 (четверная группа Клейна) ⇒ S4 /V4 ≃ S3 .Лекция 3.4. Прямые произведения групп.Говорят, что группа G разлагается в прямое произведение своих подгрупп G1 , . .
. , Gk , если1) каждый элемент g ∈ G единственным образом представляется ввиде g = g1 . . . gk , где gi ∈ Gi ,2) при i 6= j gi gj = gj gi ∀gi ∈ Gi , gj ∈ Gj .6Правило умножения: (g1 . . . gk )(g1′ . . . gk′ ) = (g1 g1′ ) . . . (gk gk′ ).Обозначение: G = G1 × . . . × Gk .Свойства.ij1. Gi ∩ Gj = {e} при i 6= j: g ∈ Gi ∩ Gj ⇒ g = e . .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
