Е.Б. Винберг - Курс лекций по высшей алгебре (1106010), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

В евклидовом кольце всякий идеал главный.Доказательство. Пусть I — идеал евклидова кольца A. Если I = 0, тоI = (0). Если I 6= 0, то пусть u ∈ I — элемент наименьшей нормы.Тогда I ⊃ (u). Докажем, что на самом деле I = (u). Пусть a ∈ I, тогдаa = qu + r, где r = 0 или N(r) < N(u). Но r = a − qu ∈ I ⇒ r = 0.Лекция 16.a ≡ b (mod (u)) ⇔ a ≡ b (mod u). Т.о., факторкольцо A/(u) — это тоже самое, что кольцо вычетов по модулю u. Например, Z/(n) = Zn .Теорема 15.4.

Пусть A — евклидово кольцо и u ∈ A. Тогда A/(u) является полем ⇔ u — простой элемент.Доказательство. 1) Если u = 0, то A/(u) = A — не поле по определениюевклидова кольца.2) Если u обратим, то (u) = A и A/(u) = {0} — не поле по определению поля.3) Если u = v · w, где v и w необратимы, то [v] · [w] = 0 в A/(u). Но[v], [w] 6= 0, т.к. v и w не делятся на u. Значит, A/(u) — не поле.4) Пусть u — простой элемент, a ∈/ (u). Тогда (a, u) = 1 ⇒ ∃ x, y ∈ A :ax + uy = 1 ⇒ [a] · [x] = 1, т.е.

[x] = [a]−1 . Значит, A/(u) — поле.44Применим эту теорему к кольцу многочленов K[x] над полем K. Получаем, что K[x]/(f (x)) — поле ⇔ f (x) — неприводимый многочлен.Пусть f (x) — любой многочлен степени n > 0. Тогда для a, b ∈ Ka ≡ b (mod f (x)) ⇔ a = b. Следовательно, K вкладывается в кольцоK[x]/(f (x)) = L. Будем отождествлять элемент a ∈ K с [a] ∈ L. Введемобозначение: α = [x] ∈ L. Тогда f (α) = [f (x)] = 0, т.е. α — кореньмногочлена f (x).

Если f (x) неприводим, то L — поле. Говорят, что Lполучается из K присоединением корня многочлена f (x).В силу единственности деления с остатком в кольце K[x] в каждом классе g(x) + f (x) имеется единственный многочлен степени меньшеdeg f (x). Это означает, что каждый элемент кольца L единственным образом представляется в виде a0 + a1 α + . . . + an−1 αn−1 (a0 , . . .

, an−1 ∈ K).Кольцо L можно рассматривать как векторное пространство над K.Из предыдущего следует, что {1, α, α2, . . . , αn−1 } — базис этого пространства, и, значит, dimK L = n.Примеры.1. R[x]/(x2 + 1) ≃ C.2. Q[x]/(x3 − 2) = {a0 + a1 α + a2 α2 : a0 , a1 , a2 ∈ Q, α3 = 2}. В полеL = Q[x]/(x3 − 2) многочлен x3 − 2 имеет ровно один корень.Расширение L поля K называется конечным, если dimK L < ∞.Примеры.1.

R ⊃ Q.2. K(x) ⊃ K.Пусть F — конечное поле характеристики p. Тогда h1i (аддитивнаяподгруппа, порожденная 1) есть подкольцо: (1| + .{z. . + 1}) · (1| + .{z. . + 1}) =k= (1| + .{z. . + 1}). Более того, это подполе, изоморфное Zp :lkl[k]p ↔ 1| + .{z. . + 1} .kТ.о., F ⊃ Zp , и, следовательно, |F | = pn .Построим поле из p2 элементов. F = Zp [x]/(f (x)), где f (x) ∈ Zp [x] —неприводимый многочлен степени 2.45Если p 6= 2, то Z∗p — циклическая группа четного порядка p − 1.

Ровнополовина ее элементов являются квадратами. Пусть a ∈ Z∗p — квадратичный невычет. Тогда x2 − a не имеет корней в Zp и, следовательно,неприводим.Если p = 2, то можно взять f (x) = x2 + x + 1.На самом деле, вернаТеорема 15.5 (Без доказательства). Для любого простого p и ∀ n ∈ Nсуществует поле из pn элементов. Более того, все такие поля изоморфны.46.

Характеристики

Список файлов лекций