Е.Б. Винберг - Курс лекций по высшей алгебре (1106010), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Регулярные представления.Пусть G — конечная группа, A — векторное пространство с базисом{ag : g ∈ G} (dim A = |G|). Рассмотрим представление L : G → GL(A),L(g)ah = agh . Это представление называется регулярным.Для простоты будем писать просто g вместо ag . Тогда L(g)h = gh.Теорема 13.1. Кратность вхождения каждого неприводимого3 комплексного линейного представления R группы G в регулярное представление равна dim R.Доказательство. Опишем пространство Mor(L, R), где R : G → GL(V )— любое представление.
Пусть f ∈ Mor(L, R), f : A → V перестановочнос действием G. f (e) = v однозначно определяет f : f (g) = f (L(g)e) == R(g)v.Обратно, ∀ v ∈ V определим линейное отображение fv : A → V поформуле fv (g) = R(g)v. Оно будет перестановочно с действием G:fv (L(g)h) = fv (gh) = R(gh)v = R(g)R(h)v = R(g)fv (h).Кроме того, fv линейно зависит от v: fv1 +v2 = fv1 + fv2 , fλv = λfv .Т.о., Mor(L, R) ≃ V и dim Mor(L, R) = dim V .Если R неприводимо, то по теореме 12.1 dim Mor(L, R) равно кратности вхождения R в L.Следствие 13.1.
Конечная группа имеет лишь конечное число неприводимых4 комплексных представлений и сумма квадратов их размерностей равна порядку группы. Примеры.1. G абелева: |12 + .{z. . + 1}2 = n.n=|G|2. G = Dn . Пусть n четно ⇒n−1· 22 + 2 · 12 = 2n.234n−22· 22 + 4 · 12 = 2n. Пусть n нечетно ⇒В лекциях опять-таки было сказано «нетривиального».И здесь в лекции было «нетривиальных».383. G = S4 : 12 + 12 + 22 + 32 + 32 = 24 = |G|. Значит, других нетривиальных комплексных линейных представлений нет.Теорема 13.2 (Без доказательства). Число неприводимых комплексныхлинейных представлений конечной группы G равно числу классов сопряженности в G.Примеры.1.
G абелева: число неприводимых представлений равно |G|.2. G = S4 : 5 классов сопряженности ⇒ есть 5 неприводимых представлений.3. G = A5 . |G| = 60 = 12 + 32 + 42 + 34. Число классов сопряженностиравно 5 ⇒ |G| = 12 + 32 + 42 + (3| 2 {z+ 5}2 ).3414. Линейные представления группы R.Рассмотрим представление F : R → GL(V ) аддитивной группы R, гдеV — векторное пространство над полем K = R или K = C. F (t + u) == F (t) · F (u) ∀ t, u ∈ R (однопараметрическая группа линейных операторов).В матричной записи F (t) = (Fij (t)).
Потребуем, чтобы функцииFij (t) были непрерывно дифференцируемы.Теорема 14.1. Дифференцируемое отображение F : R → GL(V ) является линейным представлением ⇔ F ′ (t) = AF (t) для некоторого оператора A ∈ V ∗ , и F (0) = E.Замечание. A = F ′ (0).Доказательство. 1) Пусть F — гомоморфизм. Тогда ∀ t, u ∈ R F (u ++ t) = F (u) · F (t).
Дифференцируя по u при u = 0, получаем F ′ (t) == F ′ (0) · F (t) = AF (t).2) Обратно, пусть F ′ (t) = AF (t), F (0) = E. Данное дифференциальное уравнение можно рассматривать как систему из n2 обычных дифференциальных уравнений с n2 неизвестными функциями. По общей теореме о решениях системы дифференциальных уравнений решение однозначно определяется начальным условием.39∀ C ∈ V ∗ рассмотрим функцию FC (t) = F (t)C.
Она удовлетворяеттому же уравнению: FC′ (t) = F ′ (t)C = AF (t)C = AFC (t) с начальнымусловием FC (0) = C.∀ u ∈ R рассмотрим матричную функцию Fu (t) = F (t + u). Имеем:Fu′ (t) = F ′ (t + u) = AF (t + u) = AFu (t). Следовательно, Fu (t) = F (t)C,где C = Fu (0) = F (u).Т.о., F (t + u) = F (t) · F (u) ∀ t, u ∈ R.В случае dim V = 1 мы получаем обычное дифференциальное уравнение f ′ (t) = af (t), f (0) = 1. Его решение — это экспонента: f (t) = eat .∞ kPaЭкспонента — это сумма бесконечного ряда: ea =. Можно поk!k=0пробовать написать такой же ряд для линейного оператора A: eA =∞PAk=.
Чтобы придать смысл этому ряду, надо определить сходимостьk!k=0последовательности матриц.Рассмотрим матрицыP над полем K = R или K = C. Норма матрицыA = (aij ): kAk = max |aij |.in×njСвойства.1. kAk > 0, причем kAk = 0 ⇔ A = 0P2.|aij | 6 kAkj3. kA+Bk 6 kAk+kBk: ∀ iP|aik +bij | 6iPi|aik |+P|bij | 6 kAk+kBk.i4.
kABk 6 kAk · kBk: пусть C = AB = (cij ) ⇒ ∀ iXXXX|aij | · |bjk | 6|aij | · kBk 6 kAk · kBk.|cik | =kkjjПоследовательность матриц Ak сходится к матрице A, если kA −− Ak k → 0. Это равносильно поэлементной сходимости. Пишут: Ak → A.Теорема 14.2 (Критерий Коши). Ряд∞Pk=1+ Aq → 0 при p, g → ∞. 40Ak сходится ⇔ Ap+1 + . . . +Предложение 14.1. Если числовой ряд∞Pричный рядслагаемых.∞PkAk k сходится, то и мат-k=1Ak сходится, причем его сумма не зависит от порядкаk=1∞PДоказательство. Если рядkAk k сходится, то kAp+1 + .
. . + Aq k 6k=16 kAp+1 k + . . . + kAq k → 0 при p, q → ∞ ⇒ ряд∞PAk сходится поk=1критерию Коши, причем каждый ряд из матричных элементов сходитсяабсолютно ⇒ сумма ряда не зависит от порядка слагаемых.∞PAkТеорема 14.3. ∀ A рядсходится абсолютно.k!k=1Доказательство.∞Pk=0kk Ak! k 6∞Pk=0kAkkk!Экспонента матрицы A: eA =– сходится абсолютно.∞Pk=1Ak.k!Лекция 15.eC−1 AC∞P=k=0C −1 Ak Ck!= C −1 eA C. Это позволяет определить экспонентулинейного оператора: eA — это линейный оператор с матрицей eA , гдеA — матрица оператора A.Лемма 14.1.
Если AB = BA, то eA+B = eA · eB .Доказательство. Т.к. ряд∞kPPk=0 p,q=0p+q=kAp B qp!q!сходится абсолютно, то сумми-ровать можно в любом порядке ⇒A+Be=∞X(A + B)kk=0=∞Xk!kXk=0 p,q=0p+q=k∞ XkXCkp Ap B q==k!k=0 p,q=0p+q=kAp B q=p!q!∞Xp=041∞Ap X B q·= eA · eB .p! q=0 q!Теорема 14.4.
∀ A отображение FA : t 7→ etA есть линейное представление группы R, причем F ′ (0) = A.Доказательство. Нужно проверить, что FA′ (t) = AFA (t), FA (0) = E.Вычислим производную FA′ (0):∞∞XAk tk−2etA − E X tk−1 Ak==A+t.tk!k!k=1k=2При |t| < 1 ряд мажорируется числовым рядомkAk2 kAk3++ . . . = C(= ekAk − 1 − kAk),2!3!и, следовательно, сходится, причем его сумма по норме не больше C.tAЗначит, FA′ (0) = lim e t−E = A.t→0Т.к.
матрицы tA и uA коммутируют∀ t, u ∈ R, то FA (t + u) = FA (t) ×dd× FA (u). FA′ (t) = duFA (u + t)u=0 = duFA (u)u=0 · FA (t) = AFA (t).Примеры.1. Рассмотрим 4 двумерных представления группы R:t( 0 −1 )′t − sin t0 −11 0 .R1 (t) = ( cossin t cos t ), R1 (0) = ( 1 0 ) = A1 ⇒ R1 (t) = e01t′( 1 0 ).t sh t0 1R2 (t) = ( chsh t ch t ), R2 (0) = ( 1 0 ) = A2 ⇒ R2 (t) = e1 0t 00R3 (t) = e0 e−t, R3′ (0) = ( 10 −1) = A3 ⇒ R3 (t) = et( 0 −1 ) .0 1R (t) = ( 1 t ), R′ (0) = ( 0 1 ) = A ⇒ R (t) = et( 0 0 ) .40 140 04115.
Идеалы и факторкольца.Если в кольце A имеется отношение эквивалентности, согласованноесо сложением и умножением, то на множестве классов эквивалентностиможно ввести операции сложения и умножения по формулам [a] + [b] == [a + b], [a] · [b] = [ab].Найдем отношения эквивалентности, согласованные с операциями.Т.к. кольцо — это абелева группа, то всякое такое отношение есть отношение сравнимости по модулю подгруппы I: a ∼ b ⇔ a ≡ b (mod I) ⇔a − b ∈ I.Найдем, какой должна быть подгруппа I, чтобы это отношение былосогласовано с операцией умножения.42Теорема 15.1. Отношение сравнимости по модулю подгруппы I ⊂ Aсогласовано с умножением ⇔ I — идеал кольца A (т.е. AI = IA = I).Доказательство. 1) Пусть отношение эквивалентности по модулю I согласовано с умножением.
Тогда ∀ u ∈ I u ≡ 0 (mod I), и, значит, au ≡≡ a · 0 ≡ 0 (mod I), ua ≡ 0 · a ≡ 0 (mod I).2) Обратно, пусть I — идеал и a ≡ a′ (mod I), b ≡ b′ (mod I). Тогдаa′ = a + u, b′ = b + v, где u, v ∈ I. Значит, a′ b′ = ab + (ub + av + uv) ≡ ab(mod I).Если I — идеал кольца A, то в факторгруппе A/I можно определитьоперацию умножения по формуле (a + I)(b + I) = ab + I. Определенноетаким образом умножение в A/I дистрибутивно относительно сложения.Построенное таким образом кольцо A/I называется факторкольцомкольца A по идеалу I.Примеры.1. Z/nZ = Zn (кольцо вычетов по модулю n).Имеется канонический гомоморфизм π : A → A/I, a 7→ a + I.Теорема 15.2 (О гомоморфизме колец).
Пусть f : A → B — гомоморфизм колец. Тогда ker f = I — идеал кольца A и f = f¯ ◦ π, гдеπ : A → A/I — канонический гомоморфизм, а f¯: A/I → B — некоторыйгомоморфизм. Если f сюръективен. то f¯ — изоморфизм. Пусть A — коммутативное ассоциативное кольцо с единицей. Тогдавсякое факторкольцо также является коммутативным ассоциативнымкольцом с единицей.∀ a ∈ A определим главный идеал (a) = {ua : u ∈ A}.
Легко проверить, что это идеал.Примеры.1. В кольце Z (n) = nZ.Отношение сравнимости по модулю главного идеала (u) — это то,что в 1-м семестре называлось отношением сравнимости по модулю u:a ≡ b (mod (u)) ⇔ a − b ∈ (u) ⇔ a − b = cu ⇔ a ≡ b (mod u).Не все идеалы являются главными.43Примеры.1. В кольце K[x, y] (K — поле) идеал I = {f ∈ K[x, y] : f (0, 0) = 0} неявляется главным.Целостное кольцо A, не являющееся полем, называется евклидовымкольцом, если задано отображение N : A \ {0} → Z+ (которое называетсянормой), удовлетворяющее условиям1) N(ab) > N(a), причем равенство достигается ⇔ b обратим,2) ∀ a ∈ b, ∀ b ∈ A \ {0} ∃ q, r ∈ A : a = bq + r и либо r = 0, либоN(r) < N(b).Теорема 15.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
