Е.Б. Винберг - Курс лекций по высшей алгебре (1106010), страница 2
Текст из файла (страница 2)
. g . . . e = e . . . g . . . e⇒ g = e.2. Gi ⊳ G: h ∈ Gi , g1 , . . . , gk ∈ G, g = g1 . . . gk ⇒ghg −1 = (g1 eg1−1) . . . (gi hgi−1 ) . . . (gk egk−1) = gihgi−1 ∈ Gi .Лемма 4.1. Если G′ , G′′ ∈ G, G′ , G′′ ⊳ G и G′ ∩ G′′ = {e}, то g ′g ′′ == g ′′ g ′ ∀g ′ ∈ G′ , g ′′ ∈ G′′ .Доказательство. g ′g ′′ g ′−1 g ′′−1 ∈ G′ ∩ G′′ = {e} ⇒ g ′g ′′ g ′−1 g ′′−1 = e.Теорема 4.1. Пусть G1 , G2 ⊳ G, G1 ∩ G2 = {e}, G1 G2 = G. Тогда G == G1 × G2 .Доказательство. 1) Любой элемент g ∈ G представляется в виде g == g1 g2 (где g1 ∈ G1 , g2 ∈ G2 ) по условию теоремы. Докажем, что такоепредставление единственно. g = g1 g2 = g1′ g2′ ⇒ G1 ∋ g1′−1g1 = g2′ g2−1 ∈ G2⇒ g1′−1 g1 = g2′ g2−1 = e ⇒ g1 = g1′ , g2 = g2′ .2) ∀g1 ∈ G1 , g2 ∈ G2 g1 g2 = g2 g1 по лемме 4.1.Примеры.1.
Разложение векторного пространства в прямую сумму подпространств: V = V1 ⊕ . . . ⊕ Vk есть разложение аддитивной группы впрямую сумму подгрупп.2. C∗ = R∗+ × T, т.е. z = r(cos ϕ + i sin ϕ).3. GL+n (R) — группа вещественных матриц с положительным определителем; GL+n (R) = SLn (R) × {λE}, где λ ∈ R+ .Пусть G1 , . .
. , Gk — произвольные группы. Внешним произведениемгрупп G1 , . . . , Gk называется прямое произведение множеств G1 , . . . , Gk соперацией умножения (g1 , . . . , gk )(g1′ , . . . , gk′ ) = (g1 g1′ , . . . , gk gk′ ). Это такжегруппа, обозначаемая G1 × . . . × Gk . Если группа G разлагается в прямоепроизведение подгрупп G1 , . . . , Gk , то G ≃ G1 × .
. . × Gk (внешнее прямоепроизведение): g = g1 · . . . · gk ↔ (g1 , . . . , gk ).7Примеры.1. K ∗ × . . . × K ∗ = (K ∗ )n изоморфна группе невырожденных диагональных матриц порядка n.5. Абелевы группы1 .Пусть A — абелева группа. ∀a ∈ A, ∀k ∈ Z определен элемент ka ∈ A.Свойства.1. k(a + b) = ka + kb,2.
(k + l)a = ka + la,3. (kl)a = k(la),4. 1 · a = a.Линейная комбинация элементов a1 , . . . , an ∈ A есть элемент k1 a1 ++ . . . + kn an (k1 , . . . , kn ∈ Z). Совокупность всех линейных комбинацийэлементов a1 , . . . , an есть наименьшая подгруппа, содержащая a1 , . . . , an .Она называется подгруппой, порожденной a1 , . .
. , an и обозначается какha1 , . . . , an i. Если ha1 , . . . , an i = A, то говорят, что группа A порождается элементами a1 , . . . , an . Группа, порожденная конечным числом элементов, называется конечно-порожденной. В частности, группа, порожденная одним элементом, — это циклическая группа.Элементы a1 , . . . , an называются линейно зависимыми, если существуют числа k1 , . . . , kn ∈ Z, не все равные 0, такие, что k1 a1 +. . .+kn an == 0. В противном случае a1 , . . . , an называются линейно независимыми.Линейно независимая система элементов, порождающих группу A, называется базисом группы A.
Не всякая конечно порожденная абелевагруппа обладает базисом, например, группа Zm не обладает базисом.Конечно порожденная абелева группа, обладающая базисом, называется свободной. Если {e1 , . . . , en } — базис группы A, тоA = he1 i ⊕ . . . ⊕ hen i ≃ Z ⊕ . . . ⊕ Z = Zn .1В этой теме все рассматриваемые подгруппы считаются аддитивными, если неоговорено противное.8Теорема 5.1. Все базисы свободной абелевой группы равномощны.Доказательство.
Пусть {e1 , . . . , en } и {e′1 , . . . , e′m } — два базиса. Предположим, что m > n. Имеем (e′1 , . . . , e′m ) = (e1 , . . . , en ) C . Можно рассматn×mривать C как матрицу над Q. Т.к. m > n, то столбцы линейно зависимынад Q, а значит, и над Z. Но тогда e′1 , . . .
, e′m линейно зависимы в A —противоречие.Число элементов базиса свободной абелевой группы называется еерангом и обозначается rk A.Опишем все базисы свободной абелевой группы. Пусть {e1 , . . . , en } —базис и (e′1 , . . . , e′n ) = (e1 , . . . , en )C.Теорема 5.2. {e′1 , . . . , e′n } — базис ⇔ det C = ±1.Доказательство. 1) Пусть det C = ±1. Тогда C −1 целочисленна и (e1 , . . .. .
. , en ) = (e′1 , . . . , e′n )C −1 ⇒ e′1 , . . . , e′n порождают A. Т.к. столбцы матрицы C линейно независимы, то {e′1 , . . . , e′n } линейно независимы.2) Пусть {e′1 , . . . , e′n } — базис. Тогда (e1 , . . . , en ) = (e′1 , . . . , e′n )D, гдеD — целочисленная матрица ⇒ (e1 , . . . , en ) = (e1 , . . . , en )CD ⇒ CD = E⇒ det C · det D = 1 ⇒ det C = ±1.Лекция 4.Теорема 5.3. Всякая подгруппа N свободной абелевой группы L рангаn есть свободная абелева группа ранга не больше n.Доказательство.
Индукция по n.n = 1 ⇒ L ≃ Z. Будем считать, что L = Z. Если N = {0}, тоN — свободная абелева группа ранга 0. Если N 6= {0}, то N содержитположительные числа, и k — наименьшее из них. Докажем, что N = kZ.Пусть m ∈ N, тогда m = qk + r, 0 6 r < k. Тогда r = m − qk ∈ N ⇒r = 0.Пусть теперь {e1 , . . . , en } — базис L и L1 = he1 , .
. . , en−1 i. Тогда L1 —это свободная абелева группа ранга n − 1. Рассмотрим группу N1 = N ∩∩ L1 ⊂ L1 . По предположению индукции N1 — свободная абелева группаранга m 6 n − 1. Пусть {f1 , . . . , fm } — базис N1 . Если N = N1 , то все9доказано. Если N 6= N1 , то рассмотрим последние координаты всех элементов из N в базисе {e1 , . . . , en } группы L. Они образуют ненулевуюподгруппу в группе Z. Значит, она имеет вид kZ. Пусть fm+1 ∈ N имеетпоследнюю координату k.
Тогда {f1 , . . . , fm , fm+1 } — базис N.Замечание. rk N = n ; N = L. Например, kZ $ Z при k > 1 иrk kZ = rk Z = 1.Пусть En — n-мерное евклидово векторное пространство, {e1 , . . . , en }nPon— его базис. Тогда L =ki ei : ki ∈ Z — свободная абелева группаi=1ранга n с базисом {e1 , . . . , en }. Такие подгруппы называются решеткамив En .Подмножество A ⊂ En дискретно, если в любом ограниченном подмножестве K ⊂ En имеется лишь конечное число точек из A (по-другому:у A нет предельных точек).
Очевидно, что всякая решетка является дискретным подмножеством.Теорема 5.4. Всякая дискретная подгруппа L в En , порождающая Enкак векторное пространство, является решеткой.Доказательство. Существует базис {e1 , . . . , en } пространства En , содержащийся в L. Пусть L0 — решетка, порожденная этим базисом. Ясно,что L0 ⊂ L.Докажем, что L0 — подгруппа конечного индекса в L. РассмотримnPonпараллелепипед P =xi ei : 0 6 xi 6 1 .
Тогда ∀x ∈ L ∃ k1 , . . . , kn ∈i=1∈ Z : x − (k1 e1 + . . . + kn en ) ∈ P . Это означает, что каждый смежныйкласс L по L0 содержит элемент из P . По условию дискретности L ∩ Pконечно, а значит, |L : L0 | = d < ∞.|L/L0 | = d ⇒ dL ⊂ L0 . Т.о., L0 ⊂ L ⊂ d−1 L0 . d−1 L0 есть свободнаяабелева группа ранга n с базисом {d−1 e1 , .
. . , d−1 en }. По теореме 5.3 L —свободная абелева группа ранга n. Всякий базис группы L содержит nэлементов и порождает En , а значит, является базисом En .Кристаллической структурой в E3 называется конечный набор дискретных подмножеств A1 , . . .
, Ak ⊂ E3 со следующим свойством: существует такой базис {e1 , e2 , e3 } пространства E3 , то Ai + ej = Ai , i == 1, . . . , k, j = 1, 2, 3. Рассмотрим группу L = {a ∈ E3 : ta Ai = Ai , i == 1, . . . , k}. По теореме 5.4 это решетка.10Группа симметрий кристаллической структуры A = {A1 , . . . , Ak } —это группа Γ = Sym A = {g ∈ Isom E3 : gAi = Ai , i = 1, . .
. , k}. Такиегруппы называются кристаллографическими.Группа симметрий направлений в кристаллической структуре —это группа G = dΓ = {dg : g ∈ Γ} ⊂ O3 .Теорема 5.5. Группа G конечна и может содержать повороты илизеркальные повороты только на углы 0, π3 , π2 , 2π, π.3Доказательство. Пусть L = {a ∈ E3 : ta ∈ Γ} — решетка и {e1 , e2 , e3 } —базис этой решетки. Тогда ∀a ∈ En , ∀γ ∈ Isom En γta γ −1 = tdγ(a) ⇒dγ(a) ∈ Γ. Т.о., ∀g ∈ G gL = L, т.е. в базисе {e1 , e2 , e3 } g записывается целочисленной матрицей.
Значит, G — дискретное подмножество впространстве всех матриц. Но G ⊂ O3 — ограниченное подмножество(в ортонормированном базисе все матричные элементы по модулю небольше 1). Значит, |G| < ∞. Далее, ∀g ∈ G trg ∈ Z. Но в некоторомортонормированном базисе g записывается матрицейtrg = 2 cos ϕ ± 1 ⇒ 2 cos ϕ ∈ Z ⇒ | cos ϕ| = { 12 , 1}.cos ϕ − sin ϕ 0sin ϕ cos ϕ 000±1⇒Лекция 5.Элементарные преобразования базисов:1) e′i = ei + cej (c ∈ Z), e′k = ek при k 6= i,2) e′i = ej , e′j = ei , e′k = ek при k 6= i, j,3) e′i = −ei , e′k = ek при k 6= i.Прямоугольная матрица C = (cij ) размера m × n называется диагональной, если cij = 0 при i 6= j. Обозначение: C = diag(c11 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
