Е.Б. Винберг - Курс лекций по высшей алгебре (1106010), страница 6
Текст из файла (страница 6)
G = R. Представление R1 неприводимо над R, но разлагается в сумite0му двух одномерных представлений над C: R1 = 0 e−it в базисе(e1 − ie2 , e1 + ie2 ).Представление R3 разлагается в сумму двух одномерных над R.Представление R4 приводимо, но не вполне приводимо.2. G = S4 . Представления R1 и R2 неприводимы, т.к. у них повороты на 120◦ вокруг осей, проходящих через вершины, не имеют1-мерных инвариантных подпространств.Лекция 12.Теорема 11.1.
Ограничение вполне приводимого представления на инвариантное подпространство U также вполне приводимо.Доказательство. Пусть U1 ⊂ U — инвариантное подпространство. Тогда существует инвариантное подпространство V2 ⊂ V : V = U1 ⊕ V2 .Рассмотрим инвариантное подпространство U2 = V2 ∩ U. Докажем, чтоU = U1 ⊕ U2 .1) U1 ∩ U2 ⊂ U1 ∩ V2 = 0.2) ∀ u ∈ U u = u1 + u2 , где u1 ∈ U1 , u2 ∈ V2 . Но u2 = u − u1 ∈ U ⇒u2 ∈ U2 .Теорема 11.2.
Линейное представление R : G → GL(V ) является вполне приводимым ⇔ оно раскладывается в сумму неприводимых представлений.31Доказательство. 1) Пусть R вполне приводимо. Пусть 0 6= V1 ⊂ V —минимальное инвариантное подпространство. Тогда R|V1 = R1 неприводимо. Существует инвариантное дополнение — подпространство V1′ : V == V1 ⊕V1′ . Пусть 0 6= V2 ⊂ V1′ — минимальное инвариантное подпространство и V2′ — инвариантное дополнительное подпространство: V1′ = V2 ⊕V2′ .Тогда R|V2 = R2 неприводимо, и т.д. В конце концов мы получим сумму минимальных инвариантных подпространств: V = V1 ⊕ . . .
⊕ Vs . Этоозначает, что R = R1 + . . . + Rs , где Ri = R|Vi — неприводимые представления.2) Обратно, пусть R разлагается в сумму неприводимых представлений. Это означает, что пространство V разлагается в прямую суммуминимальных инвариантных подпространств: V = V1 ⊕ . . . ⊕ Vs .Пусть U ⊂ V — инвариантное подпространство. Будем искать дополнительное инвариантное подпространство в виде суммыL некоторых изV1 , . .
. , Vs . Для всякого I ⊂ {1, . . . , s} положим VI =Vi . Пусть I —i∈Iмаксимальное подмножество, для которого U ∩ VI = 0. Докажем, чтоV = U ⊕ VI . PПо построению U ∩ VI = 0. ∀ j 6∈ I U ∩ VPI∪{j} 6= 0, т.е.∃u ∈ U : u =vi + vj , где vi ∈ VI , vj ∈ Vj . Тогда vj = u − vi ∈ U ⊕ Vi .i∈Ii∈IЗначит, Vj ∩ (U ⊕ Vi ) 6= 0. Т.к. Vj — минимальное инвариантное подпространство, то Vj ⊂ U ⊕ VI .
Значит, V = U ⊕ VI .Примеры.1. G = Z, R : Z → GL(V ), R(1) = A ∈ GL(V ) ⇒ R(k) = Ak . Т.о.,представление R определяется однозначно линейным операторомA. Обратно, ∀ A ∈ GL(V ) формула R(k) = Ak определяет линейноепредставление группы Z.Если R — комплексное представление группы Z, то его неприводимость означает, что dim V = 1, а полная приводимость — что Rесть сумма одномерных представлений, т.е.
матрица оператора Aприводится к диагональному виду.Теорема 11.3. Всякое линейное представление R : G → GL(V ) конечной группы G над полем характеристики 0 вполне приводимо.Доказательство. Пусть U ⊂ V — инвариантное подпространство и W ⊂⊂ V — дополнительное подпространство к U: V = U ⊕ W . Пусть P —32проектор на U параллельно W , т.е. ∀ v = u + w, где u ∈ U, w ∈ WPv = u. Рассмотрим усреднение проектора P по группе G:P0 =1 XR(g)PR(g)−1.|G| g∈GДокажем некоторые свойства оператора P0 .1) ∀ u P∈ U P0 u = u: т.к.
R(g)−1 u ∈ U, то PR(g)−1 u = R(g)−1 u и1P0 u = |G|R(g)R(g)−1u = u.g∈G2) ∀ v ∈ V P0 v ∈ U: т.к. PR(g)−1 v ∈ U, тоP0 v =1 XR(g)PR(g)−1v ∈ U.|G| g∈GПоложим W0 = ker P0 . Тогда1) U ∩ W0 = 0.2) U + W0 = V : ∀ v ∈ V v = P0 v + (v − P0 v).Таким образом, V = U ⊕ W0 . Покажем, что W0 инвариантно. Пустьw ∈ W0 , h ∈ G. Тогда1 XR(g)PR(g)−1R(h)w =|G| g∈GX1=R(h)(R(h)−1 R(g))P(R(g)−1R(h))w =|G|g∈GX1R(h)R(h−1 g)PR(h−1 g)−1w ==|G|g∈GX1=R(h)R(g)PR(g)−1w = R(h)P0 w = 0.|G|g∈GP0 R(h)w =Примеры.1.
Докажем, что два трехмерных представлений группы S4 неприводимы над C.R1,2 : S4 → GL(E3 ). Если существует двумерное комплексное инвариантное подпространство, то в силу полной приводимости есть и33одномерное инвариантное подпространство, например. hz = x + iyi.Тогда ∀ g ∈ G R(g)z = (λ + iµ)z, где λ, µ ∈ R, т.е. R(g)x = λx − µy,R(g)y = µx + λy ⇒ вещественное подпространство hx, yi инвариантно — противоречие.2. Мономиальное представление группы Sn . Пусть V — векторноепространство с базисом {e1 , . .
. , en } (т.е. dim V = n). Определимпредставление M : Sn → GL(V ) по правилу R(σ)ei = eσ(i) . ПодпроnPonnPстранства he1 + . . .+ en i и V0 =xi ei :xi = 0 являются инваi=1i=1риантными и взаимно дополнительными. Тогда M раскладываетсяв сумму одномерного представления и (n − 1)-мерного представления M0 = M|V0 . Докажем, что оно неприводимо.ПустьP U ⊂ V0 — инвариантное подпространство. Возьмем 0 6= u ==xi ei ∈ U. Т.к.
мы можем переставлять координаты, то можноiсчитать. что X1 6= x2 . Тогда R((12))u − u = (x2 − x1 )(e1 − e2 ) ∈ U ⇒e1 − e2 ∈ U ⇒ ei = ej ∈ U ∀ i, j ⇒ V0 = U. В частности при n = 4M0 = R1 .Лекция 13.Теорема 11.4 (Лемма Шура). Пусть R : G → GL(V ) — неприводимоекомплексное линейное представление группы G. Тогда всякий линейныйоператор A в пространстве V , перестановочный со всеми операторамиR(g) (где g ∈ G), скалярен.Доказательство. Пусть λ — собственное значение оператора A и Vλ == {v ∈ V : Av = λv}.
Тогда Vλ инвариантно относительно всех операторов представления: ∀ v ∈ Vλ AR(g)v = R(g)Av = λR(g)v ⇒ Vλ = V , т.е.A = λE.Следствие 11.1. Всякое неприводимое комплексное представление абелевой группы одномерно.Доказательство. Пусть G — абелева группа и R : G → GL(V ) — неприводимое комплексное представление. Тогда∀ g, h ∈ G R(g)R(h) = R(gh) = R(hg) = R(h)R(g),34т.е. R(h) перестановочен со всеми операторами представления, и по лемме Шура R(h) — скалярный оператор.Опишем все комплексные линейные представления конечных абелевых групп.Т.к.
всякое представление есть сумма неприводимых, а всякое неприводимое представление одномерно, то достаточно описать одномерныепредставления.Пусть G = ha1 in1 × . . . × has ins . Одномерное представление есть гомоморфизм R : G → C∗ . Оно определяется числами R(a1 ) = ε1 , .
. . ,R(as ) = εs , т.к. R(ak11 . . . aks s ). Далее, т.к. ani i = e, то должно быть εni i = 1.Обратно, если ε1 , . . . , εs удовлетворяют этим условиям, то предыдущаяформула определяет одномерное представление группы G. Т.о., получается n1 . . . ns = |G| представлений.Теорема 11.5. Пусть R — это одномерное представление группы Gи π : G → G/(G, G) — канонический гомоморфизм. Тогда существуеттакое одномерное представление R̄ группы G/(G, G), что R = R̄ ◦ π.Доказательство. Очевидно, что если R̄ — одномерное представлениегруппы G/(G, G), то R = R̄ ◦ π — одномерное представление группыG.Докажем, что (G, G) ⊂ ker R: R((g, h)) = (R(g), R(h)) = 1. Следовательно, все элементы каждого смежного класса g(G, G) при представлении R переходят в одно и то же число.
Значит, ∃ R̄ : G/(G, G) → K ∗ :R = R̄ ◦ π. А именно, R̄(g(G, G)) = R(g).Отображение R̄ — гомоморфизм: R̄(g(G, G)·h(G, G)) = R̄(gh(G, G)) == R(gh) = R(g)R(h) = R̄(g(G, G)) · R̄(h(G, G)).Примеры.1. G = Sn , (G, G) = An , Sn /An ≃ C2 . Значит, группа Sn имеет дваодномерных комплексных представления: тривиальное и sgn.2. G = Dn = ha, bi, где a — поворот на угол 2π, b — отражение. Элеnnменты a и b удовлетворяют соотношениям a = e, b2 = e, (ab)2 = e.Значит, (a, b) = a2 и (G, G) ⊃ ha2 i. Если n четно, то ord a2 = n/2 ⇒|Dn /ha2 i| = 4 ⇒ Dn /ha2 i абелева ⇒ (G, G) = ha2 i.
Если n нечетно,то ord a2 = n ⇒ ha2 i = Cn ⇒ (G, G) = Cn . Т.о., группа Dn имеет 4одномерных представления, если n четно, и 2, если n нечетно.35Опишем все неприводимые комплексные представления группы Dn .Заметим, что всякий элемент группы Dn представляется в виде ak илиak b, причем этот вид определен однозначно с точностью до прибавленияк k целого кратного n.Пусть R : Dn → GL(V ) — неприводимое комплексное представление, dim V > 1.
Положим R(a) = A, R(b) = B. Операторы A и Bудовлетворяют соотношениям An = E, B2 = E, BAB = A−1 . Обратно, формулы R(ak ) = Ak , R(ak b) = Ak B определяют представлениегруппы Dn в пространстве Dn : R(ak · al ) = R(ak+l ) = Ak+l = Ak ·Al = R(ak ) · R(al ), R(ak · al b) = Ak+l B = R(ak+l b) = R(ak ) · R(al b),R(ak b·al ) = R(ak (bal b−1 )b) = R(ak−l b) = Ak−l B = Ak B ·Al = R(ak b)·R(al ),R(ak b · al b) = R(ak b) · R(al b).Пусть e ∈ V — собственный вектор оператора A: Ae = λe. Положимf = Be. Заметим, что e и f не коллинеарны, т.к. иначе hei инвариантнои V = hei одномерно.
Далее, Af = ABe = BA−1 e = λ−1 Be = λ−1 f , т.е.f — собственный вектор оператора A. Bf = B2 e = e ⇒ подпространство0he, f i инвариантно ⇒ V = he, f i. В базисе {e, f } A = λ0 λ−1, B = ( 01 10 ).n−1При этом λ = 1 и λ 6= ±1, т.к. иначе λ = λ и подпространство he + f iинвариантно.Построенное таким образом неприводимое двумерное представлениегруппы Dn обозначим Rλ .Очевидно, что Rλ ≃ Rµ ⇔ µ = λ±1 . Т.о., получается n−2двумерных2неприводимых представлений при четном n и n−1принечетномn.212.
Морфизмы представлений.Морфизмом представления R : G → GL(V ) в представление S : G →→ GL(U) называется всякое линейное отображение f : V → U, для которого коммутативна следующая диаграмма:VR(g)//VffUS(g)//UВсе линейные отображения f : V → U образуют векторное пространство, а морфизмы представлений образуют в нем подпространство, обозначаемое Mor(R, S).36Предложение 12.1. Mor(R1 + R2 , S) ≃ Mor(R1 , S) ⊕ Mor(R2 , S).Доказательство.
Пусть R1 : G → GL(V1 ), R2 : G → GL(V2 ), S : G →→ GL(U). Тогда R1 + R2 : G → GL(V1 ⊕ V2 ) и любой морфизм f ∈∈ Mor(R1 + R2 , S) имеет видf ((v1 , v2 )) = f1 (v1 ) + f2 (v2 ), где f1 ∈ Mor(R1 , S), f2 ∈ Mor(R2 , S).Отображение f 7→ (f1 , f2 ) и есть искомый изоморфизм.В частности, Mor(R, R) есть пространство линейных операторов, перестановочных со всеми операторами представления.Если R — неприводимое комплексное представление, то по лемме Шура dim Mor(R, R) = 1.Теорема 12.1. Если R, S — неприводимые комплексные представления,то(1, если R ≃ Sdim Mor(R, S) =0, если R 6≃ S.Доказательство.
Если R ≃ S, то можно считать, что R = S и тогдаdim Mor(R, R) = 1.Пусть R 6≃ S и 0 6= f ∈ Mor(R, S). Тогда ker f инвариантно ⇒ker f = 0. Далее, Im f инвариантно ⇒ Im f = U ⇒ f — изоморфизм —противоречие.PСледствие 12.1. Пусть R =ki Ri — разложение представления R вiсумму неприводимых.
Тогда kj = dim Mor(R, Rj ).LДоказательство. Mor(R, Rj ) ≃ki Mor(Ri , Rj ) = kj Mor(Rj , Rj ) = kj .iПримеры.1. Найдем число 4-мерных комплексных представлений группы D6 .Имеется 4 одномерных и 2 двумерных неприводимых2 комплексныхпредставления. 4 = |2 {z+ 2} = |2 +{z1 + 1} = |1 + 1 {z+ 1 + 1}, значит, всего32(4+6)=20CC44 =3558 4-мерных представлений.2Здесь в лекции было сказано «нетривиальных». Полагаю, это оговорка.37Лекция 14.13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
