Е.Б. Винберг - Курс лекций по высшей алгебре (1106010), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Это транзитивное действие. По теореме 6.2 | Sym P | == |V | · |(Sym P )v |.17Пусть Ev — множество ребер, выходящих из v. Действие (Sym P )v : Evтранзитивно ⇒ по теореме 6.2 |(Sym P )v | = |Ev | · 2.Окончательно получаем, что| Sym P | = 2(число вершин)(степень вершины).Для куба | Sym P | = 48, для икосаэдра | Sym P | = 120.G : G, l(g)x = gx — действие группы на себе:ll(g1 g2 )x = g1 (g2 x) = l(g1 )l(g2 )x.Это действие транзитивно. Стабилизатор тривиален.Если H ⊂ G — подгруппа, то орбитами H будут правые смежныеклассы Hx.Аналогично, G : G, r(g)x = xg −1 :rr(g1g2 )x = x(g1 g2 )−1 = xg2−1 g1−1 = r(g1 )r(g2)x.Орбиты подгруппы — левые смежные классы xH.G : G, a(g)x = gxg −1 :aa(g1 g2 )x = g1 g2 xg2−1 g1−1 = a(g1 )a(g2 )x.∀x ∈ G a(g) — автоморфизм группы G:a(g)(xy) = g(xy)g −1 = (gxg −1)(gyg −1) = (a(g)x)(a(g)y).Эквивалентные элементы называются сопряженными, т.е.
x и y сопряжены, если ∃ g ∈ G : gxg −1 = y. Орбиты — классы сопряженности.Обозначение: C(x).Стабилизатор элемента x называется централизатором элемента xи обозначается Z(x). По определению, Z(x) = {g ∈ G : gx = xg}. Ядронеэффективности — центр Z(G) группы G.Следствие 6.1. Если G конечна, то |C(x)| =18|G|.|Z(x)|Примеры.1. G = Sn . Пусть σ = (i1 . .
. ik )(j1 . . . jl ) . . . — разложение на независимые циклы, τ ∈ Sn . Если σ(p) = q, то τ στ −1 (τ (p)) = τ (q). Следовательно, τ στ −1 = (τ (i1 ) . . . τ (ik ))(τ (j1 ) . . . τ (jl )) . . . Т.о., сопряженныеподстановки характеризуются тем, что наборы длин независимыхциклов в их разложениях совпадают.Рассмотрим S4 : e —1, (ij) — 6, (ij)(kl) — 3, (ijk) — 8, (ijkl) — 6.Докажем, что Z(Sn ) = {e}.
Пусть τ ∈ Z(Sn ) ⇒τ (ij)τ −1 = (τ (i)τ (j)) = (ij) ∀i, j,т.е. τ сохраняет любую пару {i, j} ⇒ τ = e, т.к. любой элемент из{1, 2, . . . , n} есть пересечение двух пар.2. G = GLn (C). A и B сопряжены тогда и только тогда. когда ониимеют одну и ту же жорданову форму. Z(GLn (C)) = {λE : λ ∈ C∗ }.Рассмотрим действие группы G на множестве своих подгрупп сопряжениями: a(g)H = gHg −1. Эквивалентные подгруппы называются сопряженными, т.е. H1 и H2 сопряжены, если ∃ g ∈ G : gH1 g −1 = H2 .Орбита называется классом сопряженной подгруппы.
Стабилизатор подгруппы H называется ее нормализатором и обозначается N(H). Т.о.,N(H) = {g ∈ G : gHg −1 = H}. Очевидно, что H ⊳ N(H).Теорема 6.3. Если G конечна, то число подгрупп, сопряженных H,делит |G : H|.Доказательство. По теореме 6.2 это число равно|G : N(H)| =и делит|G||H||G||G| |N(H)|=:|N(H)||H||H|= |G : H|.Теорема 6.4.
Центр примарной конечной группы нетривиален.Доказательство. Пусть |G| = pk , k ∈ N. Разложим G на классы сопряженности, тогда G = Z ⊔ C(x1 ) ⊔ . . . ⊔ C(xs ). ∀i = 1, . . . , s |C(xi )| = pl ,l ∈ N ⇒ p | |C(xi )| ⇒ p | |Z| ⇒ Z 6= {e}.19Следствие 6.2. Всякая группа порядка p2 абелева.Доказательство. Пусть |G| = p2 , Z = Z(G). Предположим, что |Z| = p.Тогда |G : Z| = p, и значит, G/Z — циклическая группа. Пусть aZ — еепорождающий элемент ⇒ ∀g ∈ G gZ = (aZ)k = ak Z ⇒ g = ak z, z ∈ Z⇒ G абелева — противоречие.7. Теоремы Силова.Пусть |G| = pk m, где p простое, p ∤ m.Силовской p-подгруппой группы G называется всякая подгруппа порядка pk .
Если G абелева, то ее единственная силовская p-подгруппа естьподгруппа p-кручения Torp G.Теорема 7.1. Силовские p-подгруппы существуют.Теорема 7.2. Все силовские p-подгруппы сопряжены. Более того, всякая p-подгруппа содержится в некоторой силовской p-подгруппе.Теорема 7.3. Число силовских p-подгрупп сравнимо с 1 (mod p).Примеры.1. |A5 | = 60 = 22 · 3 · 5. Силовские 2-подгруппы: V4 ⊂ A4 ⊂ A5 — 5;3-подгруппы: h(ijk)i — 10; 5-подгруппы: h(i1 . . . i5 )i — 6.Лекция 8.Доказательство теоремы 7.1.
Доказывать будем индукцией по |G|. Если |G| = 1, то утверждение тривиально.Пусть |G| = n > 1 и для всех групп порядка меньше n утверждениеверно. G = Z ⊔ C(x1 ) ⊔ . . . ⊔ C(xs ), |C(xi )| > 1. Рассмотрим два случая.|G|1) ∃ i : p ∤ |C(xi )|. |C(xi )| = |Z(x⇒ pk | |Z(xi )|. Но |Z(xi )| < n,i )|поэтому по предположению индукции существует силовская p-подгруппав Z(xi ). Она будет силовской p-подгруппой в G.202) ∀i p | |C(xi )|. Тогда p | |Z|. Пусть |Z| = pk0 m0 , где 0 < k0 66 k и p ∤ m0 , и пусть Z0 = Torp Z (силовская p-подгруппа в Z). Имеем|Z0 | = pk0 .
Рассмотрим G/Z0 и канонический гомоморфизм π : G → G/Z0 .Имеем |G/Z0| = pk−k0 m. По предположению индукции в G/Z0 существуетсиловская p-подгруппа S1 , |S1 | = pk−k0 . Тогда π −1 (S1 ) = S имеет порядок|S1 | · |Z0| = pk и является силовской p-подгруппой в G.Доказательство теоремы 7.2.
Пусть S — какая-то силовская p- подгруппа и H — какая-то p-подгруппа. Рассмотрим H : G/S, h ◦ gS = hgS.Длина каждой нетривиальной орбиты делится на p (т.к. она делит |H| == pl ). Но |G/S| = |G : S| не делится на p. Значит, существуют неподвижные точки, т.е. ∃ g ∈ G : H ⊂ gSg −1. Т.о., H содержится в силовскойp-подгруппе gSg −1. Если же |H| = pk , то H = gSg −1.Доказательство теоремы 7.3.
Пусть S — какая-то силовская p-подгруппа и C(S) — множество всех подгрупп, сопряженных с S, т.е. по теореме множество всех силовских p-подгрупп. Рассмотрим действие S : C(S)сопряжениями. Длина каждой нетривиальной орбиты делится на p. Найдем все тривиальные орбиты, т.е. неподвижные точки данного действия.Если S1 ∈ C(S) — неподвижная точка, то S ⊂ N(S1 ) = {g ∈ G : gS1g −1 == S1 }. Но тогда S и S1 — силовские p-подгруппы в N(S1 ) и по теоремеони сопряжены в N(S1 ). Т.к. S1 ⊳ N(S1 ), то S1 = S.Итак, для действия S : C(S) имеется единственная неподвижная точка, а именно сама подгруппа S. Следовательно, |C(S)| ≡ 1 (mod p).Примеры.1.
|G| = pq, где p > q — различные простые числа. Тогда число силовских p-подгрупп Np ≡ 1 (mod p) и Np | q ⇒ Np = 1, т.е. силовская p-подгруппа нормальна и единственна. Обозначим ее Gp .Тогда |Gp | = p ⇒ Gp ≃ Zp и Gp — циклическая. Далее, Nq ≡ 1(mod q) и Nq | p. Если p 6≡ 1 (mod q), то Nq = 1, т.е. силовская qподгруппа Gq также единственна и нормальна. Т.к. Gp ∩ Gq = {e},то Gp · Gq = G и, значит, G = Gp × Gq , т.е. G — циклическая.2. |G| = 45 = 32 · 5.
N3 ≡ 1 (mod 3) и N3 | 5 ⇒ N3 = 1. N5 ≡ 1 (mod q)и N5 | 9 ⇒ N5 = 1. G = G3 × G5 . G5 циклическая, G3 абелева ⇒ Gабелева.218. Полупрямые произведения групп.Группа G разлагается в полупрямое произведение своих подгрупп Nи H, если1) N ⊳ G,2) N ∩ H = {e},3) NH = G, т.е. ∀g ∈ G g = nh, где n ∈ N, h ∈ H.Из этих условий следует, что представление g = nh единственно: g =−1= n1 h1 = n2 h2 ⇒ N ∋ n−12 n1 = h2 h1 ∈ H ⇒ n1 = n2 , h1 = h2 . Обозначение: G = N ⋋ H = H ⋌ N.Примеры.1. Sn = An ⋋ h(12)i.2. S4 = V4 ⋋ S3 .3.
Dn = Cn ⋋ hri, r ∈ Dn — отражение.4. GLn (K) = SLn (K) ⋋ {diag(1, . . . , λ)}.5. GA(S) = N ⋋ GA(S)o .Правило умножения: (n1 h1 )(n2 h2 ) = (n1 (h1 n2 h−11 ))(h1 h2 ). В частности, отображение G → H, nh 7→ h, является гомоморфизмом, и по теореме о гомоморфизме G/N ≃ H.Отображение N → N, n 7→ hnh−1 является автоморфизмом группыN. Обозначим его через α(h). Отображение α : H → Aut N являетсягомоморфизмом. Оно определяет структуру полупрямого произведения.В частности, это произведение является прямым ⇔ α тривиален: α == id ∀h ∈ H.Внешнее полупрямое произведение групп N и H определяется гомоморфизмом α : H → Aut N.
Тогда G = N × H, (n1 , h1 )(n2 , h2 ) == (n1 (α(h1 )n2 ), h1 h2 ). Выполнены все аксиомы группы: e = (eN , eH ) и(n, h)−1 = (α(h−1 )n−1 , h−1 ).Опишем полупрямые произведения циклической группы. Для этогопишем группу автоморфизмов циклической группы.Теорема 8.1. Всякий автоморфизм циклической группы hain имеет видϕk (x) = xk , где (k, n) = 1.22Доказательство. Пусть ϕ ∈ Authain , ϕ(a) = ak . Тогда ∀x = am ϕ(x) == ϕ(a)m = akm = xk .ker ϕ = {am : n | km}. Если (k, n) = 1, то ker ϕ = {e}. Если (k, n) =n= d > 1, то ker ϕ = ha d i =6 {e}.
Т.о., если ϕ ∈ Authain , то (k, n) = 1.Обратно, пусть (k, n) = 1 . Рассмотрим ϕk : hain → hain , ϕk (x) = xk .Это гомоморфизм: (xy)k = xk y k и ker ϕk = {e} ⇒ Im ϕk = hain ⇒ ϕk ∈∈ Authain .Следствие 8.1. Authain ≃ Z∗n .Доказательство. Автоморфизмы нумеруются элементами этого кольца:Z∗n → Authain , [k]n 7→ ϕk . Это гомоморфизм: ϕkl = ϕk ϕl , и он биективен⇒ он изоморфизм.Т.о., полупрямое произведение hain ⋋ hbim задается гомоморфизмомα : hbim → Authain ≃ Z∗n , определяющийся образом b: α(b) = [k]n , k m ≡ 1(mod n).Лекция 9.Таким образом, полупрямое произведение hain ⋋hbim определяетсяkобразом ϕk ∈ Authain элемента b.
При этом должны выполняться следующие условия: (k, n) = 1 и k m ≡ 1 (mod n). Произведение будет прямым⇔ k ≡ 1 (mod n).Отсюда получается следующая формула умножения: (ap bs )(aq bt ) =s= ap (bs aq b−s )(bs bt ) = ap+k q bs+t .Примеры.1. Группа диэдра Dn = hain ⋋ hbi2 . Поскольку bab−1 = a−1 , то k = −1и Dn = hain ⋋ hbi2 .−1Замечание. Может быть так, что hain ⋋hbim ≃ hain ⋋′ hbim при k 6≡ k ′kk(mod n) при другом выборе порождающего элемента группы hbim .
А именно, при замене b на b′ = bs , где (s, m) = 1, k заменяется на k s .Рассмотрим группу порядка pq, где p > q — простые.23Теорема 8.2. 1) Если p 6≡ 1 (mod q), то всякая группа порядка pq циклическая.2) Если p ≡ 1 (mod q), то существуют ровно две неизоморфныегруппы порядка pq: одна циклическая, другая неабелева.Доказательство. Пусть Gp = haip — силовская p-подгруппа, Gq = hbiq —силовская q-подгруппа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
