Е.Б. Винберг - Курс лекций по высшей алгебре (1106010), страница 3
Текст из файла (страница 3)
. , cpp ),p = min{m, n}.Лемма 5.1. Всякую целочисленную матрицу C размера m × n с помощью целочисленных элементарных преобразований строк и столбцовможно привести к виду diag(u1 , . . . , up ) (p = min{m, n}), где ui ∈ Z,ui > 0 и ui | ui+1 при i = 1, . . . , p − 1.Доказательство. Если C = 0, то доказывать нечего. Если C 6= 0, топутем элементарных преобразований строк и столбцов можно добиться,чтобы c11 > 0.
Далее будем минимизировать c11 .11Если ci1 не делится на c11 , то разделим с остатком: ci1 = qc11 + r,0 < r < c11 и, вычитая из i-й строки 1-ю, умноженную на q, получим rна месте i, 1. Переставив 1-ю и i-ю строки, получим r на месте (1, 1).Аналогично, если c1j не делится на c11 , то с помощью целочисленныхэлементарных преобразований столбцов можно также уменьшить c11 .Пусть все элементы 1-й строки и 1-го столбца делятся на c11 . Тогда спомощью целочисленных элементарных преобразований строк и столбцов их можно сделать нулями, т.е. привести C к видуc11 0 · · · 0 0 ∗ · · · ∗ .. .. . . ..
. .. .0 ∗ ··· ∗Предположим теперь, что cij (i, j > 2) не делится на c11 . Прибавив к1-й строке i-ю строку, мы не изменим c11 , но получим, что c1j не делитсяна c11 и придем к рассмотренной ранее ситуации.В конце концовc11 0 · · · 0 0 c22 · · · c2p C = .... . ... .. . .0 cp2 · · · cppгде всякий элемент матрицыc22 · · · c2pC1 = ... . . .
... cp2 · · · cppделится на c11 = u1 . Далее, делая то же самое с матрицей C1 , свойстводелимости на u1 сохранится, и мы приведем матрицу C к требуемомувиду.Теорема 5.6. Для всякой подгруппы N свободной абелевой группы Lсуществует такой базис {e1 , . . . , en } группы L и такие натуральныечисла u1 , . . . , um (m 6 n), что {u1 e1 , . . . , um em } — базис N и ui | ui+1 приi = 1, . . . , m − 1.12Доказательство.
Пусть {e1 , . . . , en } — произвольный базис группы L и{f1 , . . . , fm } — базис N. Тогда (f1 , . . . , fm ) = (e1 , . . . , en ) C (C — целочисn×mленная матрица). При элементарных преобразованиях базиса группы L(e′1 , . . . , e′n ) = (e1 , .
. . , en )U (U — элементарная матрица) ⇒ (f1 , . . . , fm ) == (e′1 , . . . , e′n )U −1 C, т.е. в C происходят целочисленные элементарныепреобразования строк.При элементарных преобразованиях базиса подгруппы N получаем:′′′(f1 , . . . , fm) = (f1 , . . . , fm )V ⇒ (f1′ , . . . , fm) = (e1 , . . . , en )CV , т.е. в C происходят целочисленные элементарные преобразования столбцов.По лемме 5.1 матрицу C можно таким образом привести к виду C == diag(u1, . . .
, um ). Т.к. rk C = m, то ui 6= 0 и fi = u1 ei , i = 1, . . . , m.Теорема 5.7. Всякая конечно порожденная абелева группа A разлагается в прямую сумму циклических групп.Доказательство. Пусть A = ha1 , . . . , an i. Рассмотрим гомоморфизмнаϕ : Zn → A, (k1 , . . . , kn ) 7→ k1 a1 + .
. . + an en .Пусть N = ker ϕ, тогда A ≃ Zn /N. По теореме 5.6 существуют базис{e1 , . . . , en } группы Zn и натуральные числа u1 , . . . , um (m 6 n), такие,что {u1 e1 , . . . , um em } — базис N и ui | ui+1 при i = 1, . . . , m − 1.Рассмотрим гомоморфизмнаψ : Zn → Zu1 ⊕ . . . ⊕ Zum ⊕ Z. . ⊕ Z},| ⊕ .{zn−ml1 e1 + . . . + ln en 7→ ([l1 ]u1 , .
. . , [lm ]um , lm+1 , . . . , ln ).ker ψ = hu1e1 , . . . , um em i = N. Следовательно,A ≃ Zn /N ≃ Zu1 ⊕ . . . ⊕ Zum ⊕ Z. . ⊕ Z} .| ⊕ .{zn−mЗамечание. 1) На самом деле мы доказали, что A разлагается в прямуюсумму циклических групп порядков u1 , . . . , um , ∞, где ui | ui+1 .2) Если A конечна, то слагаемых Z нет.Лемма 5.2. Если n = kl, (k, l) = 1, то Zn ≃ Zk ⊕ Zl .13Доказательство. Нужно доказать, что группа Zk ⊕ Zl циклическая, т.е.что в ней есть элемент порядка n. Таким элементом является ([1]k , [1]l ).В самом деле, m([1]k , [1]l ) = ([m]k , [m]l ) = 0 ⇔ k, l | m ⇔ n | m. Следовательно, ord([1]k , [1]l ) = n.Теорема 5.8. Если n = pk11 .
. . pks s (p1 , . . . , ps — различные простые числа), то Zn ≃ Zpk1 ⊕ . . . ⊕ Zpks s .1Доказательство. По лемме 5.2Zn ≃ Zpk1 ⊕ Zpk2 ...pks s ≃ . . . ≃ Zpk1 ⊕ . . . ⊕ Zpks s .121Примеры.1. Z60 ≃ Z4 ⊕ Z3 ⊕ Z5 = h[15]i ⊕ h[20]i ⊕ h[12]i. Например, [1] = −[15] −− [20] + 3 · [12].Группа называется примарной, если ее порядок есть степень простогочисла.Теорема 5.9. Всякая конечно порожденная абелева группа A разлагается в прямую сумму примарных и бесконечных циклических групп,причем число слагаемых и набор порядков определены однозначно.Доказательство.
1) Существование такого разложения следует из теорем 5.2 и 5.3.2) Покажем единственность числа слагаемых и наборов их порядков.Пусть A = ha1 ipk1 ⊕ . . . ⊕ has ipks s ⊕ has+1 i∞ ⊕ . . . ⊕ has+t i∞ (среди чисел1p1 , . . . , ps могут быть одинаковые).Рассмотрим подгруппу кручения Tor A = {a ∈ A : ord a < ∞}. Ясно,что Tor A = ha1 ipk1 ⊕ . . . ⊕ has ipks s и A/ Tor A ≃ Zt . Т.к. определение Tor A1не зависит от разложения, то и число t не зависит от разложения.Рассмотрим подгруппу p-кручения Torp A = {a ∈ A : pk a = 0}. Ясно,что Tor A — сумма тех hai ipki , для которых pi = p. Т.к.
определение Torp AiLне зависит от разложения, то иhai ipki не зависит от разложения.pi =piТ.о., доказательство теоремы сводится к случаю, когда A — примарная группа.143) Случай примарной группы: A = ha1 ipk1 ⊕. . .⊕har ipkr (k1 6 . .
. 6 kr ),|A| = pk , k = k1 + . . . + kr .Докажем индукцией по k, что набор (k1 , . . . , kr ) определен однозначно. При k = 1 это очевидно. Предположим, что утверждение верно длягрупп порядка pl , l 6 k. Пусть k1 = . . . = ks = 1, ks+1 > 1.Рассмотрим подгруппу pA = {pa : a ∈ A}. Ясно, чтоpA = hpas ipks+1−1 ⊕ . . . ⊕ hpar ipkr −1 .По предположению индукции (для pA) набор (ks+1 − 1, .
. . , kr − 1) определен однозначно. Значит, набор (ks+1, . . . , kr ) определен однозначно.Число s определяется из равенства s + ks+1 + . . . + kr = k.Лекция 6.Замечание. Сами слагаемые разложения, о которых идет речь в теореме, вообще говоря. не определены однозначно. Например, ha1 i2 ⊕ ha2 i2 == ha1 + a2 i2 ⊕ ha2 i2 . Вообще. если G = Zrp , то G можно рассматривать какr-мерное векторное пространство над Zp , и разложение G в прямую сумму циклических подгрупп — это разложение векторного пространства всумму одномерных подпространств.Экспонентой конечной группы G называется н.о.к. порядков всехсвоих элементов.
Обозначение: e(G). Ясно, что e(G) | |G| и что g e(G) == e ∀g ∈ G.Вообще говоря, элемента порядка e(G) не существут: e(S3 ) = 6, ноэлементов порядка 6 в S3 нет.Теорема 5.10. В любой конечной абелевой группе A существует элемент порядка e(A).Доказательство. A = ha1 iu1 ⊕. . . ham ium ⊕, где ui | ui+1 (i = 1, . . .
, m−1).e(A) = um = ord am .Теорема 5.11. Мультипликативная группа F ∗ любого конечного поляF циклическая.15Доказательство. |F | = q ⇒ |F ∗ | = q − 1. Докажем, что e(F ∗ ) = q − 1.∗∀x ∈ F ∗ xe(F ) − 1 = 0 ⇒ q − 1 6 e(F ∗ ) ⇒ e(F ∗ ) = q − 1. По теореме 5.10∃ a ∈ F ∗ : ord a = q − 1 ⇒ F ∗ = hai.Пусть p — нечетное простое число. Z∗p = haip−1.Элемент c ∈ Z∗p называется квадратичным вычетом, если он являетсяквадратом в Z∗p .
c = ak — квадратичный вычет ⇔ k четно.Примеры.1. Z∗7 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, 1, 2, 4 — квадратичные вычеты, 3, 5, 6 — квадратичные невычеты.Теорема 5.12. Уравнение x2 + 1 имеет корень в Z∗p ⇔ p ≡ 1 (mod 4).Доказательство. −1 — единственный элемент порядка 2 в Z∗p . Если Z∗p =p−1= hai, то −1 = a 2 ⇒ −1 — квадратичный вычет ⇔ p−1четно.26.
Действия групп.Пусть S(X) — группа всех преобразований множества X. Действиемгруппы G на множестве X называется всякий гомоморфизм α : G →→ S(X): α(gh) = α(g)α(h) ⇒ α(e) = id, α(g −1) = α(g)−1 . Обозначения:G : X, α(g)x = gx; условие гомоморфизма: (gh)x = g(hx). ker α ⊳ G —αядро неэффективности действия α.
Если ker α = {e}, то действие эффективно.Im α — группа преобразований множества X. По теореме о гомоморфизме Im α ≃ G/ ker α.Если G : X, то G действуют1) на любом инвариантном подмножестве Y ⊂ X,2) на множестве всех подмножеств множества X.Примеры.1. Isom E2 : E2 ⇒ Isom E2 действует на множестве треугольников.Если G : X и H ⊂ G — подгруппа, то H : X.Действие G : X определяет отношение эквивалентности: x ∼ y, еслиG∃ g ∈ G : y = gx.
Классы эквивалентности называются орбитами данного действия. Класс эквивалентности x обозначается как Gx = {gx :16g ∈ G}. Действия с одной орбитой называются транзитивными. Числоточек в орбите называется ее длиной и обозначается |Gx|.Стабилизатор элемента x — это Gx = {g ∈ G : gx = x}.Теорема 6.1. Пусть G : X.
Тогда Ggx = gGx g −1 .Доказательство. h ∈ Gx ⇒ (ghg −1)(gx) = g(hx) = gx ⇒ ghg −1 ∈ Ggx .h ∈ Ggx ⇒ (g −1 hg)x = g −1 (gx) = x ⇒ g −1hg ∈ Gx .Примеры.1. SO2 : E2 , Go = SO2 , Gp = {e}, p 6= o.2. GLn (C) : GLn (C), A ◦ X = AXA−1 . Ядро неэффективности есть{λE : λ ∈ C∗ }. A ∼ B ⇔ A и B имеют одну и ту же жордановуформу.3. GLn (C) : Ln (C), A ◦ X = AXAt .4. S4 : {1, 2, 3, 4}V4 : {1, 2, 3, 4}.
Действие V4 : {1, 2, 3, 4} транзитивно, стабилизаторы тривиальны.Лекция 7.Теорема 6.2. Если группа G конечна, то |Gx| = |G : Gx |.Доказательство. Рассмотрим отображение G/Gx → Gx, gGx 7→ gx. Этоопределение корректно: ∀h ∈ Gx (gh)x = g(hx) = gx. Построенное отображение сюръективно по определению орбиты. Оно также инъективно:g1 x = g2 x ⇒ (g2 g1−1 )x = x, т.е. g2 g1−1 ∈ Gx ⇒ g1 Gx = g2 Gx .Пусть P — выпуклый многогранник. Флагом многогранника P назовем тройку {v, e, f }, где v — вершина, e — ребро, содержащее v, f —грань, содержащая e. P — правильный многогранник, если Sym P действует транзитивно на множестве флагов.Пусть V — множество вершин многогранника P . Рассмотрим действие Sym P : V .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
