Е.Б. Винберг - Курс лекций по высшей алгебре (1106010), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Тогда Gp ⊳ G, Gp ∩ Gq = {e}, Gp · Gq = G ⇒G = haip ⋋hbiq , где (k, p) = 1 и k q ≡ 1 (mod p), т.е. [k]q = 1 в Z∗p .k1) p 6≡ 1 (mod q). Тогда в Authaip ≃ Z∗p (циклическая группа порядкаp − 1) нет элементов порядка q ⇒ [k]p = 1, т.е. G = haip × hbiq ⇒ Gциклическая.2) p ≡ 1 (mod q). Тогда в Authaip ≃ Z∗p есть единственная циклическая подгруппа порядка q, скажем, hϕk iq . Либо [k]p = 1, и тогда Gциклическая, либо [k]p 6= 1, и тогда для любого [l]p = [k]sp (где (s, q) = 1)заменяя b на b′ = bs , перейдем от k к l. В этом случае G ≃ haip ⋋hbiq ≃k≃ haip ⋋hb′ iq .l9.
Разрешимые группы.Пусть G — группа. Коммутатор элементов x, y ∈ G — это элемент(x; y) = xyx−1 y −1 .Свойства.1. (x; y) = e ⇔ xy = yx,2. (y; x) = (x; y)−1.Коммутант группы G — это подгруппа G′ = (G; G), порожденнаявсеми коммутаторами, т.е. совокупность всех произведений вида (x1 ; y1) ·· .
. . · (xn ; yn ). G абелева ⇔ G′ = {e}.Если ϕ : G → H — гомоморфизм группы G на группу H, то ϕ(G′ ) == H ′.Теорема 9.1. Коммутант G′ группы G — это наименьшая нормальнаяподгруппа, фактор по которой абелев.24Доказательство. 1) Докажем, что G′ ⊳G. Коммутант G′ инвариантен относительно всех автоморфизмов группы G, и, в частности, относительновнутренних автоморфизмов a(g), g ∈ G ⇒ G′ ⊳ G.2) Докажем минимальность. Пусть N ⊳ G и π : G → G/N — канонический гомоморфизм.
Тогда G/N = A — абелева ⇔ A′ = {e} ⇔ π(G′ ) = {e}⇔ G′ ⊆ N.Примеры.1. S3′ ⊂ A3 , но S3′ 6= {e}, т.к. S3 неабелева ⇒ S3′ = A3 .2. S4′ ⊂ A4 , S4′ 6= {e} и S4′ ⊃ S3′ = A3 ⇒ S4′ содержит все тройныециклы ⇒ |S4′ | > 9 ⇒ S4′ = A4 .3. V4 ⊳ A4 , A4 /V4 циклическая порядка 3 ⇒ A′4 ⊂ V4 , A′4 6= {e}. ПустьA′4 ∋ (12)(34). Но все произведения двух нетривиальных транспозиций сопряжены в A4 ⇒ A′4 = V4 .Лемма 9.1. При любом n An порождается тройными циклами, а приn > 5 — также произведениями пар независимых транспозиций.Доказательство.
Т.к. группа Sn порождается транспозициями, то группа An порождается произведениями пар транспозиций. Но (ij)(jk) == (ijk), (ij)(kl) = (ijk)(jkl). Значит, An порождается тройными циклами. Аналогично, при n > 5 (ij)(jk) = [(ij)(lm)][(jk)(lm)], и An порождается произведениями пар независимых транспозиций.Теорема 9.2. Sn′ = An , при n > 5 A′n = An .Доказательство. Sn′ ⊂ An , Sn′ ⊃ S3′ = A3 ⇒ Sn′ содержит все тройныециклы ⇒ Sn′ = An .При n > 5 A′n ⊃ A4 = V4 ⇒ A′n содержит все произведения парнезависимых транспозиций ⇒ A′n = An .Замечание. Все произведения пар независимых транспозиций сопряжены не только в Sn но и в An : ∀ i, j, k, l (ij)(kl) = τ ((12)(34))τ −1 . Если τчетна, то все доказано.
Если τ нечетна, то заменим τ на τ ′ = τ (12). Тогдаτ ′ ((12)(34))τ ′−1 = τ ((12)(34))τ −1 .Лемма 9.2. Группа SLn (K) порождается элементарными матрицамипервого типа.25Доказательство. Пусть det A = 1. Докажем, что матрицу A можно привести к E с помощью элементарных преобразований строк первого типа.Вначале сделаем a11 = 1.
Если ai1 6= 0, то добавим к первой строке i-юстроку с подходящим коэффициентом.Если все ai1 = 0 при i > 1, то a11 6= 0 и, прибавив ко второй строкепервую, придем к предыдущему случаю.Пусть теперь a11 = 1. Вычитаем из всех строк первую с подходящимикоэффициентами, получаем, что ai1 = 0 при i > 1.Аналогично A приводится к унитреугольному виду. Дальше — обратный ход метода Гаусса.Лекция 10.Теорема 9.3.
При |K| > 3 GLn (K)′ = SLn (K) = SLn (K)′ .Доказательство. Во-первых, GLn (K)/SLn (K) ≃ K ∗ — абелева, поэтомуGLn (K)′ ⊂ SLn (K). 20Во-вторых, λ0 λ−1; 10 1c= 10 (λ −1)c. Если |K| > 3, то беря λ 6=16= 0, ±1 и подходящее c, можно получить любую матрицу вида 10 a1 .∀ n > 2, ∀ i, j ∈ {1, . . . , n}, i 6= j имеется вложение SL2 (K) ֒→ SLn (K):1a b7→ c d...1a ··· c.. .
. ... ..d ··· b1...1Из предыдущего вычисления следует, что E + aEij ∈ SKn (K)′ . Полемме 9.2 получаем, что SLn (K) = SLn (K). Т.к. GLn (K)′ ⊃ SLn (K)′ == SLn (K) и GLn (K)′ ⊂ SLn (K), то GLn (K)′ = SLn (K).Кратные коммутанты G(n) определяются по индуктивному правиналу: G(0) = G, G(1) = G′ , G(n+1) = (G(n) )′ . Если ϕ : G → H, то ϕ(G(n) ) == H (n) .
Отсюда следует, что ∀ n G(n) ⊳ G.Группа G называется разрешимой, если ∃ n ∈ N : G(n) = {e}.26Примеры.(3)(2)1. Sn разрешима ⇔ n 6 4 (S4 = {e}, S3 = {e}, S2′ = {e}).2. GLn (K) не разрешима при n > 2 и |K| > 3.Свойства.1. G разрешима ⇒ всякая подгруппа H ⊂ G и всякая факторгруппаG/N разрешима: G(n) = {e} ⇒ H (n) = {e}; пусть π : G → G/N —канонический гомоморфизм, тогда (G/N)(n) = π(G(n) ) = π(e) = e.2. Если нормальная подгруппа N ⊳ G и факторгруппа G/N разрешимы, то и группа G разрешима: пусть N (k) = {e} и (G/N)(l) = {e},тогда π(G) = (G/N)(l) = {e} ⇒ G(l) ⊂ N ⇒ Gl+k ⊂ N (k) = {e}.Теорема 9.4.
Всякая p-примарная конечная группа разрешима.Доказательство. Индукция по n. При n = 1 — очевидно. Пусть n > 1,тогда Z(G) 6= {e} — абелева (а значит, и разрешимая), G/Z(G) разрешима по предположению индукции.Теорема 9.5. Группа Bn (K) треугольных матриц порядка n над полемK разрешима.Доказательство. Рассмотрим гомоморфизм ϕ : Bn (K) → (K ∗ )n :λ1 ∗∗ .. . ... ∗ 7→ (λ1 , . .
. , λn ),0 · · · λnпричем группа (K ∗ )n абелева. ker ϕ = Un (K). Если Un (K) разрешима, тои Bn (K) разрешима.Докажем разрешимость группы Un (K) индукцией по n. При n = 1 —очевидно. При n > 1 рассмотрим гомоморфизм ψ : Un (K) → Un−1 (K),..1∗∗ . .1∗∗... ... ∗ .. .. . . 7→ ...∗ 0 · · · 1 ... 0 ··· 1··· 0 ··· 127Очевидно, что1 ··· 0a1 ...... .. .... ker ψ = ≃ (K ∗ )n−1 0 · · · 1 an−1 ··· 0 ···1—абелева группа. Un (K)/ ker ψ ≃ Un−1 (K) — разрешима по предположению индукции. Значит, Un (K) разрешима.10.
Простые группы.Группа G называется простой, если она не содержит нетривиальныхнормальных подгрупп.Простая группа G разрешима ⇔ G — циклическая группа простогопорядка.Существуют некоммутативные простые группы.Лемма 10.1. Если G — конечная группа и p | |G|, то существуетэлемент g ∈ G порядка p.Доказательство. Возьмем нетривиальную силовскую p-подгруппу S ⊂k−1⊂ G. Тогда ∀ g ∈ S, g 6= e ord g = pk и ord g p = p.Теорема 10.1. Группа A5 проста.Доказательство. Поскольку |A5 | = 22 · 3 · 5, то все элементы, не равныеe, имеют порядок 2, 3 или 5. Пусть N — нетривиальная нормальнаяподгруппа.1) Если 2 | |N|, то по лемме 10.1 N содержит элемент порядка 2 ⇒ Nсодержит все транспозиции вида (ij)(kl) ⇒ N = A5 — противоречие.2) Если 3 | |N|, то по лемме 10.1 N содержит тройной цикл ⇒ Nсодержит все тройные циклы ⇒ N = A5 — противоречие.3) Если |N| = 5, то N = h(ijklm)i — силовская 5-подгруппа.
Нов A5 силовская 5-подгруппа не единственна, а значит, не нормальна —противоречие.28Замечание. Можно доказать, что не существует некоммутативных простых групп порядка меньше 60. Более того. всякая группа порядка меньше 60 разрешима. Группа PSLn (K) = SLn (K)/{λE : λn = 1} проста,кроме случая n = 2, |K| = 2, 3.Лекция 11.11. Линейные представления групп.Линейным представлением группы G в векторном пространстве Vназывается всякий гомоморфизм R : G → GL(V ). Пространство V называется пространством представления, а его размерность — размерностью представления.Матричным представлением группы G называется всякий гомоморфизм R : G → GLn (K) (K — поле).Всякую матрицу A ∈ GLn (K) можно рассматривать как линейныйоператор X 7→ AX в пространстве K n .
Соответственно, всякое матричное представление можно рассматривать как линейное представление впространстве K n .Обратно, если R : G → GL(V ) — линейное представление и e = (e1 , . . .. . . , en ) — базис пространства V , то, записывая линейные операторы R(g)матрицами в базисе e, получим следующее матричное представление:Re : G → GLn (K).При переходе от старого базиса к новому e′ = eC, получаем другое матричное представление Re′ , связанное с Re формулой Re′ (g) == C −1 Re (g)C.Линейные представления одной и той же группы R : G → GL(V ) иS : G → GL(U) изоморфны, если есть такой изоморфизм ϕ : V → U векторных пространств, что ∀ g ∈ G ϕR(g) = S(g)ϕ, т.е. следующая диаграмма коммутативна:VR(g)//VϕϕUS(g)//UПусть e = (e1 , . . .
, en ) — базис V . Тогда ϕ(e) = (ϕ(e1 ), . . . , ϕ(en )) —базис U. Условие коммутативности диаграммы означает, что Re (g) == Sϕ(e) (g) ∀ g ∈ G.29Примеры.t − sin tch t sh t1. G = R, R1 (t) = ( cossin t cos t ), R2 (t) = ( sh t ch t ), R3 (t) =1tR4 (t) = ( 0 1 ). R2 ≃ R3 .et 00 e−t,2.
G = S4 , R1 : S4 f→ Sym T ⊂ GL(E3 ), R2 : S4 f→ Sym+ K ⊂ GL(E3 ).det R2 (g) ≡ 1 ∀ g, det R1 (g) 6= 1 при g 6∈ A4 ⇒ R1 6≃ R2 .3. G = S3 , R : S3 f→ Sym △ ⊂ GL(E2 ).4. G = S4 , S : S4 → S3 f→ Sym △ ⊂ GL(E2 ).5. Одномерные представления — гомоморфизмы G → K ∗ . В частности, det : GLn (K) → K ∗ , sgn : Sn → {±1}.6. Тривиальные представления: I : G → GL(V ), I(g) = E ∀ g ∈ G.Расширение поля K ⊂ L (например, R ⊂ C), R : G → GLn (K) ⊂⊂ GLn (L).Сумма представлений R : G → GL(V ) и S : G → GL(U) — это представление R + S : G → GL(V ⊕ U), определяемое по следующимформуR(g) 0лам: (R + S)(g)(v, u) = (R(g)v, S(g)u) или (R + S)(g) =0 S(g) .Примеры.1.
Пусть R3 : R → GL(R), тогда оно является суммой двух представлений t 7→ et , t 7→ e−t .Пусть R : G → GL(V ) — некоторое представление ПодпространствоU ⊂ V называется инвариантным относительно представления R, если оно инвариантно относительно всех операторов R(g), g ∈ G, т.е.R(g)u ∈ U ∀ u ∈ U, g ∈ G. В матричной форме (в базисе пространстваV , согласованным с U) это означает, что R(g) = ( ∗0 ∗∗ ) ∀ g ∈ G.Если U инвариантно, то можно рассматривать ограничение представления R на U: RU (g)u = R(g)u ∀ u ∈ U. В матричной форме R(g) == RU0(g) ∗∗ .Если V = U ⊕ W , U, W — инвариантные подпространства, то R(g) == RU0(g) RW0(g) , т.е. R ≃ RU + RW .Линейное представление R : G → GL(V ) называется неприводимым,если в V нет нетривиальных инвариантных подпространств.30Линейное представление R : G → GL(V ) называется вполне приводимым, если для всякого инвариантного подпространства U ⊂ V существует инвариантное дополнительное подпространство W ⊂ V .Всякое неприводимое представление вполне приводимо.Всякое одномерное представление неприводимо.Неприводимое представление может стать приводимым после расширения поля.Примеры.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
