В.А. Артамонов - Лекции по алгебре, 3 семестр, мех-мат МГУ (1106002), страница 7
Текст из файла (страница 7)
áᬮâਬ ¨¤¥ «ker φ = 0. ker φ = 0, ¨ φ¯¥à¢®¬ á«ãç ¥φ = 0,ker φ.® á«¥¤á⢨î 5.14 «¨¡®çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¯à¥¤¯®«®¦¥¨î.ker φ = k ,«¨¡®«¥¤®¢ ⥫ì®,{ ¬®®¬®à䨧¬ ¯® á«¥¤á⢨î 1.47.«¥¤á⢨¥ 5.24. ãáâì A { «£¥¡à á ¥¤¨¨æ¥© 1 ¤ ¯®«¥¬ k . ®£¤ ®â®¡à ¦¥¨¥φ : k → A, α 7→ α1 ï¥âáï ¢«®¦¥¨¥¬ ¯®«ï k ¢ «£¥¡àã A.I /R.
áᬮâਬ ä ªâ®à£à㯯ã (®â®á¨â¥«ì® á«®¦¥¨ï)α ∈ k ¯®«®¦¨¬¯à¥¤¥«¥¨¥ 5.25. ãáâìR/I .«ïa + I, b + I ∈ R/I¨(a + I)(b + I) = ab + I ∈ R/I,®«ãç îé ïáï «£¥¡à (ª®«ìæ®) §ë¢ ¥âáïα(a + I) = αa + I.ä ªâ®à «£¥¡à®© (ä ªâ®àª®«ì殬)1. 39।«®¦¥¨¥ 5.26. ¯à¥¤¥«¥¨¥ ä ªâ®à «£¥¡àë (ä ªâ®àª®«ìæ ) R/I ª®à४â®. ᫨ R áá®æ¨ ⨢® (ª®¬¬ãâ ⨢®, ª®«ìæ® ¨«¨ «£¥¡à ¨), â® í⨬ ¦¥ ᢮©á⢮¬ ®¡« ¤ ¥â R/I .®ª § ⥫ìá⢮. ãáâìx, y ∈ I.a + I = a0 + I, b + I = b0 + I .®£¤ a0 = a + x, b0 = b + y ,£¤¥®í⮬ãa0 b0 = ab + xb + ay + xy ∈ ab + I,¯®áª®«ìªãxb + ay + xy ∈ I¢ ᨫ㠮¯à¥¤¥«¥¨ï ¨¤¥ « .
«®£¨ç®, ¥á«¨α ∈ k,â®0αa = αa + αx ∈ αa + I.¥á«®¦® ¯à®¢¥àï¥âáï ¨ ¯®á«¥¤¥¥ ã⢥ত¥¨¥.¯à¥¤¥«¥¨¥ 5.27. áᬮâਬ £®¬®¬®à䨧¬π : R → R/I , a 7→ a + I .ï¥âáï £®¬®¬®à䨧¬®¬ ª®«¥æ ( «£¥¡à). §ë¢ ¥âáï¥áâ¥á⢥묮£¤ 𣮬®¬®à䨧¬®¬ª®«¥æ ( «£¥¡à).।«®¦¥¨¥ 5.28. ®¬®¬®à䨧¬¬®à䨧¬®¬ ª®«¥æ ( «£¥¡à), ker π = I .π : R → R/I ¨§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï 5.27 ï¥âáï £®¬®-¥®à¥¬ 5.29 (¥®à¥¬ ® £®¬®¬®à䨧¬ å).( «£¥¡à). ®£¤ ãáâìφ : R → R0 { £®¬®¬®à䨧¬ ª®«¥æIm φ ' R/ ker φ/.®ª § ⥫ìá⢮. ® ⥮६¥ 1.50 ®â®¡à ¦¥¨¥ζ : f (R) → R/ ker φ,§ ¤ ¢ ¥¬®¥ ¯®¯à ¢¨«ãï¥âáï ¨§®¬®à䨧¬®¬ζ(a)ζ(b),ζ(φ(x)) = φ−1 (φ(x)) = x + ker φ ¤¤¨â¨¢ëå £à㯯 Im φ ¨ R/I .
áâ ¥âáﯮª § âì, çâ®ζ(ab) =¨αζ(a) = ζ(αa)a, b ∈ Im φ,¤«ï ¢á¥åφ(xy),α ∈ k.ãáâìa = φ(x),(12)b = φ(y),£¤¥x, y ∈ R. ª ª ªφ(x)φ(y) =â®ζ(a)ζ(b) = φ−1 (φ(x))φ−1 (φ(y)) = φ−1 φ(xy) = ζ(ab). «®£¨ç® ¯à®¢¥àï¥âáï (12).ਬ¥àë 5.30. ®ª § âì, çâ®(1)(2)C[X, Y ]/(Y ) ' C[X];R[X]/(X 2 + X + 1) ' C. § ª«î票¥ í⮣® à §¤¥« ¯à¨¢¥¤¥¬ ¢ ¦ë© ¯à¨¬¥à ¯à®á⮩ «£¥¡àë. ¯®¬¨¬ á -x, y «î¡®© áá®æ¨ ⨢®© «£¥¡à¥ ¯®« £ ¥¬ [x, y] = xy − yx.V = C[X1 , . . . , Xn ] { «£¥¡à ª®¬¯«¥ªáëå ¬®£®ç«¥®¢ ®â X1 , .
. . , Xn . áᬮâV «¨¥©ë¥ ®¯¥à â®àë p1 , . . . , pn , q1 , . . . , qn , £¤¥ ¤«ï «î¡®£® f ∈ V∂fpi (f ) =, qi f = Xi f.(13)∂Xiç « , çâ® ¤«ï í«¥¬¥â®¢ãáâìਬ ¢à¥¤«®¦¥¨¥ 5.31.¯à ¢¥¤«¨¢ë á®®â®è¥¨ï[pi , pj ] = [qi , qj ] = 0,[pi , qj ] = δij®ª § ⥫ìá⢮. ®áâ â®ç® ¯à®¢¥à¨âì ¯®á«¥¤¥¥ á®®â®è¥¨¥. ᫨∂(Xj f )∂f[pi , qj ]f = (pi qj − qj pi )f =− Xj=∂Xi∂Xi∂Xj∂f∂f∂Xjf + Xj− Xj=f = δij f.∂Xi∂Xi∂Xi∂Xif ∈V,â®(14)405. «£¥¡à®© ¥©«ï¯à¥¤¥«¥¨¥ 5.32.£¥¡à¥ «¨¥©ëå ®¯¥à â®à®¢ V,An (C) §ë¢ ¥âáï ¯®¤ «£¥¡à á ¥¤¨¨æ¥© ¢ «-¯®à®¦¤¥ ï ¢á¥¬¨ ®¯¥à â®à ¬¨ ᨫ㠯।«®¦¥¨ï 5.31 ¯à®¨§¢®«ìë© í«¥¬¥â ¨§pi , qj , i, j = 1, .
. . , n.An (C) ï¥âáï ª®¥ç®© «¨¥©®©ª®¬¡¨ 樥© ®¤®ç«¥®¢q1m1 · · · qnmn ps11 · · · psnn ,si , mj ≥ 0,si , mj ∈ Z.F ¨§ An (C) ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âìXF =fi (q1 , . . . , qn )gi (p1 , . . . , pn ). ç áâ®áâ¨, ª ¦¤ë© í«¥¬¥â(15)¢ ¢¨¤¥ ª®¥ç®© á㬬ë(16)i®«®¦¨¬ ¢ í⮬ á«ãç ¥P∂F∂gi (p1 , .
. . , pn )= i fi (q1 , . . . , qn );∂pj∂piP ∂fi (q1 , . . . , qn )∂F= igi (p1 , . . . , pn ).∂qj∂qj।«®¦¥¨¥ 5.33. ᫨F ∈ An (C), â® ¤«ï ¢á¥å i = 1, . . . , n[pi , F ] =∂F,∂qi[qj , F ] = −∂F.∂pj®ª § ⥫ìá⢮. ¯à ¢¥¤«¨¢ «î¡®© áá®æ¨ ⨢®© «£¥¡à¥¥¬¬ 5.34.[x, yz] = [x, y]z + y[x, z],A ¢ë¯®«¥ë à ¢¥á⢠[x, y] = −[y, x].®ª § ⥫ìá⢮. ¥¯®á।á⢥®¥ ¢ëç¨á«¥¨¥.®¦® áç¨â âì, çâ®Fï¥âáï ®¤®ç«¥®¬ (15). ᨫ㠯।«®¦¥¨ï 5.31 ¨ «¥¬-¬ë 5.34 ¯®«ãç ¥¬mmi−1i+1[pi , F ] = q1m1 · · · qi−1[pi , qimi ]qi+1· · · qnmn ps11 · · · psnn .(17)áâ ¥âáï ¯®ª § âì, çâ®[pi , qim ] = mqim−1 . ᫨m = 1,â® (18) ¢ë⥪ ¥â ¨§ ¯à¥¤«®¦¥¨ï 5.31. ãáâì ¤«ï(18)mà ¢¥á⢮ (18) ¤®ª § ®.®£¤ ¯® «¥¬¬¥ 5.34[pi , qim+1 ] = [pi , qi ]qim + qi [pi , qim ] = qim + qi mqim−1 = (m + 1)qim .।«®¦¥¨¥ 5.35.¤®ç«¥ë ¨§(15)¥§ ¢¨á¨¬ë.ãáâì F { ¥ã«¥¢®© í«¥¬¥â ¨§ (16). ।áâ ¢¨¬ F ¢ ¢¨¤¥ F =Pm ®ª § ⥫ìá⢮.i,£¤¥u{¬®£®ç«¥ë®â p1 , .
. . , pn , q1 , . . . , qn−1 . ® ¯à¥¤«®¦¥¨î 5.33 ¯®«ãç ¥¬,uqii=0 i nçâ®0 = [pn , F ] =mXui iqni−1 .i=0த®«¦ ï í⨠à áá㦤¥¨ï, ¯®«ãç ¥¬ ¢ «£¥¡à¥ ¥©«ï ¥ã«¥¢®© ¬®£®ç«¥ á ç « ®âp1 , . . . , pn , q1 , . . . , qn−1 , ¨ § ⥬ ®â p1 , . . . , pn .¯à®â¨¢®à¥ç¨¥.¥®à¥¬ 5.36.«£¥¡à An (C) ¯à®áâ . «®£¨ç® à áᬠâਢ ï0 = [qi , F ] ¯®«ãç ¥¬2. ®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì0 6= I / An (C).41I ᮤ¥à¦¨â ¥ã«¥[pi , F ], [qi , F ] ∈ I , ª ª ¨à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ¨¤¥ «¢®© ¬®£®ç«¥ ¨§ ¤®ª § ⥫ìá⢠¯à¥¤«®¦¥¨ï 5.35. áᬠâਢ ïI ᮤ¥à¦¨â ¥ã«¥¢®© í«¥¬¥âI = An (C) ¢ ᨫã ã¯à ¦¥¨ï 5.13.¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ¯à¥¤«®¦¥¨ï 5.35, ¯®«ãç ¥¬, çâ®C.â®â í«¥¬¥â ®¡à ⨬ ¢An (C),¨ ¯®í⮬㨧 ¯®«ï2.
¥®à¥¬ ஡¥¨ãá ¯¨è¥¬ ª®¥ç®¬¥àë¥ â¥« ¤ ¯®«¥¬ ¢¥é¥á⢥ëå ç¨á¥«.¯à¥¤¥«¥¨¥ 5.37. ãáâìH{ ¬®¦¥á⢮ ¢á¥å ª®¬¯«¥ªáëå ¬ âà¨æz=a −bb a(19)¥®à¥¬ 5.38. H ï¥âáï ¯®¤ «£¥¡à®© ¢ R- «£¥¡à¥ ¢á¥å ª®¬¯«¥ªáëå ¬ âà¨æMat(2, C). ®«¥¥ ⮣®, H ï¥âáï ⥫®¬ á æ¥â஬ R.p√®ª § ⥫ìá⢮. «ï z ∈ H ¨§ (19) ç¥à¥§ kzk ®¡®§ 稬det z = |a|2 + |b|2 . ®£¤ kzk > 0, ¥á«¨ z 6= 0, kz1 z2 k = kz1 kkz2 k. ᫨ z ¨§ (19), â® ¯®«®¦¨¬a bz=−b az2−1¥âà㤮 ¢¨¤¥âì, çâ® zz = kzk . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥á«¨ z 6= 0, â® z=.
«¥¤®¢ ⥫ì®,kzk2H { ⥫®. ® ¥ª®¬¬ãâ ⨢®, â ª ª ª ¥á«¨0 −1i 0I=, J=,(20)1 00 −iâ®IJ = −JI . ©¤¥¬ æ¥âàH. á®á⮨⠨§ ¢á¥å ¬ âà¨æw=çâ® wz = zw ¤«ïw = λE , λ ∈ R.¢á¥å ¬ âà¨æzuv¨§ (19).−v,u¥¯®á।á⢥ ï ¯à®¢¥àª ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ®E, I, J, K ,0 i,−i 0¯à ¦¥¨¥ 5.39. ®ª § âì, çâ® ¬ âà¨æëK=á®áâ ¢«ïîâ ¡ §¨áH ¤R,£¤¥I, J¨§ (20) ¨¯à¨ç¥¬IJ = K,JK = I,I 2 = J 2 = K 2 = −E. ¬ ¯®âॡã¥âáï àï¤ ã⢥ত¥¨©.¯à¥¤¥«¥¨¥ 5.40. ãáâì¢ ¥âáïf (z) =A{ áá®æ¨ ⨢ ïk - «£¥¡à á 1. «£¥¡à ¨ç¥áª¨¬ ¤ k , ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© ¥ã«¥¢®©0. ¨¨¬ «ìë¬ ¬®£®ç«¥®¬ «£¥¡à ¨ç¥áª®£® í«¥¬¥â ¬®£®ç«¥z ∈ A §ëf ∈ k[X], ç⮫¥¬¥â¬®£®ç«¥z ¤ k §ë¢ ¥âáï â ª®©f (X) ∈ k[X] ¬¨¨¬ «ì®© á⥯¥¨ á® áâ à訬 ª®íää¨æ¨¥â®¬ 1, çâ® f (z) = 0.¯à ¦¥¨¥ 5.41. ãáâìA{ ª®¥ç®¬¥à ï áá®æ¨ ⨢ ï «£¥¡à ¤ ¯®«¥¬¥¤¨¨æ¥©.
®ª § âì, çâ® ª ¦¤ë© í«¥¬¥â ¨§A «£¥¡à ¨ç¥ ¤kák.¯à ¦¥¨¥ 5.42. ®ª § âì, çâ® ¬¨¨¬ «ìë© ¬®£®ç«¥ ¤«ï § ¤ ®£® í«¥¬¥â ®¯à¥¤¥«¥ ®¤®§ ç®. ª ¯®ª § ® ¢ ⥮६¥ 5.17 ª ¦¤ë© ¨¤¥ « ¢ «£¥¡à¥ ¬®£®ç«¥®¢ï¢«ï¥âáï £« ¢ë¬.k[X] ¤ ¯®«¥¬k425. ।«®¦¥¨¥ 5.43.ãáâìf ∈ k[X] ¨¬¥¥â á⥯¥ì n. ®£¤ dimk (k[x]/(f )) = n.®ª § ⥫ìá⢮. ¡¥¤¨¬áï, çâ® í«¥¬¥âë1 + (f ), X + (f ), . . . , X n−1 + (f )k[x]/(f ).á®áâ ¢«ïîâ ¡ §¨á(21) ᫨ k { ¯®«¥, â® k[X]/(p) ï¥âáï ¯®«¥¬ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ ,p ∈ k[X] ¥¯à¨¢®¤¨¬.¥®à¥¬ 5.44.ª®£¤ ¬®£®ç«¥p = uv , £¤¥ 0 < deg u, deg v < n = deg p. ® ¯à¥¤«®¦¥¨îu + (p), v + (p) 6= 0 ¢ k[X]/(p), ® (u + (p))(v + (p)) = 0 ¢ k[X]/(p).
®£¤ ¢®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì5.43 í«¥¬¥âëk[X]/(p)¨¬¥îâáï ¤¥«¨â¥«¨ ã«ï, çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â á«¥¤á⢨î 5.8.p { ¥¯à¨¢®¤¨¬ ¨ u ∈ k[X] \ (p), â® (u, p) = 1. «¥¤®¢ ⥫ì®,f, g ∈ k[X], çâ® 1 = f u + gp. ®£¤ (u + (p))−1 = f + (p).¡à â®, ¥á«¨â ª¨¥ í«¥¬¥âë ©¤ãâáï।«®¦¥¨¥ 5.45. ãáâì A { ®¡« áâì ¤ ¯®«¥¬ k , ¨ z ∈ K { «£¥¡à ¨ç¥áª¨©í«¥¬¥â á ¬¨¨¬ «ìë¬ ¬®£®ç«¥®¬ f (X). ®£¤ f ¥¯à¨¢®¤¨¬. ®«®¦¨¬k[z] = {a0 + a1 z + · · · + an−1 z n−1 |ai ∈ k, n = deg f }.®£¤ k[z] ï¥âáï ¯®¤¯®«¥¬ ¢ K , ᮤ¥à¦ 騬 k , ¨k[z] ' k[X]/(f ).(22)ãáâì A ª®¥ç®¬¥à®¥ ⥫® ¤ R, ¨ a ∈ A \ R. ®£¤ ¬¨¨a ¨¬¥¥â á⥯¥ì ¤¢ . ஬¥ ⮣®, R[a] ' C.।«®¦¥¨¥ 5.46.¬ «ìë© ¬®£®ç«¥ ¤A ª®¥ç®¬¥à®, ¢á¥ á⥯¥¨ a § ¢¨á¨¬ë. «¥¤®¢ ⥫ì®,p ¤«ï a ¥¯à¨¢®¤¨¬ ¨ ¯®â®¬ã ¨¬¥¥â á⥯¥ì¥ ¢ëè¥ 2 ¢ ᨫ㠯।«®¦¥¨ï 5.45. ª ª ª a ∈/ R, â® á⥯¥ì p à ¢ 2.
®í⮬ãa2 + αa + β = 0, £¤¥ p = X 2 + αX + β ∈ R[X]. ®«®¦¨¬2a + α.I=p4β − α2®ª § ⥫ìá⢮. ª ª ªa «£¥¡à ¨ç®.®£¤ I 2 = −1,¨¨¬ «ìë© ¬®£®ç«¥¯à¨ç¥¬ ¯® ¯à¥¤«®¦¥¨î 5.45R[a] = R[I] ' R[X]/(X 2 + 1) ' C.¥®à¥¬ 5.47.«¨¡®ãáâì ¯®«¥A ï¥âáï «£¥¡à ¨ç¥áª¨¬ à áè¨à¥¨¥¬ ¯®«ï R. ®£¤ A = R, «¨¡® A = C.A ⊇ R1 = R. ®¦® áç¨â âì, çâ® A 6= R.
® ¯à¥¤A ï¥âáï ª®¥çë¬ à áè¨à¥¨¥¬ C. ᫨ a ∈ A \ C, ⮬¨¨¬ «ìë© ¬®£®ç«¥ f ∈ C[X] ¤«ï a ¨¬¥¥â ª®¬¯«¥ªáë© ª®à¥ì λ. âáî¤ 0 = f (a) =(a − λ)g(a), £¤¥ g ∈ C[X]. ª ª ª ¢ A ¥â ¤¥«¨â¥«¥© ã«ï, â® a − λ = 0 ¨ a = λ ∈ C.®ª § ⥫ìá⢮. ¬¥â¨¬, ç⮫®¦¥¨î 5.46A ⊇ C.â ª,¥®à¥¬ 5.48 (஡¥¨ãá).¨§ ⥫ãáâìA { ª®¥ç®¬¥à®¥ ⥫® ¤ R.
®£¤ A { ®¤®R, C, H.A ¥ ª®¬¬ãâ ⨢®. ª ¨ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饩A 6= R. ® ¯à¥¤«®¦¥¨î 5.46 A ⊇ C. ᫨A = C, ⮠⥮६ ¤®ª § . ãáâì A 6= C. í⮬ á«ãç ¥ A ï¥âáï «¥¢ë¬ ¢¥ªâ®à묯à®áâà á⢮¬ ¤ C. áᬮâਬ ¢ A «¨¥©ë© ®¯¥à â®à L(x) = xi,i ∈ C. ¬¥â¨¬,4çâ® L = 1. ®í⮬㠯®«ãç ¥âáï ª®¬¯«¥ªá®¥ ª®¥ç®¬¥à®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ 横«¨ç¥áª®©£à㯯ë G ¯®à浪 4. «¥¤®¢ ⥫ì®, A à §« £ ¥âáï ¢ ¯àï¬ãî á㬬㮪 § ⥫ìá⢮.
®¦® áç¨â âì, çâ®â¥®à¥¬¥ 5.47A ⊇ R1 = R.®¦® áç¨â âì, çâ®A = A1 ⊕ A−1 ⊕ Ai ⊕ A−i ,£¤¥Aj = {x ∈ A|xi = jx}.3. ãáâì43y ∈ A1 . ®£¤ yi = y, ®âªã¤ y(i − 1) = 0, â. ¥. y = 0.y(i + 1) = 0, â. ¥. y = 0. â ª, A1 = A−1 = 0, ¨ãáâìy ∈ A−1 .®£¤ yi = −y,®âªã¤ A = Ai ⊕ A−i ,¥¬¬ 5.49.Ai = C.®ª § ⥫ìá⢮.
ãáâìà áè¨à¥¨¥¬C.¥¬¬ 5.50.C ⊆ Ai .a ∈ Ai .ãáâìai = ia,Ai = C.®£¤ ® ⥮६¥ 5.47 ®«ãç ¥¬â.¥.¯®«¥C[a]ï¥âáï ª®¥çë¬y ∈ Aεi , z ∈ Aτ i , £¤¥ ε, τ = ±1. ®£¤ yz ∈ Aετ i .®ª § ⥫ìá⢮.(yz)i = y(zi) = y(τ ia) = τ (yi)a = τ εi(ya).¥¬¬ 5.51.ãáâìy ∈ Aεi . ®£¤ yAεi = Ai ,yA−εi = A−i .®ª § ⥫ìá⢮. ® «¥¬¬¥ 5.50yAεi ⊆ Ai , ª ª ª ¢AyAi ⊆ Aεi .¥â ¤¥«¨â¥«¥© ã«ï, â®dimC Aεi = dimC (yAεi ) ≤ dimC Ai = (yAi ) ≤ dimC Aεi .âáî¤ á«¥¤ã¥â ã⢥ত¥¨¥.«¥¤á⢨¥ 5.52.dimC Ai = dimC A−i = 1.j ∈ A−i .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
