В.А. Артамонов - Лекции по алгебре, 3 семестр, мех-мат МГУ (1106002), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

 à G̃, N ®¯à¥¤¥«¥­ ’¥®à¥¬ 6.26.£à㯯 ‹¨, ¨®¤­®§­ ç­®.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 6.27. ƒà㯯 G̃­ §ë¢ ¥âáﮤ­®á¢ï§­ë¬ ­ ªàë⨥¬à¨¬¥àë 6.28. ‘«¥¤ãî騥 £àã¯¯ë ®¤­®á¢ï§­ë:SL(n, C),SU(n, C),Spin(n, C).ˆ¬¥îâáï á«¥¤ãî騥 ®¤­®á¢ï§­ë¥ ­ ªàëâ¨ï:(1)(2)(3)(4)(5)R → U(1, C);SL(2, C) → SO(3, C);SU(2, C) → SO(3, R);SL(2, C) × SL(2, C) → SO(4, C);SL(4, C) → SO(6, C).à¨ í⮬ ¢ ᨫ㠥¤¨­á⢥­­®á⨠­ ªàëâ¨ïSpin(3, C) ' SL(2, C), Spin(4, C) ' SL(2, C) × SL(2, C),Spin(6, C) ' SL(4, C).G.546. ‹ˆ…‰… ƒ ˆ ˆÅ €‹ƒ… ‹ˆ3. à¥¤áâ ¢«¥­¨ï £à㯯 ‹¨’¥®à¥¬ 6.29.

ãáâì G ª®¬¯ ªâ­ ï £à㯯 ‹¨. ’®£¤ ­ G áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¥¤¨­áâR¢¥­­ë© â ª®© ¨­â¥£à « G f (g)dg ¤«ï ª ¦¤®© ­ «¨â¨ç¥áª®© ä㭪樨 f ­ G, çâ® ®­(1)(2)(3)«¨­¥¥­®â­®á¨â¥«ì­®ä㭪樨 f ;RR2dg=1,|f(g)|dg>0, ¥á«¨ f 6= 0;GGRGf (g)dg =R‘«¥¤á⢨¥ 6.30.Gf (g −1 )dg =RGf (gh)dg =RGf (hg)dg , ¥á«¨ h ∈ G.‹î¡®¥ ª®­¥ç­®¬¥à­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ª®¬¯ ªâ­®© £àã¯¯ë ‹¨¢¯®«­¥ ¯à¨¢®¤¨¬®.‘«¥¤á⢨¥ 6.31. ãáâì § ¤ ­® ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ φ : G → GL(V ), £¤¥ dim V¢¢®¤¨âáï ᪠«ïà­®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ (x, y).

‚¢¥¤¥¬ ­®¢®¥ ᪠«ïà­®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥< ∞. ‚Zhx, yi =(φ(g)x, φ(g)y)dg.G‚ ᨫã ᢮©á⢠¨­â¥£à « ª ¦¤ë© ®¯¥à â®àφ(h), h ∈ G, ã­¨â ७.’¥®à¥¬ 6.32. ‹î¡®¥ ­¥¯à¨¢®¤¨¬®¥ ª®¬¯«¥ªá­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ª®¬¯ ªâ­®© £àã¯¯ë ‹¨ ª®­¥ç­®¬¥à­®.’¥®à¥¬ 6.33. ƒà㯯 ¢á¥å ã­¨â à­ëå ¬ âà¨æ U(n, C) ï¥âáï ¬ ªá¨¬ «ì­®© ª®¬¯ ªâ­®© ¯®¤£à㯯®© ¢ GL(n, C). ‹î¡ ï ¤àã£ ï ¬ ªá¨¬ «ì­ ï ª®¬¯ ªâ­ ï ¯®¤£à㯯 ¢GL(n, C) ᮯà殮­ á U(n, C). ƒà㯯 ¢á¥å ®à⮣®­ «ì­ëå ¬ âà¨æ O(n, R) ï¥âáï¬ ªá¨¬ «ì­®© ª®¬¯ ªâ­®© ¯®¤£à㯯®© ¢ GL(n, R).

‹î¡ ï ¤àã£ ï ¬ ªá¨¬ «ì­ ï ª®¬¯ ªâ­ ï ¯®¤£à㯯 ¢ GL(n, R) ᮯà殮­ á O(n, R).Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 6.34. ƒà㯯 ‹¨¯®«ã¯à®áâ ,¥á«¨ ¢ ­¥© ­¥â ­¥¥¤¨­¨ç­ëå á¢ï§­ë孮ଠ«ì­ëå ¡¥«¥¢ëå ¯®¤£à㯯.à¨¬¥à 6.35. ƒà㯯뒥®à¥¬ 6.36.SL(n, C), SU(n, C), SO(3, R)¯®«ã¯à®áâë.‹î¡ ï á¢ï§­ ï ¯®«ã¯à®áâ ï £à㯯 ‹¨ ¤®¯ã᪠¥â â®ç­®¥ «¨­¥©­®¥¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 6.37.Œ ªá¨¬ «ì­ë¬ â®à®¬GC∗ .¢ £à㯯¥ ‹¨¯®¤£à㯯 ‹¨, ïîé ïáï ¯àï¬ë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥¬ £à㯯­ §ë¢ ¥âáï ¬ ªá¨¬ «ì­ ïà¨¬¥àë 6.38. Œ ªá¨¬ «ì­ë© â®à¢¢¢GL(n, C) { ¯®¤£à㯯 ¤¨ £®­ «ì­ëå ¬ âà¨æ D(nC),SL(n, C) { ¯®¤£à㯯 ¤¨ £®­ «ì­ëå ¬ âà¨æ D(nC) ∩ SL(n, C),SO(n, C) { ¯®¤£à㯯 ¤¨ £®­ «ì­ëå ¬ âà¨æ D(nC) ∩ SO(n, C).’¥®à¥¬ 6.39.

‚ á¢ï§­®© ª®¬¯ ªâ­®© £à㯯¥ ‹¨ ¬ ªá¨¬ «ì­ë© â®à ï¥âáï ¬ ªá¨¬ «ì­®© á¢ï§­®© ª®¬¬ãâ ⨢­®© ¯®¤£à㯯®© ‹¨. ‚ᥠ⠪¨¥ ¯®¤£à㯯ë ᮯà殮­ë.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 6.40. Œ ªá¨¬ «ì­ ï á¢ï§­ ï à §à¥è¨¬ ï ¯®¤£à㯯 ‹¨‹¨G­ §ë¢ ¥âáï‡ ¬¥â¨¬, çâ®GB+ᮤ¥à¦¨â ¬ ªá¨¬ «ì­ë© â®àH.‚ᥠ¯®¤£àã¯¯ë ®à¥«ïᮯà殮­ë ¬¥¦¤ã ᮡ®© ¢ G.G = GL(n, C), â® B + = T (n, C).SU(n, C), â® B + = T (n, C) ∩ G.à¨¬¥àë 6.42. …᫨SO(n, C),¢ £à㯯¥¯®¤£à㯯®© ®à¥«ï.’¥®à¥¬ 6.41 (Œ®à®§®¢, ®à¥«ì).£àã¯¯ë ‹¨B+SL(n, C),B + á¢ï§­®© ª®¬¯«¥ªá­®©…᫨G{ ®¤­ ¨§ £à㯯3. …„€‚‹…ˆ ƒ ‹ˆŽ¯à¥¤¥«¥­¨¥ 6.43. ãáâìG.„«ï «î¡®£® £®¬®¬®à䨧¬ φ : G → GL(n, C) { ª®¬¯«¥ªá­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ £àã¯¯ë ‹¨χ : G → C∗ ç¥à¥§ Vχ ®¡®§­ 稬 ¯®¤¯à®áâà ­á⢮Vχ = {v ∈ V |φ(g)v = χ(g)v¥­ã«¥¢®¥ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮¢¥á®¢ë¬¨,…᫨ äã­ªæ¨ïHχVχ55­ §ë¢ ¥âáï¤«ï «î¡®£®g ∈ G}.¢¥á®¢ë¬, ­¥­ã«¥¢ë¥¢¥á®¬.¢¥ªâ®àë ¨§Vχ­ §ë¢ îâáï¢ í⮬ á«ãç ¥ ­ §ë¢ ¥âáï{ ¬ ªá¨¬ «ì­ë© â®à ¢G, â® Hï¥âáï ª®¬¯ ªâ­®© ¡¥«¥¢®© £à㯯®©.

‘«¥¤®-¢ ⥫쭮, ¢á¥ ¥¥ ­¥¯à¨¢®¤¨¬ë¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï ®¤­®¬¥à­ë. ®í⮬㠥᫨ § ¤ ­® ª®­¥ç­®¬¥à­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥â®à®¬H,φ : G → GL(V )á¢ï§­®© ª®¬¯ ªâ­®© £àã¯¯ë ‹¨Gá ¬ ªá¨¬ «ì­ë¬â®V = ⊕sj=1 Vλj (H).Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 6.44. ‚¥á®¢®© ¢¥ªâ®àª ¦¤®£® í«¥¬¥­â g ∈ B+v ∈ Vj \ 0 ¤«ï H ­ §ë¢ ¥âáï áâ à訬,χg ∈ C, çâ® φ(g)v = χg v .¥á«¨ ¤«ï­ ©¤¥âáï â ª®¥ ç¨á«®‚ ç áâ­®áâ¨, áâ à訩 ¢¥á § ¤ ¥â £®¬®¬®à䨧¬χ : B + → C∗ .’¥®à¥¬ 6.45.

¥¯à¨¢®¤¨¬®¥ ª®­¥ç­®¬¥à­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ á¢ï§­®© ¯®«ã¯à®á⮩ «£¥¡à ¨ç¥áª®© £à㯯ë G ®¤­®§­ ç­®, á â®ç­®áâìî ¤® íª¢¨¢ «¥­â­®á⨠®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᢮¨¬ áâ à訬 ¢¥á®¬.G = SL(2, C).à¨¬¥à 6.46. ãáâì¯à®áâà ­á⢥Pn’®£¤ ¨¬¥¥âáï ¥áâ¥á⢥­­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥®¤­®à®¤­ëå ª®¬¯«¥ªá­ëå ¬­®£®ç«¥­®¢ ®â®à¥«¥¢áª ï ¯®¤£à㯯 á⥯¥­¨n,G¢¨¬¥­­®,a b◦ f (X, Y ) = f (aX + bY, cX + dY ).c dB+á®á⮨⠨§ ¢á¥å ¢¥àå­¥âà¥ã£®«ì­ëå ¬ âà¨æB=a b,0 d‘â à訩 ¢¥ªâ®à í⮣® ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï {‹¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ®X, Y−Ea, d ∈ C∗ ,Y n,â ª ª ªb ∈ C.B ◦ Y n = a−n Y n .¤¥©áâ¢ã¥â ¯à¨ í⮬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨ ⮦¤¥á⢥­­®, ¥á«¨‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯à¨ ç¥â­®¬n = 2knç¥â­®.¯®«ãç ¥âáï ­¥¯à¨¢®¤¨¬®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥SO(3, C) ' SL(2, C)/{±E}á⥯¥­¨2k + 1.à¨¬¥à 6.47. ãáâìPnª ª ¨ ¢ëè¥.‡ ¬¥â¨¬, çâ®SU(2, C)á®á⮨⠨§ ¢á¥å ¬ âà¨æ¢¨¤ a −b,b aa, b ∈ C,|a|2 + |b|2 = 1.SU(2, C) ¢ Pn ª ª ®£à ­¨ç¥­¨¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï SL(2, C) ¨§ ¯à¨SU(2, C).

®«ãç ¥âáï ­¥¯à¨¢®¤¨¬®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ SU(2, C) ᮎ¯à¥¤¥«¨¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥¬¥à 6.46 ­ ¯®¤£à㯯ãáâ à訬 ¢¥ªâ®à®¬X n.„¥©á⢨⥫쭮,B + = SU(2, C) ∩ T (2, C) =a 0|a ∈ C,0 a|a| = 1 ,¨ ¯®í⮬ãà¨ ç¥â­®¬2k + 1.a 0◦ X n = an X n .0 an = 2k ¯®«ãç ¥âáï ­¥¯à¨¢®¤¨¬®¥ ª®¬¯«¥ªá­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ SO(3, R) á⥯¥­¨566. ‹ˆ…‰… ƒ ˆ ˆÅ €‹ƒ… ‹ˆà¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ¨§ ¯à¨¬¥à 6.47 ¬®¦­® ®¯¨á âì ¯®-¤à㣮¬ã.

ãáâì¢á¥å ®¤­®à®¤­ëå ª®¬¯«¥ªá­ëå ¬­®£®ç«¥­®¢fá⥯¥­¨n,Hn{ ¯à®áâà ­á⢮㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ¤¨ää¥à¥­æ¨- «ì­®¬ã ãà ¢­¥­¨î∆f = 0,∆=SO(3, R) ¨­¤ãæ¨à®¢ ­® ¥áâ¥á⢥­­ë¬ ¤¥©á⢨¥¬ ­ ª®®à¤¨­ â å âà¥å¬¥à­ëå ¢¥ª2n + 1 ­ ¤ R, ¨ ®­® íª¢¨¢ «¥­â­® ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨î’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®«ãç îâáï ¢á¥ ­¥¯à¨¢®¤¨¬ë¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï SO(3, R).„¥©á⢨¥â®à®¢. â® ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ¨¬¥¥â á⥯¥­ì¢Pn .∂2∂2∂2+ 2 + 2.2∂x∂y∂z.

Характеристики

Список файлов лекций