В.А. Артамонов - Лекции по алгебре, 3 семестр, мех-мат МГУ (1106002), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

. , r.(26)∂xpqp,qŽ¯à¥¤¥«¥­¨¥ 6.3. …᫨G,⮪ á ⥫ì­ë¬ ¯à®áâà ­á⢮¬á®áâ®ï饥 ¨§ ¢á¥å áᬮâਬ ¯à®áâà ­á⢮à¨¬¥à 6.4. …᫨TE¤«ï à §«¨ç­ëå «¨­¥©­ëå £à㯯.G = SL(n, F ),â®G§ ¤ ¥âáï ®¤­¨¬ ãà ¢­¥­¨¥¬f = det X − 1 = 0.Žâáî¤ TE§ ¤ ¥âáï ®¤­¨¬ ãà ¢­¥­¨¥¬Pn∂( i=1 Aiq xiq )∂(det X)∂f=== Apq .∂xpq∂xpq∂xpq’ ª¨¬ ®¡à §®¬,∂f= δpq ,∂xpq®âªã¤ X ∂fXXδpq dxpq =dxpp = tr(dX),dxpq =∂xpqp.qp,qpâ. ¥.TE§ ¤ ¥âáï ãà ¢­¥­¨¥¬tr(dX) = 0.G = O(n, R), â® G § ¤ ¥âáï ®¤­¨¬i, j = 1, . .

. , nnXxti xtj − δij = 0.à¨¬¥à 6.5. …᫨®§­ ç ¥â, çâ® ¤«ït=147ãà ¢­¥­¨¥¬tX · X = E.â®486. ‹ˆ…‰… ƒ ˆ ˆÅ €‹ƒ… ‹ˆ’ ª¨¬ ®¡à §®¬,Pn∂xti∂ Pn∂xtj( t=1 xti xtj − δij ) = t=1xtj + xti=∂xrs∂xrs∂xrsPnt=1 (δtr δis xtj + xti δtr δjs ).ˆâ ª,nX∂∂xrsŽâáî¤ ¢ë⥪ ¥â, çâ®!xti xtj − δijnX|E =t=1TE(δtr δis δtj + δti δtr δjs ).t=1§ ¤ ¥âáï ãà ¢­¥­¨ï¬¨nX0=(δtr δis δtj + δti δtr δjs )dxrs = dxji + dxij .t,s,r=1‘«¥¤®¢ ⥫쭮,TEá®á⮨⠨§ ¢á¥å ª®á®á¨¬¬¥âà¨ç¥áª¨å ¬ âà¨æ‡ 䨪á¨à㥬 í«¥¬¥­âg«¨­¥©­®© £à㯯ëG.Rg : G → G,dX = (dxij ).Žâ®¡à ¦¥­¨¥ ¯à ¢®£® ᤢ¨£ x 7→ xg,ï¥âáï ¤¨ää¥à¥­æ¨àã¥¬ë¬ ®â®¡à ¦¥­¨¥¬, ¯®áª®«ìªã 㬭®¦¥­¨¥ ¬ âà¨æ § ¤ ¥âáï «¨­¥©­ë¬¨ äã­ªæ¨ï¬¨ ®â ª®íää¨æ¨¥­â®¢ ¬ âà¨æëí⮣® ®â®¡à ¦¥­¨ï ᮢ¯ ¤ ¥â á ¬ âà¨æ¥©g,dRg : Tx → Txg ,®Rg1 g2 = Rg1 R g2 .‘«¥¤®¢ ⥫쭮,dRgx ∈ G.®í⮬㠤¨ää¥à¥­æ¨ «dRg (dX) = (dX)g.(27)§ ¤ ¥â «¨­¥©­ë© ¨§®¬®à䨧¬TE¨Tg ,â. ¥.T g = TE g¤«ï «î¡®£®g ∈ G.dRgâ.

¥.(28)‚ ç áâ­®áâ¨, á¯à ¢¥¤«¨¢®à¥¤«®¦¥­¨¥ 6.6.dim TE = dim Tg ¤«ï «î¡®£® g ∈ G.G { «¨­¥©­ ï £à㯯 . ã⥬ ¨§ í«¥¬¥­â E ¢ í«¥¬¥­â g ∈ Gp : [0, 1] → G, çâ® p(0) = E, p(1) = g .‘¢ï§­®© ª®¬¯®­¥­â®© E ¢ G ­ §ë¢ ¥âáï ¬­®¦¥á⢮ ¢á¥å í«¥¬¥­â®¢ g ∈ G, ®¡« ¤ î騬¯ã⥬ ¨§ E ¢ g . ƒà㯯 G á¢ï§­ , ¥á«¨ GE = G.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 6.7. ãáâì­ §ë¢ ¥âáï â ª®¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥’¥®à¥¬ 6.8.¯®¤£à㯯®© ¢‘¢ï§­ ï ª®¬¯®­¥­â „®ª § ⥫ìá⢮. ãáâìGEx(t), y(t) : [0, 1] → G,’®£¤ GE ¥¤¨­¨ç­®£® í«¥¬¥­â E ï¥âáï ­®à¬ «ì­®©G.x(t)y(t){ á¢ï§­ ï ª®¬¯®­¥­â x(0) = y(0) = E,{ ¤¨ää¥à¥­æ¨àã¥¬ë© ¯ãâì ¨§E¢gh.E,¨g, h ∈ GEx(1) = g,á ¯ãâﬨy(1) = h.Šà®¬¥ ⮣®, ¯®«ãç ¥¬ ¤¨ää¥à¥­æ¨-஢ ­­ë¥ ¯ãâ¨x(t)−1Zx(t)Z −1E −−−−→ X −1 ,E −−−−−−→ ZXZ −1 .’ ª ª ª ¨¬¥¥âáï «®ª «ì­ ï ¡¨¥ªæ¨ïG¨TE¢ ®ªà¥áâ­®áâ¨E,â®TE (GE ) = TE (G).“¯à ¦­¥­¨¥ 6.9.

„®ª § âì, çâ®(1)(2)GE ¨¬¥¥â ª®­¥ç­ë© ¨­¤¥ªá ¢ G;O(n, R) ­¥ á¢ï§­®, SO(n, R) á¢ï§­®.“¯à ¦­¥­¨¥ 6.10. ã¤¥â «¨ £à㯯 á¢ï§­ ?ãáâì x : [0, 1] → G { ¤¨ää¥à¥­æ¨àã¥¬ë© ¯ãâì ¢ £à㯯¥ G.∈ [0, 1] ¨ g = x(t0 ) ∈ G, â® x0 (t0 ) ∈ Tg (G).à¥¤«®¦¥­¨¥ 6.11.…᫨ t0SL(n, R)1. Š€€…‹… Ž€‚€49G § ¤ ¥âáï á¨á⥬®© «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢­¥­¨© (25), ¨ x(t) =t ∈ [0, 1]„®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì(xij (t)).’®£¤ ¤«ï «î¡®£®fs (xij (t)) = 0,i = 1, . . . , N.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¨á¯®«ì§ãï ¯à ¢¨«® ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨ï á«®¦­®© ä㭪樨, ¤«ï «î¡®£®s = 1, . .

. , N¯®«ãç ¥¬∂fs(g)x0pq (t0 ) = 0.∂xpqŽâáî¤ ¢ ᨫ㠮¯à¥¤¥«¥­¨ï 6.3 ¯®«ãç ¥¬ âॡ㥬®¥ ã⢥ত¥­¨¥.’¥®à¥¬ 6.12.ãáâì £à㯯 „®ª § ⥫ìá⢮. ãáâìG á¢ï§­ . ’®£¤ G ®¯à¥¤¥«ï¥âáï TE .X∈G¨x(t){ ¯ãâì ¨§E¢X.’®£¤ 0x(t) ∈ Tx(t) = TE x(t)¤«ï ¢á¥åt ∈ [0, 1]¢ ᨫã (28). ˆâ ª,x(t)0 = A(t)x(t),A(t) ∈ TE¤«ï ¢á¥åt ∈ [0, 1].(29)A ∈ TE , â® à áᬮâਬ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®¥ ãà ¢­¥­¨¥ (29), £¤¥ A(t) = A áx(0) = E . Ž­® ¨¬¥¥â ¨ ¯à¨â®¬ ¥¤¨­á⢥­­®¥ à¥è¥­¨¥.‚롥६ ¢ ¢¥ªâ®à­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ Mat(n, F ) â ªãî ­®¢ãî á¨á⥬㠪®®à¤¨­ â yj , j =1, . . .

, n2 , çâ® TE § ¤ ¥âáï á¨á⥬®© ãà ¢­¥­¨© yi = 0, £¤¥ i ¯à®¡¥£ ¥â ¯¥à¢ë¥ d ¨­¤¥ªá®¢.’®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â «®ª «ì­ ï ¡¨¥ªæ¨ï TE ¨ G. ®í⮬ã à¥è¥­¨¥ (29) «¥¦¨â ¢ G.® íâ® à¥è¥­¨¥ ¥áâì exp At. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, exp : TE → G ï¥âáï «®ª «ì­®© ¡¨¥ª−1樥© ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠U â®çª¨ E . ’ ª ª ª ®â®¡à ¦¥­¨¥ x 7→ x­¥¯à¥à뢭® ¤¨ää¥à¥­æ¨−1à㥬®, â® ¬®¦­® áç¨â âì, çâ® U⊆ U .

Ž¡®§­ 稬 ç¥à¥§ H ¬­®¦¥á⢮ ¢á¥å ¯à®¨§¢¥¤¥­¨©í«¥¬¥­â®¢ ¨§ U . …᫨ x ∈ H , â® xU ⊆ H ï¥âáï ®âªàëâë¬ ¯®¤¬­®¦¥á⢮¬ ¢ G.ãáâì G \ H ­¥¯ãáâ® ¨ z ∈ G \ H . …᫨ zU ∩ H ­¥¯ãáâ®, â® zu = u1 · · · ut , £¤¥ u, uj ∈ U .−1Žâáî¤ z = u1 · · · ut u∈ H , â ª ª ª u−1 ∈ U . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, zU ∩ H ¯ãáâ®. ˆâ ª, Gï¥âáï ®¡ê¥¤¨­¥­¨¥¬ ¤¢ãå ­¥¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ®âªàëâëå ¯®¤¬­®¦¥á⢠G = H ∪ (G \ H).ãáâì g ∈ G \ H ¨ x : [0, 1] → G, £¤¥ x(o) = E,x(1) = g . ’®£¤ ®â१®ª [0, 1] ï¥âáï−1®¡ê¥¤¨­¥­¨¥¬ ¤¢ãå ­¥¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ®âªàëâëå ­¥¯ãáâëå ¯®¤¬­®¦¥á⢠x(H), x−1 (G\H), çâ® ­¥¢®§¬®¦­®.Ž¡à â­®, ¥á«¨­ ç «ì­ë¬ ãá«®¢¨¥¬à¨¬¥àë 6.13.

 áᬮâਬ íªá¯®­¥­æ¨ «ì­®¥ ¤«ï àï¤ £à㯯 ¨å ¯®à®¦¤ îé¨å í«¥¬¥­â®¢.(1) ãáâìG = SL(n, C).Eij ,’®£¤ TE = sl(n, C).1 ≤ i 6= j ≤ n, §¨áEii − Ejj ,sl(n, C)á®áâ ¢«ïîâ ¬ âà¨æë1 ≤ i < j ≤ n.à¨ ⮬exp(Eij ) = E + Eij ,ii 6= j,jexp(Eii − Ejj ) = diag(1, . . . , 1, e, 1, . . . , 1, e, 1 . . . , 1).G = O(2, R), TE = o(2, R). ’®£¤ "#−1 1 1 i1 1 iiα00 α√== exp √exp0 −iα−α 02 i 12 i 1−1 1 1 i1 1 iexp(iα)0cos α − sin α√√=0exp(−iα)sin α cos α2 i 12 i 1(2) ãáâì506. ‹ˆ…‰… ƒ ˆ ˆÅ €‹ƒ… ‹ˆ2. ‘âàãªâãà «£¥¡àë ‹¨ ­ ’¥®à¥¬ 6.14.ãáâìTEG { «¨­¥©­ ï £à㯯 , ¨ A, B ∈ TE . ’®£¤ [A, B] ∈ TE .„®ª § ⥫ìá⢮.

Š ª ¨ ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ⥮६ë 6.12¢á¥åt ∈ F.exp(At), exp(Bt) ∈ G¤«ï‘«¥¤®¢ ⥫쭮,√√[exp(A t), exp(B t)] ∈ G‚ëç¨á«¨¬ ª á ⥫ì­ë© ¢¥ªâ®à ª (30) ¢ â®çª¥¤«ï ¢á¥åE.t ∈ F.(30)ˆ¬¥¥¬√√A2 texp(A t) = E + A t ++ o(t);2√√B2texp(B t) = E + B t ++ o(t);2√√√A2 texp(A t)−1 = exp(−A t) = E − A t ++ o(t);2√√√B2texp(B t)−1 = exp(−B t) = E − B t ++ o(t);2’ ª¨¬ ®¡à §®¬,√√√√√√[exp(A t), exp(B t)] = exp(A t) exp(B t) exp(A t)−1 exp(B t)−1 =√E + (A + B − A − B) t + 2AB2A2B222++++ AB − A − AB − BA − B + AB t + o(t) =2222E + (AB − BA)t + o(t).Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 6.15. ãáâìG1 ⊆ GL(n1 , F ),{ «¨­¥©­ë¥ £à㯯ë. ƒ®¬®¬®à䨧¬ £à㯯£à㯯,G2 ⊆ GL(n2 , F ),f : G1 → G2­ §ë¢ ¥âá¬®¬®à䨧¬ «¨­¥©­ëå¥á«¨ áãé¥áâ¢ãîâ â ª¨¥ ¬­®£®ç«¥­ëfij (Xrs ) ∈ F [Xrs |1 ≤ r, s ≤ n1 ],çâ® ¤«ï «î¡®£®g = (grs ) ∈ G1 (i, j)-ë©1 ≤ i, j ≤ n2 ,ª®íää¨æ¨¥­âë ¬ âà¨æëf (g)à ¢¥­fij (grs ).’¥®à¥¬ 6.16.

…᫨ f : G1 → G2 { £®¬®¬®à䨧¬ «¨­¥©­ëå £à㯯, â® df |E : TE (G1 ) →TE (G2 ) ï¥âáï £®¬®¬®à䨧¬®¬ «£¥¡à ‹¨.A ∈ TE (G1 ). ’®£¤ df |E (A) = JE (f )A, £¤¥ JE (f ) { §­ 祭¨¥f ¢ â®çª¥ E . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ®â®¡à ¦¥­¨¥ df |E «¨­¥©­®. Šà®¬¥f (exp(At)) = exp(df |E (A)t) ¤«ï «î¡®£® t ∈ F . Žâáî¤ √√√√f ([exp(A t), exp(B t)]) = [f (exp(A t)), f (exp(B t))] =√√[exp(df |E (A t)), exp(df |E (B t))].(31)„®ª § ⥫ìá⢮.

ãáâ쟪®¡¨ ­ ®â®¡à ¦¥­¨ï⮣®,„¨ää¥à¥­æ¨àãï à ¢¥­á⢮ (31) ¯®t¨ ¯®« £ ït = 0¯®«ãç ¥¬ ª ª ¨ ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥⥮६ë 6.14df |E ([A, B]) = [df |E (A), df |E (B)].‘«¥¤á⢨¥ 6.17. ãáâì f : G1 → G2 { £®¬®¬®à䨧¬ «¨­¥©­ëå £à㯯, ¯à¨ç¥¬ £à㯯 G1 á¢ï§­ . ’®£¤ df |E ®¤­®§­ ç­® ®¯à¥¤¥«ï¥â f .TE2. ‘Š€ €‹ƒ… ‹ˆ €51’¥®à¥¬ 6.18. ãáâì A { ª®­¥ç­®¬¥à­ ï, ­¥ ®¡ï§ ⥫쭮 áá®æ¨ ⨢­ ï F - «£¥¡à ,G { £à㯯 ¥¥ ¢â®¬®à䨧¬®¢, ¨ Der A { «£¥¡à ‹¨ ¥¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨©. ’®£¤ £à㯯 G «¨­¥©­ ¨ TE = Der A { ¥¥ «£¥¡à ‹¨.„®ª § ⥫ìá⢮. ãáâìe = (e1 , .

. . , en ) { ¯à®¨§¢®«ì­ë© ¡ §¨á ¢ A.’®£¤ ¤«ï «î¡ëåi, j = 1, . . . , nnXei ej =ckij ek ,ckij ∈ F.(32)i,j,k=1…᫨α∈Ge¨¬¥¥â ¢ ¡ §¨á¥¬ âà¨æã(aij ),αei =â®nXek akik=1‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï ¢á¥åi, jPα(ei )α(ej ) = t,s es asi et atj =PPkt,s es et asi atj =t,s,k cst asi atj ek .(33)‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë,α(ei ej ) =Xckij α(ek ) =k®í⮬㠪®íää¨æ¨¥­âëaij¬ âà¨æëXα¨ ¯®â®¬ã £à㯯 G ⊆ GL(n, F )ckij el alk .k,l㤮¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢­¥­¨ï¬¨ckij el alk =k,lXXckst asi atj ,t,s,k«¨­¥©­ . ©¤¥¬ ¥¥ «£¥¡à㠋¨.

«¥¬¥­âD ∈ TE ⇐⇒ exp(Dt) ∈ G = Aut Aâ® ®§­ ç ¥â, çâ® ¤«ï ¢á¥å¤«ï ¢á¥åt ∈ F.a, b ∈ Aexp(Dt)(ab) = exp(Dt)(a) exp(Dt)(b).’ ª¨¬ ®¡à §®¬,Dt D2 t2++ · · · )(ab) =1!2!Dt D2 t2Dt D2 t2(E +++ · · · )(a)(E +++ · · · )(b).1!2!1!2!(E +„¨ää¥à¥­æ¨àãï à ¢¥­á⢮ (34) ¯®t¨ ¯®« £ ït = 0,¯®«ãç ¥¬D(ab) = D(a)b + aD(b).ˆâ ª,TE ⊆ Der A.(34)526. ‹ˆ…‰… ƒ ˆ ˆÅ €‹ƒ… ‹ˆŽ¡à â­®, ¯ãáâìD ∈ Der A.’®£¤ Dt ∈ Der A¤«ï ¢á¥åt ∈ F.Žâáî¤ ¯® ä®à¬ã«¥‹¥©¡­¨æ exp(Dt)(ab) = (E +Dt D2 t2++ · · · )(ab) =1!2!1(D2 (a)b + 2D(a)d(b) + aD2 (btn ))t2 + · · ·2! 1 Pnn+ ( i=0Di (a)Dn−i (b)) + · · ·n!iD2 (a)t2D2 (b)t2(a + D(a)t ++ · · · )(b + D(b)t ++ ···) =2!2!exp(Dt)(a) exp(Dt)(b).ab + (D(a)b + aD(b))t +ˆâ ª,exp(Dt) ∈ G. áᬮâਬ ¯®¤à®¡­¥¥ ᢮©á⢠á¢ï§­ëå ¨ ­¥á¢ï§­ëå £à㯯 ‹¨.’¥®à¥¬ 6.19.ƒà㯯ëSL(n, C),á¢ï§­ë. ƒà㯯ëGL(n, C),SO(n, R),U(n, C),SU(n, C)GL(n, R), O(n, R) ­¥á¢ï§­ë.’¥®à¥¬ 6.20.‹î¡ ï ª®¬¯ ªâ­ ï ª®¬¯«¥ªá­ ï £à㯯 ‹¨ ¨§®¬®àä­ ¡¥«¥¢®©Cn /Γ, £¤¥ Γ { ¤¨áªà¥â­ ï ¯®¤£à㯯 à ­£ 2n ¢ Cn .£à㯯¥Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 6.21.

ƒ®¬®¬®à䨧¬ £à㯯 ‹¨f : G → H­ §ë¢ ¥âáï­ ªàë¢ î騬,¥á«¨ ¢ë¯®«­¥­® ®¤­® ¨§ íª¢¨¢ «¥­â­ëå ãá«®¢¨©:ker f ¤¨áªà¥â­ ;df : T1 (G) → T2 (G) ï¥âáï ¨§®¬®à䨧¬®¬ ¢¥ªâ®à­ëåf ¨­¤ãæ¨àã¥â ¤¨ä䥮¬®à䨧¬ ®ªà¥áâ­®á⥩ x ¨ f (x).(1) ¯®¤£à㯯 (2)(3)à¨¬¥à 6.22. ƒ®¬®¬®à䨧¬’¥®à¥¬ 6.23.ï¤à®¬¯à®áâà ­áâ¢;f : R → U(1, C), f (x) = exp(2πi).‘ãé¥áâ¢ã¥â ­ ªàë¢ î騩 £®¬®¬®à䨧¬ï¢«ï¥âáï ­ ªàë⨥¬.f : SL(2, C) → SO(3, C) áker f = ±1. à¨ í⮬ f (SU(2, C)) = SO(3, R).L = sl(2, C) { ¬­®¦¥á⢮ ¬ âà¨æa csl(2, C) = {|a, b, c ∈ C}.b −a„®ª § ⥫ìá⢮.

ãáâì áᬮâਬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥Ad£à㯯ëG = SL(2, C)(Ad g)(x) = gxg‡ ¬¥â¨¬, ç⮢−1Lá® á«¥¤®¬ ­ã«ì, â. ¥.¯® ¯à ¢¨«ã.Ad á®åà ­ï¥â ¡¨«¨­¥©­ãî äã­ªæ¨î22 a c = −a2 − bc = (ia)2 + i(b√− c) + i(b√+ c) . b −a22Ad g ∈ SO(3, C).ker Ad = ±1. à¨ í⮬ Im Ad = SO(3, C).‘«¥¤®¢ ⥫쭮,Ÿá­®, çâ®n ≥ 2. Pˆ¬¥­­®, ¯ãáâì Cn { «£¥¡à n(x, y) = j=1 xj yj ­ n-¬¥à­®¬ ¯à®á⒮£¤ ¡ §¨á Cn á®áâ ¢«ïîâ ®¤­®ç«¥­ëâ ª®­áâàãªæ¨ï ®¡®¡é ¥âáï ­ ¯à®¨§¢®«ì­®¥Š«¨ää®à¤ ®â áâ ­¤ àâ­®© ¡¨«¨­¥©­®© äã­ªæ¨¨à ­á⢥Cná® áâà ­¤ àâ­ë¬ ¡ §¨á®¬ei1 · · · eim ,e1 , . .

. , en .1 ≤ i1 < . . . < im ≤ n,¯à¨ç¥¬ek ej = −ej ek ,¯à¨1 ≤ k 6= j ≤ n,e2j = 1.(35)2. ‘Š€ €‹ƒ… ‹ˆ €dim Cn = 2n ,®í⮬ãTE53¨Cn = Cn0 ⊕ Cn1 ,Cnk£¤¥ ¡ §¨áá®áâ ¢«ïîâ ®¤­®ç«¥­ë (35), ã ª®â®àëåm ≡ k mod 2.‚Cn¨¬¥¥âáï ¨­¢®«î-æ¨ï,®«®¦¨¬ãáâìei1 · · · eim = eim · · · ei1 .u ∈ Cn .N (u) = uu ¤«ï «î¡®£®Cn∗ { £à㯯 ®¡à ⨬ëåí«¥¬¥­â®¢ «£¥¡àëCn .—¥à¥§Spin(n, C)®¡®§­ 稬¯®¤£à㯯㠢á¥å â ª¨åu ∈ (Cn0 )∗ ,£¤¥Cnçâ®N (u) = 1¨uCn u−1 = Cn ,e1 . .

. , en .{ ª®¬¯«¥ªá­ ï «¨­¥©­ ï ®¡®«®çª ¢¥ªâ®à®¢Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 6.24. ƒà㯯 Spin(n, C)(36)­ §ë¢ ¥âá类¬¯«¥ªá­®© ᯨ­®à­®© £à㯯®©.‚ ᨫã (36) ¯®«ãç ¥âáï £®¬®¬®à䨧¬π : Spin(n, C) → SO(n, C).π áîàꥪ⨢¥­, ¨ £à㯯 Spin(n, C) á¢ï§­ , ker π = ±1.Spin(n, C) ®¡®§­ 稬 ç¥à¥§ Qn−1 ¢á¥ â ª¨¥ y ∈ Cn , çâ® y =∗á«ãç ¥ y ∈ Cn , ¨ Spin(n, C) á®á⮨⠨§ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï ç¥â­®£®Œ®¦­® ¯®ª § âì, çâ® £®¬®¬®à䨧¬„«ï ®¯¨á ­¨ï í«¥¬¥­â®¢yj2 = 1. ‚ í⮬n−1.ç¨á« í«¥¬¥­â®¢ Qãáâì n = 2l + 1 { ­¥ç¥â­®.Pyj ej¨P’®£¤ «£¥¡à Cn0 ' Mat(2l , C).‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ ­¥© ¨¬¥¥âáï ¯à®á⮩ «¥¢ë© ¨¤¥ «Ià §¬¥à­®áâ¨2l .’¥¬ á ¬ë¬ ¢®§­¨ª ¥âSpin(2l + 1, C), ­ §ë¢ ¥âáï ᯨ­®à­ë¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥¬.…᫨ n = 2l , â® «£¥¡à Cn ¯à®áâ , ¨ ¯®í⮬㠨¬¥¥âáï ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ Spin(2l, C) ¢l¯à®á⮬ «¥¢®¬ ¨¤¥ «¥ J à §¬¥à­®á⨠2 . ‘­®¢ ¢®§­¨ª ¥â ᯨ­®à­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥, ­®­¥¯à¨¢®¤¨¬®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥®­® ¯à¨¢®¤¨¬® ¨ à §« £ ¥âáï ¢ ¯àï¬ãî á㬬㠤¢ãå ¯®¤¯à¥¤áâ ¢«¥­¨©J = (J ∩ Cn0 ) ⊕ (J ∩ Cn1 ).Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 6.25. ƒà㯯 ‹¨G ®¤­®á¢ï§­ ,¥á«¨ ¢G«î¡®© ¯ãâì áâ¢ ¥âáï ¢â®çªã.‹î¡ ï á¢ï§­ ï £à㯯 ‹¨ G ¨¬¥¥â ¢¨¤ G ' G̃/N , £¤¥ G̃ { ®¤­®á¢ï§­ ïN { ¤¨áªà¥â­ë© 業âà «ì­ë© ­®à¬ «ì­ë© ¤¥«¨â¥«ì.

Характеристики

Список файлов лекций