В.А. Артамонов - Лекции по алгебре, 3 семестр, мех-мат МГУ (1106002), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

® «¥¬¬ ¬ 5.50, 5.49 j 2 ∈ C. ’®£¤ 2çâ® j= −1. ®«®¦¨¬ k = ij ∈ A−i . ’®£¤ ‡ ¢¥à訬 ¤®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë. ãáâìji = −ij . ® «¥¬¬¥ 5.50ki = −ik . Šà®¬¥ ⮣®,¬®¦­® áç¨â âì,k 2 = ijij = i(−ij)j = −i2 j 2 = −1,¨jk = j(ij) = (ji)j = −ij 2 = i,kj = (ij)j = ij 2 = −i.ˆâ ª, ¢ ᨫã á«¥¤á⢨ï 5.52Ai = C = R1 + Ri,Žâáî¤ A−i = Cj = Rj + Rk.A ' H.3.

Žá­®¢ë ⥮ਨ ¯®«¥©Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 5.53.®¤¯®«ï.Š ª ¯®ª § ­® ¢ ⥮६¥ 5.17 ª ¦¤ë© ¨¤¥ « ¢ «£¥¡à¥ ¬­®£®ç«¥­®¢ï¢«ï¥âáï £« ¢­ë¬. ãáâìp{ ­¥¯à¨¢®¤¨¬ë© ¬­®£®ç«¥­ ¨§k[X].’®£¤ k[X] ­ ¤ ¯®«¥¬ kk[X]/(p) ï¥âáﯮ«¥¬.à¥¤«®¦¥­¨¥ 5.54. «¥¬¥­âŒ¨­¨¬ «ì­ë© í«¥¬¥­â ¤«ï z à ¢¥­x + (p) ∈ k[X] ï¥âáï ª®à­¥¬ p ¢ ¯®«¥ k[X]/(p).p.f ∈ k[X]. ®«¥ à §«®¦¥­¨ï f { íâ® â ª®¥ à áè¨à¥­¨¥F/k , çâ®(1) ¢ F ¬­®£®ç«¥­ f à §« £ ¥âáï ­ «¨­¥©­ë¥ ¬­®¦¨â¥«¨;(2) ¢ F ­¥â ¬¥­ì襣® ¯®¤¯®«ï, ᮤ¥à¦ 饣® k , ¢ ª®â®à®¬ ¡ë ¬­®£®ç«¥­ f à §« £ «á।¥«¥­¨¥ 5.55. ãáâ쯮«¥©­ «¨­¥©­ë¥ ¬­®¦¨â¥«¨.445.

€‹ƒ… ˆ Ž‹’¥®à¥¬ 5.56.®«¥ à §«®¦¥­¨ïF/k ¤«ï § ¤ ­­®£® ¬­®£®ç«¥­ f ∈ k[X]áãé¥áâ¢ã¥â.deg f .  §«®¦¨¬ f ¢ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ­¥¯à¨¢®p { ­¥¯à¨¢®¤¨¬ë© ¬­®¦¨â¥«ì f . ’®£¤ ¢ ¯®«¥ K = k[X]/(p)¬­®£®ç«¥­ p ¨¬¥¥â ª®à¥­ì z = X + (p). ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ ª®«ìæ¥ K[X] ¬­®£®ç«¥­ f ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¢ ¢¨¤¥ f = g(X − z), £¤¥ g ∈ K[X] ¨¬¥¥â á⥯¥­ì deg f − 1. ® ¨­¤ãªæ¨¨ ¤«ï gáãé¥áâ¢ã¥â ¯®«¥ à §«®¦¥­¨ï F/K . Žáâ ¥âáï § ¬¥â¨âì, çâ® F/k { ¯®«¥ à §«®¦¥­¨ï ¤«ïf.„®ª § ⥫ìá⢮. ˆ­¤ãªæ¨ï ¯® á⥯¥­¨¤¨¬ëå ¬­®£®ç«¥­®¢, ¨ ¯ãáâ쒥®à¥¬ 5.57. ãáâì F1 /k ¨ F2 /k { ¤¢ ¯®«ï ¤«ï § ¤ ­­®£® ¬­®£®ç«¥­ f ∈’®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© ¨§®¬®à䨧¬ ¯®«¥© φ : F1 → F2 , çâ® φ(x) = x ¤«ï ¢á¥å x ∈¥. φ ï¥âáï ¨§®¬®à䨧¬®¬ k - «£¥¡à.k[X].k , â.deg f .  §«®¦¨¬ f ¢ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ­¥¯à¨¢®p { ­¥¯à¨¢®¤¨¬ë© ¬­®¦¨â¥«ì f .

ãáâì zi ∈ Fi { ª®à¥­ì p. ®¯à¥¤«®¦¥­¨ï¬ 5.54, 5.45 áãé¥áâ¢ã¥â ¨§®¬®à䨧¬ ¯®«¥© ψ : k[z1 ] → k[z2 ], ⮦¤¥á⢥­­ë©­ k . ¥§ ®£à ­¨ç¥­¨ï ®¡é­®á⨠¬®¦­® áç¨â âì, çâ® ψ ⮦¤¥á⢥­­®, ¨ z1 = z2 . ¥âà㤭®f{ ¬­®£®ç«¥­ á ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨ ¨§¢¨¤¥âì, çâ® Fi ï¥âáï ¯®«¥¬ à §«®¦¥­¨ï ¤«ïX − z1k[zi ], i = 1, 2. ® ¨­¤ãªæ¨¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¨§®¬®à䨧¬ F1 → F2 , ⮦¤¥á⢥­­ë© ­ k[zi ]. „®ª § ⥫ìá⢮. ˆ­¤ãªæ¨ï ¯® á⥯¥­¨¤¨¬ëå ¬­®£®ç«¥­®¢, ¨ ¯ãáâ쎯।¥«¥­¨¥ 5.58.• à ªâ¥à¨á⨪ ¯®«ïk { íâ® ¯®à冷ª ¥¤¨­¨æë ¢ ¥£® ¤¤¨â¨¢­®©£à㯯¥, ¥á«¨ ®­ ®â«¨ç¥­ ®â ­ã«ï.

‚ ¯à®â¨¢­®¬ á«ãç ¥ å à ªâ¥à¨á⨪ ¯®«ï ­ã«¥¢ ï.…᫨ å à ªâ¥à¨á⨪ ¯®«ï k à ¢­ p > 0, â® k ᮤ¥à¦¨â ¯®«¥Z/pZ. …᫨ char k = 0, â® k ᮤ¥à¦¨â ¯®«¥ à 樮­ «ì­ëå ç¨á¥« Q.à¥¤«®¦¥­¨¥ 5.59.¢ëç¥â®¢4. Š®­¥ç­ë¥ ¯®«ïà¥¤«®¦¥­¨¥ 5.60.ãáâìk { ª®­¥ç­®¥ ¯®«¥. ’®£¤ char k = p > 0, ¨ |k| = pn .à¥¤«®¦¥­¨¥ 5.61.ãáâìk { ¯®«¥ ¨ |k| = q . ’®£¤ xq = x ¤«ï ¢á¥å x ∈ k .à¥¤«®¦¥­¨¥ 5.62.ãáâìk { ¯®«¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ p > 0. …᫨ x, y ∈ k , â®(x + y)p = xp + y p .à¥¤«®¦¥­¨¥ 5.63. ãáâì F { ¯®«¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ p > 0, ¢ ª®â®à®¬ ¬­®£®ç«¥­f = X q − X à §« £ ¥âáï ­ «¨­¥©­ë¥ ¬­®¦¨â¥«¨, £¤¥ q { á⥯¥­ì p. ’®£¤ ¬­®¦¥á⢮¢á¥å ª®à­¥© ¬­®£®ç«¥­ f ï¥âáï ¯®¤¯®«¥¬ ¢ F , ᮤ¥à¦ 騬 Zp . ‚ ç áâ­®áâ¨, ¥á«¨F { ¯®«¥ à §«®¦¥­¨ï f ∈ Zp [T ], â® F ᮢ¯ ¤ ¥â á ¬­®¦¥á⢮¬ ¢á¥å ª®à­¥© f .nq„®ª § ⥫ìá⢮.

ãáâì x, y { ª®à­¨ f , ¨ q = p , â® ¯® ¯à¥¤«®¦¥­¨î 5.62 (x + y) =xq + y q = x + y , â. ¥. x + y ï¥âáï ª®à­¥¬ f . €­ «®£¨ç­®, xy, x−1 , −x ïîâáï ª®à­ï¬¨f . Šà®¬¥ ⮣®, ¯® ¯à¥¤«®¦¥­¨î 5.61 í«¥¬¥­âë ¨§ Zp ïîâáï ª®à­ï¬¨ f .’¥®à¥¬ 5.64.¢¥­­®¥ ¯®«¥ ¯®à浪 ãáâì q { á⥯¥­ì ¯à®á⮣® ç¨á« p. ’®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¥¤¨­áâq . Ž­® ®¡®§­ ç ¥âáï Fq . ‚ ç áâ­®áâ¨, Z/pZ = Fp .k = Z/pZ { ¯®«¥ ¢ëç¥â®¢ å à ªâ¥à¨á⨪¨ p, ¨ f = T q − T ∈k[T ]. ãáâì F { ¯®«¥ à §«®¦¥­¨ï f . ® ¯à¥¤«®¦¥­¨î 5.63 F/Zp á®á⮨⠨§ ¢á¥å ª®à­¥©¬­®£®ç«¥­ f .

Žáâ ¥âáï ¯®ª § âì, çâ® ã f ­¥â ªà â­ëå ª®à­¥©.qsãáâì c ∈ F { ª®à¥­ì ªà â­®á⨠s > 1 ¬­®£®ç«¥­ f . ’®£¤ f = T − T = (T − c) g(T ),„®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì®âªã¤ f 0 = qT q−1 − 1 = −1 = s(T − c)s−1 g(T ) + (T − c)s g(T )0 = (T − c)s−1 h(T ),h(T ) ∈ F [T ],5. €‹ƒ… ‹ˆçâ® ­¥¢®§¬®¦­®. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮,ˆâ ª, ¯®«¥Fà §«®¦¥­¨ïf45|F | = q .{ ¨áª®¬®¥. …£® ¥¤¨­á⢥­­®áâì ¢ë⥪ ¥â ¨§ ⥮६ë 5.57.’¥®à¥¬ 5.65.k { ¯®«¥ ¨ G { ª®­¥ç­ ï ¯®¤£à㯯 ¢ k ∗ .

’®£¤ £à㯯 Gãáâì横«¨ç­ .„®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì£à㯯 ¢t{ ¯à®á⮩ ¤¥«¨â¥«ì ¯®à浪 ‹¥¬¬ 5.66.ƒà㯯 ¨Gt{ ᨫ®¢áª ït-¯®¤-Gt 横«¨ç­ .x { í«¥¬¥­âts− 1.ª®à­¥© X„®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì¤ ¥â á ¬­®¦¥á⢮¬ ¢á¥åGƒà㯯 Gt .GG.­ ¨¡®«ì襣® ¯®à浪 ts¢Gt .’®£¤ Gtᮢ¯ -à §« £ ¥âáï ¢ ¯àאַ¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ᢮¨å ᨫ®¢áª¨å 横«¨ç¥áª¨å ¯®¤£à㯯Žáâ ¥âáï ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ⥮६®© 1.118.p { ¯à®á⮥ ç¨á«®, ¨ q = pn . ’®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© ­¥¯à¨¢®¤¨¬ë© ¬­®£®ç«¥­ f ∈ Fp [X] á⥯¥­¨ n, çâ® Fq ' Fp [X]/(f ).’¥®à¥¬ 5.67.ãáâ섮ª § ⥫ìá⢮. ® ⥮६¥ 5.65 £à㯯 a.£¤¥‚ ç áâ­®áâ¨,fFp [a] = Fq .k∗横«¨ç­ á ¯®à®¦¤ î騬 í«¥¬¥­â®¬® ¯à¥¤«®¦¥­¨î 5.45 ¯®«ãç ¥¬, çâ®{ ­¥¯à¨¢®¤¨¬ë© ¬­®£®ç«¥­ ¨§Fp [X].Fq = k[a] ' Fp [X]/(f ),f à ¢­ n. ® ¯à¥¤«®¦¥­¨î 5.43 á⥯¥­ìƒà㯯 ¢â®¬®à䨧¬®¢ ¯®«ï Fq , £¤¥ q = pn ¨ p { å à ªâ¥à¨á⨪ ¯®«ïF1 , ï¥âáï 横«¨ç¥áª®© £à㯯®© ¯®à浪 n, ¯®à®¦¤¥­­®© í«¥¬¥­â®¬ φ, £¤¥ φ(x) = xp¤«ï ¢á¥å x ∈ Fq .’¥®à¥¬ 5.68.α ∈ Aut Fq .

’®£¤ α ®áâ ¢«ï¥â ­¥¯®¤¢¨¦­ë¬ í«¥¬¥­â 1,Zp . ãáâì Fq = Zp [X]/(g), £¤¥ g ∈ Zp [X] { ­¥¯à¨¢®¤¨¬ë©∗¬­®£®ç«¥­ á⥯¥­¨ n, ª®à­¥¬ ª®â®à®£® ï¥âáï í«¥¬¥­â a ∈ Fq , ¯®à®¦¤ î騩 ¬ã«ì⨯∗«¨ª ⨢­ãî £à㯯ã Fq . ’®£¤ g { ¬¨­¨¬ «ì­ë© ¬­®£®ç«¥­ ¤«ï a. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮,„®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì¨ ¯®â®¬ãα⮦¤¥á⢥­­® ­ 0 = α(g(a)) = g(α(a)),α(a) { á­®¢ ª®à¥­ì g(a). ® ç¨á«® ª®à­¥© g ¢ Fq ­¥ ¢ëè¥ á⥯¥­¨ g , â. ¥.

­¥n. ® α ®¤­®§­ ç­® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᢮¨¬ §­ 祭¨¥¬ ­ a. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®à冷ªAut Fq ­¥ ¡®«ìè¥ n. „«ï ¤®ª § ⥫ìáâ¢ â¥®à¥¬ë ¤®áâ â®ç­® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® ¯®à冷ª φà ¢¥­ n. ’®£¤ Aut Fq á®á⮨⠨§ á⥯¥­¥© φ.mmãáâì φ= 1, â, ¥. xp = x ¤«ï ¢á¥å x ∈ Fq . ’®£¤ ª ¦¤ë© í«¥¬¥­â Fq ï¥âáïmpª®à­¥© T− T , çâ® ­¥¢®§¬®¦­®.®âªã¤ ¡®«ìè¥5. €«£¥¡àë ‹¨Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 5.69.­¨¥¬[x, y],€«£¥¡à®© ‹¨L­ §ë¢ ¥âáï ­¥ áá®æ¨ ⨢­ ï «£¥¡à á 㬭®¦¥-㤮¢«¥â¢®àïîé ï ⮦¤¥á⢠¬[x, x] = [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = 0.à¨¬¥à 5.70.

€«£¥¡à A(−) , «£¥¡à R3 , [x, y] = x × y .“¯à ¦­¥­¨¥ 5.71. ‚ «£¥¡à¥ ‹¨ ¢ë¯®«­¥­® ⮦¤¥á⢮ ­â¨ª®¬¬ãâ ⨢­®áâ¨[x, y] = −[y, x].Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 5.72. ãáâì­ §ë¢ ¥âáïA¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨¥¬,{ ¯à®¨§¢®«ì­ ï «£¥¡à .¬­®¦¥á⢮ ¢á¥å ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨©D ­ ADer(A) ®¡®§­ ç ¥âá­¥©­®¥ ®¯¥à â®àD(xy) = D(x)y +xD(y). «£¥¡àë A.¥á«¨—¥à¥§465. €‹ƒ… ˆ Ž‹à¥¤«®¦¥­¨¥ 5.73.®¯¥à â®à®¢Der(A) ï¥âáï ¯®¤ «£¥¡à®© ‹¨ ¢ «£¥¡à¥ ‹¨ ¢á¥å «¨­¥©­ëåL(A)(−) ­ A.f { ¡¨«¨­¥©­ ï ᨬ¬¥âà¨ç­ ï ä®à¬ ­ n-¬¥à­®¬ ¯à®áâo(n, f ) { ®¡®§­ ç ¥âáï ¬­®¦¥á⢮ ¢á¥å ª®á®á¨¬¬¥âà¨ç­ëån®â­®á¨â¥«ì­® f «¨­¥©­ëå ®¯¥à â®à®¢ ¢ k . â. ¥.

¬­®¦¥á⢮ ¢á¥å â ª¨å «¨­¥©­ëå ®¯¥à â®n(−)஢ C ¢ k , çâ® f (Cx, y) = −f (x, Cy). „®ª § âì, çâ® o(n, f ) { ¯®¤ «£¥¡à ‹¨ ¢ Mat(n, k).“¯à ¦­¥­¨¥ 5.74. ãáâìà ­á⢥kn ,£¤¥k{ ¯®«¥. —¥à¥§fn-¬¥à­®¬ ª®¬su(n, f ) ®¡®§­ 稬 ¬­®¦¥á⢮ ¢á¥å ª®á®á¨¬¬¥âà¨ç­ëån®â­®á¨â¥«ì­® f «¨­¥©­ëå ®¯¥à â®à®¢ ¢ C , â. ¥. ¬­®¦¥á⢮ ¢á¥å â ª¨å «¨­¥©­ëå ®¯¥nà â®à®¢ A ¢ C , çâ® f (Ax, y) = −f (x, Ay).

„®ª § âì, çâ® su(n, f ) { ¯®¤ «£¥¡à ‹¨ ¢Mat(2n, R)(−) .“¯à ¦­¥­¨¥ 5.75. ãáâ쯫¥ªá­®¬ ¯à®áâà ­á⢥Cn .{ ¯®«ãâ®à «¨­¥©­ ï íନ⮢ ä®à¬ ­ —¥à¥§sl(n, k)Ž¡®§­ 祭¨¥ 5.76. —¥à¥§®¡®§­ ç ¥âáï ¬­®¦¥á⢮ ¢á¥å ¬ âà¨æ ¨§Mat(n, k)á® á«¥¤®¬ 0.“¯à ¦­¥­¨¥ 5.77.sl(n, k)à¥¤«®¦¥­¨¥ 5.78.ï¥âáï ¯®¤ «£¥¡à®© ‹¨ ¢ãáâìMat(n, k)(−) .k { ¯®«¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ 6= 2, ¨H = E11 − E22 ,X = E12 ,Y = E21 ∈ Mat(2, k).„®ª § âì, çâ®[X, Y ] = H,’¥®à¥¬ 5.79.€«£¥¡à [H, X] = 2X,[H, Y ] = −2Y.(23)sl(2, k) ¯à®áâ , ¥á«¨ char k 6= 2.„®ª § ⥫ìá⢮.

ãáâì0 6= I / sl(2, k),¨u = αX + βY + γH ∈ I \ 0.’®£¤ ¯® (23)[X, u] = β[X, Y ] + γ[X, H] = βH − 2γX ∈ I.(24)Šà®¬¥ ⮣®,[X, [X, u]] = β[H, X] = 2βX ∈ I.β 6= 0, â® X ∈ I , ¨ ⮣¤ I = sl(2, k) ¢ ᨫã (23).ãáâì β = 0. ® (24) ¯®«ãç ¥¬, çâ® [X, u] = −2γX ∈ I .¯®í⮬ã I = sl(2, k).ãáâì β = γ = 0, quadα 6= 0. ’®£¤ á­®¢ X ∈ I .…᫨’¥®à¥¬ 5.80.€«£¥¡à ‹¨®àâ®­®à¬¨à®¢ ­­ë© ¡ §¨á ¢Rγ 6= 0,â®X ∈ I,¨(R3 , ×) ¯à®áâ .„®ª § ⥫ìá⢮.

“¡¥¤¨¬áï á­ ç « , çâ®3…᫨(R3 , ×){ «£¥¡à ‹¨.ãáâìe1 , e2 , e3{. ’®£¤ ¬®¦­® áç¨â âì, çâ®[e1 , e2 ] = e3 ,[e2 , e3 ] = e1 ,[e3 , e1 ] = e2 .¥¯®á।á⢥­­ ï ¯à®¢¥àª ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ®[x, x] = J(e1 , e2 , e3 ) = [[e1 , e2 ], e3 ] + [[e2 , e3 ], e1 ] + [[e3 , e1 ], e2 ] = 0.J(x, y, z) ª®á®á¨¬¬¥âà¨ç¥­. Žâáî¤ ¢ë¢®¤¨âáï (R3 , ×) { «£¥¡à ‹¨.3ãáâì I { ­¥­ã«¥¢®© ¨¤¥ « ¢ (R , ×). Œ®¦­® áç¨â âì, çâ® e1 ∈ I .

’®£¤ I ᮤ¥à¦¨âe3 = [e1 , e2 ], e2 = [e3 , e1 ] ∈ I . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, I = (R3 , ×).Šà®¬¥ ⮣®, Ÿª®¡¨ ­ƒ‹€‚€ 6‹¨­¥©­ë¥ £àã¯¯ë ¨ ¨å «£¥¡àë ‹¨‚áî¤ã ¢ í⮩ à ¡®â¥ ¯®¤ª®¬¯«¥ªá­ëå ç¨á¥«F¯®­¨¬ ¥âáï «¨¡® ¯®«¥ ¢¥é¥á⢥­­ëå ç¨á¥«R,«¨¡® ¯®«¥C.1. Š á ⥫ì­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 6.1. ®¤£à㯯 ­¥©­®©,G¢ ¯®«­®© «¨­¥©­®© £à㯯¥GL(n, F )­ §ë¢ ¥âá﫨-¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â â ª ï ª®­¥ç­ ï á¨á⥬ ¬­®£®ç«¥­®¢fs (Xij ) ∈ F [Xij |1 ≤ i, j ≤ n],çâ® ¬ âà¨æ A = (aij )¯à¨­ ¤«¥¦¨âGs = 1, .

. . , N,⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ (25)fs (aij ) = 0¤«ï ¢á¥ås = 1, . . . , N .à¨¬¥àë 6.2. ®¤£à㯯ëO(n, R),SO(n, R),SL(n, F )«¨­¥©­ë.G «¨­¥©­ ï £à㯯 , § ¤ ­­ ï á¨á⥬®© ãà ¢­¥­¨© (25), ¨ g ∈Tg ª G ¢ â®çª¥ g ­ §ë¢ ¥âáï «¨­¥©­®¥ ¯à®áâà ­á⢮,¬ âà¨æ dX = (dxpq ) ∈ Mat(n, F ) á ãá«®¢¨¥¬X ∂fi(g)dxpq = 0, i = 1, . .

Характеристики

Список файлов лекций