В.А. Артамонов - Лекции по алгебре, 3 семестр, мех-мат МГУ (1106002), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

 áᬮâਬ ¬­®¦¥á⢮ X = {gP |g ∈ G} «¥¢ëå ᬥ¦­ëå ª« áᮢ G ¯® P .ƒà㯯 Γ ¤¥©áâ¢ã¥â ­ X «¥¢ë¬¨ ᤢ¨£ ¬¨, â. ¥. ¥á«¨ y ∈ Γ, â® y(gP ) = (yg)P . ®ká«¥¤á⢨î 1.58 ¯®à冷ª «î¡®© ®à¡¨âë | OrbgP | ¤¥«¨â |Γ| = p , k ≤ n. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¥á«¨n|G| = p m, £¤¥ (p, m) = 1, â®X|G| X=| OrbgP | =pki .m=|P |g(p, m) = 1, â® ¯®à冷ª ­¥ª®â®à®© ®à¡¨âë OrbgP à ¢¥­ 1, â. ¥. ΓgP = gP . Žâáî¤ g −1 Γg ⊆ P ¨ Γ ⊆ gP g −1 . ‡ ¬¥â¨¬, çâ® gP g −1 ' P ï¥âáï ᨫ®¢áª®© p-¯®¤£à㯯®©. ‚−1ç áâ­®áâ¨, ¥á«¨ Γ { ᨫ®¢áª ï p-¯®¤£à㯯 , â® Γ = gP g.’ ª ª ª’¥®à¥¬ 1.77 (’à¥âìï ⥮६ ‘¨«®¢ ). ãáâì Np { ç¨á«® ᨫ®¢áª¨å p-¯®¤£à㯯 ¢G.

’®£¤ Np ¤¥«¨â ¯®à冷ª £à㯯ë G ¨ Np ≡ 1 mod p.„®ª § ⥫ìá⢮. ãáâìᬮâਬ ¤¥©á⢨¥G­ SS®à¡¨âë, ¯à¨ç¥¬ ¯® á«¥¤á⢨î 1.58 ¯®à冷ª í⮩ ®à¡¨âë,¯ëp-¯®¤£à㯯 £à㯯ë G.  áS á®á⮨⠨§ ®¤­®©à ¢­ë© Np , ¤¥«¨â ¯®à冷ª £àã¯-{ ¬­®¦¥á⢮ ¢á¥å ᨫ®¢áª¨åᮯà殮­¨ï¬¨.

® ¢â®à®© ⥮६¥ ‘¨«®¢ G.ãáâìS = {P0 , . . . , Pr }. áᬮâਬ ¤¥©á⢨¥P0­ Sᮯà殮­¨ï¬¨. ’®£¤ ¢ ¥âáï ­ ­¥¯¥à¥á¥ª î騥áï ®à¡¨âë, ¤«¨­ ª ¦¤®© ¨§ ª®â®àëå à ¢­ á⥯¥­¨P0 , ¨ ¯®í⮬ã r = pe1 + · · · + pes .|S| = 1 + r ≡ 1 mod p.®à¡¨â ᮢ¯ ¤ ¥â á®âªã¤ …᫨ei > 0¤«ï ¢á¥åp.i > 0,Sà §¡¨-Ž¤­ ¨§â®r = lp,141. ŽŽ‚ …Žˆˆ ƒe1 = 0, â. ¥. ®à¡¨â P1gP1 g −1 = P1 ¤«ï ¢á¥å g ∈ P0 . ® ⮣¤ P0 P1ª ª P0 , â ª ¨ P1 , â.

¥. P0 = P0 P1 = P1 .à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ®, ­ ¯à¨¬¥à,®§­ ç ¥â, çâ®á®¤¥à¦ 饩⠪¦¥ ®¤­®í«¥¬¥­â­ .ï¥âáïâ®p-¯®¤£à㯯®©¢G,6. à®áâë¥ £à㯯뎯।¥«¥­¨¥ 1.78. ¥ ¡¥«¥¢ £à㯯 ­®à¬ «ì­ë¥ ¯®¤£à㯯뒥®à¥¬ 1.79.GG­ §ë¢ ¥âáï¯à®á⮩,¥á«¨ ¢ ­¥© ⮫쪮 ¤¢¥¨ 1.ƒà㯯 A5 ¯à®áâ .„®ª § ⥫ìá⢮.  ¬ ¯®âॡã¥âáï ­¥áª®«ìª® «¥¬¬.‹¥¬¬ 1.80.‡­ ª 横« „®ª § ⥫ìá⢮.(i1 , . .

. , ik ) ∈ Sn à ¢¥­ (−1)k−1 .(i1 , . . . , ik ) = (i1 , ik )(i1 , ik−1 ) · · · (i1 , i3 )(i1 , i2 ).0‹¥¬¬ 1.81. ãáâì σ ∈ An ¨ Orbσ , Orbσ { ª« ááë ᮯà殮­­ëå í«¥¬¥­â®¢0¨ An . ’®£¤ «¨¡® Orbσ = Orbσ , «¨¡®σ ¢ Sn| Orbσ |.2„®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì τ ∈ C(σ) \ An , £¤¥ C(σ) { 業âà «¨§ â®à σ ¢ Sn . …᫨γ ∈ C(σ) \ An , â® τ −1 γ ∈ C(σ) ∩ An . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬ à §¡¨¥­¨¥ C(σ) ­ ¤¢ | Orb0σ | =«¥¢ëå ᬥ¦­ëå ª« áá ¯® ¯®¤£à㯯¥C(σ) ∩ An .| Orbσ | =…᫨ ¦¥C(σ) = τ [C(σ) ∩ An ] ∪ [C(σ) ∩ An ]Žâáî¤ |C(σ)| = 2|C(σ) ∩ An |, ¨ ¯®í⮬ãC(σ) ⊆ An ,|Sn |n!|An |=== | Orb0σ |.|C(σ)|2|C(σ) ∩ An ||C(σ) ∩ An |C(σ) = C(σ) ∩ An ,â®| Orbσ | =®âªã¤ n!2|An ||Sn |=== 2| Orb0σ |.|C(σ)||C(σ) ∩ An ||C(σ) ∩ An |‹¥¬¬ 1.82.‚ᥠâன­ë¥ 横«ë ®¡à §ãîâ ®¤¨­ ª« áá ᮯà殮­­ëå í«¥¬¥­â®¢ ¢An , n ≥ 5.„®ª § ⥫ìá⢮.

 áᬮâਬ ª« áá ᮯà殮­­ëå ¢âன­®© 横«(i, j, k).…᫨l 6= m ∈/ {i, j, k},Aní«¥¬¥­â®¢, ᮤ¥à¦ 騩â®(k, l, m)(i, j, k)(k, l, m)−1 = (i, j, l).Žâáî¤ ¢ë⥪ ¥â ã⢥ত¥­¨¥ «¥¬¬ë.‡ ¢¥à訬 ¤®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë.¦¥­­ëå í«¥¬¥­â®¢ ¢A5 .‚ᥠâன­ë¥ 横«ë ®¡à §ãîâ ®¤¨­ ª« áá ᮯàï-â®â ª« áá ¨¬¥¥¬ ¯®à冷ª 55!5!2=2== 20,32!3!3!¯®áª®«ìªã(i, j, k), (j, i, k){ ¥¤¨­á⢥­­ë¥ 横«ë, ¯®áâ஥­­ë¥ ­ âà¥å í«¥¬¥­â åi, j, k .„ «¥¥(j, k, l)(i, j)(k, l)(j, k, l)−1 = (i, k)(j, l);(j, k, m)(i, j)(k, l)(j, k, m)−1 = (i, k)(j, m).‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢á¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï ¤¢®©­ëå 横«®¢3 × 5 = 15í«¥¬¥­â®¢ ¢A5 .{(i, j)(k, l)}®¡à §ãîâ ®¤¨­ ª« áá ¨§6. Ž… ƒ15(1, 2, 3, 4, 5) = π(1, 2, 3, 5, 4)π −1 , £¤¥ π ∈ Sn , â®π ¬®¦­® § ¬¥­¨âì ­ «î¡®© í«¥¬¥­â π(1, 2, 3, 5, 4)m , m ≥ 0. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¬®¦­® áç¨â âì, çâ® π(1) = 1.

’®£¤ ¯® ¯à¥¤«®¦¥­¨î 1.67 (1, 2, 3, 4, 5) = (1, π(2), π(3), π(5), π(4)),â.¥.π(2) = 2, π(3) = 3, π(5) = 4, π(4) = 5. ˆâ ª, π = (4, 5) ∈/ A5 . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬,(1, 2, 3, 4, 5), (1, 2, 3, 5, 4) «¥¦ â ¢ à §­ëå ª« áá å ᮯà殮­­ëå í«¥¬¥­â®¢ ¢ A5 . ® «¥¬¬¥ 1.81 ¨¬¥¥âáï ¤¢ ª« áá ᮯà殮­­ëå í«¥¬¥­â®¢, á®áâ®ïé¨å ¨§ 横«®¢ ¤«¨­ë 5 ¢ A5 . áᬮâਬ ª« áá{(1,2,3,4,5)}.…᫨Ž¡ ª« áá ᮤ¥à¦ â ¯® 1 5!4!24=== 122 522í«¥¬¥­â®¢.

„¥©á⢨⥫쭮, ¯à¨ ¯®¤áç¥â¥ ç¨á« 横«®¢ (i1 , . . . , i5 )« £ âì, çâ® i1 = 1. „«ï i2 , i3 , i4 , i5 ®áâ ¥âáï 4! ¢ ਠ­â®¢.¤«¨­ë 5 ¬®¦­® ¯à¥¤¯®-ˆâ ª, ¨¬¥¥¬ à §¡¨¥­¨¥ ­ ª« ááë ᮯà殮­­ëå í«¥¬¥­â®¢A5 = {1}1 + {(1, 2, 3)}20 + {(1, 2)(3, 4)}15 + {(1, 2, 3, 4, 5)}12 + {(1, 2, 3, 5, 4)}12 .ãáâìN / A5 .’®£¤ Nᮤ¥à¦¨â 楫¨ª®¬ ­¥ª®â®àë¥ ª« ááë ᮯà殮­­ëå í«¥¬¥­â®¢.®í⮬ã|N | = 1 + 20n2 + 15n3 + 12n4 + 12n5 ,¨|N |¤¥«¨â60 = |A5 |.£¤¥…¤¨­á⢥­­ë¥ ¢ ਠ­âë: «¨¡® ¢á¥ni = 0, 1,ni = 0,«¨¡® ¢á¥ni = 1.ˆ§«®¦¨¬ ¤à㣮¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¡®«¥¥ ®¡é¥© ⥮६ë.’¥®à¥¬ 1.83.ƒà㯯ëAn , n ≥ 5, ¯à®áâ넮ª § ⥫ìá⢮.  ¬ ¯®âॡã¥âáï ­¥áª®«ìª® «¥¬¬.‹¥¬¬ 1.84.ƒà㯯 An ¯®à®¦¤ ¥âáï âன­ë¬¨ 横« ¬¨.„®ª § ⥫ìá⢮. …᫨ ¨­¤¥ªáëi, j, k, là §«¨ç­ë, â®(i, j)(k, l) = (i, j, k)(j, k, l),(i, j)(j, k) = (i, j, k).‹¥¬¬ 1.85.¨ãáâìN / An ᮤ¥à¦¨â âன­®© 横«.

’®£¤ N = An .„®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì(i, j, k) ∈ N(a, b, c) ∈ An .¨’ ª ª ªn ≥ 5,â® áãé¥áâ¢ã¥ââ ª ï ¯®¤áâ ­®¢ª σ=£¤¥(u, v) = (u0 , v 0 )¨«¨iajb(u, v) = (v 0 , u0 ),kcçâ®uu0vv0...∈ An ,...σ(i, j, k)σ −1 = (a, b, c).Žáâ ¥âáï ¢®á¯®«ì§®¢ âì-áï ¯à¥¤ë¤ã饩 «¥¬¬®©.‹¥¬¬ 1.86.

ãáâì N ᮤ¥à¦¨â ¯®¤áâ ­®¢ªã σ , ¢ à §«®¦¥­¨¨ ª®â®à®© ­ ­¥§ ¢¨á¨¬ë¥ 横«ë ¨¬¥¥âáï 横« ¤«¨­ë ­¥ ¬¥­ìè¥ 4. ’®£¤ N = An .„®ª § ⥫ìá⢮. ãáâìσ = (i, j, k, l, . . .) · · · .’®£¤ −1 −1τ = (i, j, k)σ(i, j, k)σNᮤ¥à¦¨â í«¥¬¥­â= (i, j, l).Žáâ ¥âáï ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ¯à¥¤ë¤ã饩 «¥¬¬®©.‹¥¬¬ 1.87. ãáâì N ᮤ¥à¦¨â ¯®¤áâ ­®¢ªã σ , ¢ à §«®¦¥­¨¨ ª®â®à®© ­ ­ ­¥§ ¢¨á¨¬ë¥ 横«ë ¨¬¥îâáï ­¥ ¬¥­¥¥ ¤¢ãå 横«®¢ ¤«¨­ë 3. ’®£¤ N = An .„®ª § ⥫ìá⢮. ãáâìσ = (i, j, k)(a, b, c) · · · .0−1 −1σ = (k, a, b)σ(k, a, b)Žâáî¤ N = An¯® ¯à¥¤ë¤ã饩 «¥¬¬¥.󒮣¤ ¢Nᮤ¥à¦¨âáï= (i, c, k, a, b).161.

ŽŽ‚ …Žˆˆ ƒˆâ ª, ¬®¦­® áç¨â âì, çâ®Nᮤ¥à¦¨â ¯®¤áâ ­®¢ªãσ,¢ à §«®¦¥­¨¥ ª®â®à®© ¢ ­¥§ -¢¨á¨¬ë¥ 横«ë ­¥ ¡®«¥¥ ®¤­®£® 横« ¤«¨­ë 3, ¯à¨ç¥¬ ®áâ «ì­ë¥ 横«ë ¨¬¥îâ ¤«¨­ã 2.σ 2 ∈ N ï¥âáï âன­ë¬ 横«®¬, ¨ ⮣¤ N = An .çâ® σ ï¥âáï ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥¬ ç¥â­®£® ç¨á« ­¥§ ¢¨-…᫨ ¨¬¥¥âáï ®¤¨­ âன­®© 横«, ⮒ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬®¦­® áç¨â âì,ᨬëå 横«®¢ ¤«¨­ë 2.ãáâìσ = (i, j)(a, b).…᫨c∈/ {i, j, a, b},â®−1(i, j, c)σ(i, j, c)N = An .σ = (i, j)(a, b)(i0 , j 0 )(a0 , b0 ) · · · .Nᮤ¥à¦¨âσ = (i, c, j),®âªã¤ , ª ª ¨ ¢ë襏ãáâì ⥯¥àì0’®£¤ 0Nᮤ¥à¦¨â ¨0(j, a)(b, i )σ(b, i )(j, a)σ = (i, i , b)(j, a, j 0 ).Š ª ¨ ¢ëè¥ ®âáî¤ á«¥¤ã¥â ã⢥ত¥­¨¥ ⥮६ë.7.

 §à¥è¨¬ë¥ £à㯯ëx, y { í«¥¬¥­âë[x, y] = xyx−1 y −1 .Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.88. ãáâì­ §ë¢ ¥âáï í«¥¬¥­â£à㯯ëG. Š®¬¬ãâ â®à®¬í«¥¬¥­â®¢x, y“¯à ¦­¥­¨¥ 1.89. „®ª § âì, çâ®[x, y]−1 = [y, x],¨z[x, y]z −1 = [zxz −1 , zyz −1 ].à¨¬¥àë 1.90. „®ª § âì, çâ®Sn [(i, j), (j, k)] = (i, j, k), ¥á«¨ ¨­¤¥ªáë i, j, k à §«¨ç­ë;GL(n, k), £¤¥ k { ª®«ìæ®, [1 + aEik , 1 + bEkj ] = 1 + abEij , ¥á«¨(1) ¢ £à㯯¥ ¯¥à¥áâ ­®¢®ª(2) ¢ £à㯯¥ ¬ âà¨æ¨­¤¥ªáëi, j, kà §«¨ç­ë.Š®¬¬ã⠭⮬Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.91.¤¥­¨© ª®¬¬ãâ â®à®¢ ¢G0 = [G, G]­ §ë¢ ¥âáï ¬­®¦¥á⢮ ¢á¥å ¯à®¨§¢¥-G.à¥¤«®¦¥­¨¥ 1.92.G0 / G .…᫨ N / G, â® á«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï íª¢¨¢ «¥­â­ë:G/N { ¡¥«¥¢ ;à¥¤«®¦¥­¨¥ 1.93.(1)£à㯯ë(2)N ⊇ G0 .’¥®à¥¬ 1.94.Sn0 = An .„®ª § ⥫ìá⢮.

ã¦­® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï «¥¬¬®© 1.84 ¨ ¯à¨¬¥à®¬ 1.90.’¥®à¥¬ 1.95.…᫨n ≥ 3, ¨ k { ¯®«¥, â® GL(n, k)0 = SL(n, k)0 = SL(n, k).“¯à ¦­¥­¨¥ 1.96. „®ª § âì, çâ®k ᮤ¥à¦¨â ­¥ ¬¥­¥¥ ç¥âëà¥å í«¥¬¥­â®¢, â® GL(2, k)0 = SL(2, k); ¨¬¥­­®,∗áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© í«¥¬¥­â q, q − 1 ∈ k , â® q 01 (q − 1)−1 a,= 1 + aE12 ;0 101(1) ¥á«¨ ¯®«¥¥á«¨(2)GL(2, F2 ) ' S3 ,¨ ¯®í⮬ãGL(2, F2 )0 6= SL(2, F2 ) = GL(2, F2 ).“¯à ¦­¥­¨¥ 1.97. ‚ëç¨á«¨âìà¨¬¥àë 1.98.A04 = V4 ,¨Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.99. …᫨ƒà㯯 GGL(2, F3 )0 .A0n = An ,G¥á«¨n ≥ 5.{ £à㯯 , â® ¯®«®¦¨¬à §à¥è¨¬ ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ ­ âãà «ì­®¥‡ ¬¥ç ­¨¥ 1.100. „«ï «î¡ëåm, n > 0G(1) = G0 ¨G(k+1) = [Gk , Gk ].(m)ç¨á«® m, çâ® G= 1.¢¥à­® à ¢¥­á⢮(G(n) )(m) = G(n+m) .7. €‡…ˆŒ… ƒãáâìà¥¤«®¦¥­¨¥ 1.101.17f : G → H { £®¬®¬®à䨧¬ £à㯯.

’®£¤ f (G(k) ) ⊆ H (k) .f { áîàꥪ⨢­®, â® f (G(k) ) = H (k) .…᫨“¯à ¦­¥­¨¥ 1.102. „®ª § âì, çâ®(1) ¥á«¨(2)H{ ¯®¤£à㯯 ¢ £à㯯¥k;G(k) / G(2)£à㯯ë£à㯯ëâ®H (k) ⊆ G(k)¤«ï «î¡®£® ­ âãà «ì­®£® ç¨á« ãáâìà¥¤«®¦¥­¨¥ 1.103.(1)G,¤«ï «î¡®£® ­ âãà «ì­®£® ç¨á« k.N / G. ‘«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï íª¢¨¢ «¥­â­ë:G à §à¥è¨¬ ;G/N, ¨ N à §à¥è¨¬ë.„®ª § ⥫ìá⢮. ‚®á¯®«ì§®¢ âìáï¯à¥¤«®¦¥­¨¥¬ 1.101„«ï £à㯯ëà¥¤«®¦¥­¨¥ 1.104.(1)(2)G á«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï íª¢¨¢ «¥­â­ë:£à㯯ë G à §à¥è¨¬ ;áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© àï¤ ¯®¤£à㯯ëG = G0 ⊃ G1 ⊃ · · · ⊃ Gk−1 ⊃ Gk = 1,çâ®Gi+1 / Gi ¨ Gi /Gi+1 { ¡¥«¥¢® ¤«ï ¢á¥å i.„®ª § ⥫ìá⢮. ã¦­® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ¯à¥¤«®¦¥­¨¥¬ 1.103 ¨ ¨­¤ãªæ¨¥© ¯®ã¡¥¤¨¢è¨áì, çâ® £à㯯 ‘«¥¤á⢨¥ 1.105.G1à §à¥è¨¬ .ãáâìp-¯à®á⮥ ç¨á«®. ’®£¤ ª®­¥ç­ ï p-£à㯯 à §à¥è¨¬ .„®ª § ⥫ìá⢮.

ã¦­® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ¯à¥¤«®¦¥­¨¥¬ 1.104 ¨ ⥮६®© 1.72.à¥¤«®¦¥­¨¥ 1.106.k,ãáâìA, A0 ∈ Mat(t, k),B, B 0 ∈ Mat(t × s, k),C, C 0 ∈ Mat(s, k).’®£¤ A0BC 0A0Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.107. ƒà㯯 ¢¥à孥㭨âà¥ã£®«ì­ë呫¥¤á⢨¥ 1.108.¬ âà¨æB0C0=AA00AB 0 + BC 0CC 0¢¥àå­¥âà¥ã£®«ì­ëåU T (n, k), k¬ âà¨æT (n, k), k{ ¯®«¥.ƒà㯯 { ¯®«¥. áᬮâਬ ®â®¡à ¦¥­¨¥ϕ : T (n, k) → T (n − 1, k) ¯® ¯à ¢¨«ã:¥á«¨X=â®A B0 c∈ T (n, k), £¤¥ A ∈ T (n − 1, k), B ∈ Mat((n − 1) × 1, k), c ∈ k ∗ ,ϕ(X) = A. ’®£¤ ϕ ï¥âáï £®¬®¬®à䨧¬®¬ £à㯯, ¯à¨ç¥¬ϕ(U T (n, k)) = U T (n − 1, k).à¥¤«®¦¥­¨¥ 1.109.T (n, k)0 ⊂ U T (n, k)„®ª § ⥫ìá⢮.

‚®á¯®«ì§®¢ âìáï ¯à¥¤«®¦¥­¨¥¬ 1.93.’¥®à¥¬ 1.110.ƒà㯯 T (n, k) à §à¥è¨¬ .181. ŽŽ‚ …Žˆˆ ƒ„®ª § ⥫ìá⢮. ® ¯à¥¤«®¦¥­¨ï¬ 1.109 ¨ 1.103 ¤®áâ â®ç­® ¯®ª § âì, çâ® £à㯯 U T (n, k) à §à¥è¨¬ . ã¤¥¬ ¢¥á⨠¤®ª § ⥫ìá⢮ ¨­¤ãªæ¨¥© ¯® n. …᫨ n = 1,U T (1, k) = 1 ¨ ¯®â®¬ã à §à¥è¨¬ .ãáâì ¤«ï n − 1 ⥮६ ¤®ª § ­ .  áᬮâਬ £®¬®¬®à䨧¬ £à㯯â®ϕ : U T (n, k) → U T (n − 1, k)¨§ á«¥¤á⢨ï 1.108. ‡ ¬¥â¨¬, çâ®ker ϕ =E0B1∈ U T (n, k),ker ϕN = ker ϕ.® ¯à¥¤«®¦¥­¨î 1.106 ¯®«ãç ¥¬, ç⮨­¤ãªæ¨¥© ¨ á«¥¤á⢨¥¬ 1.103 ᣤ¥B ∈ Mat((n − 1) × 1, k) .{ ¡¥«¥¢ £à㯯 .Žáâ ¥âáï ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï8. àï¬ë¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï £à㯯G ï¥âáï (¢­ãâ७­¨¬) ¯àï¬ë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥¬ ᢮¨åG = G1 × · · · × Gn ) ¥á«¨:♥ ª ¦¤ ï ¯®¤£à㯯 Gi ­®à¬ «ì­ ¢ G;♥ ª ¦¤ë© í«¥¬¥­â g ∈ G ¨¬¥¥â ¨ ¯à¨â®¬ ¥¤¨­á⢥­­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ¢ ¢¨¤¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï g = g1 · · · gn , £¤¥ gi ∈ Gi .…᫨ G { £à㯯 ®â­®á¨â¥«ì­® á«®¦¥­¨ï, â® £®¢®àïâ, çâ® G ï¥âáï ¯àאַ© á㬬®©á¢®¨å ¯®¤£à㯯 G1 , .

. . , Gn , ¨ ¯¨èãâ G = G1 ⊕ · · · ⊕ Gn .Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.111. ƒà㯯믮¤£à㯯G1 , . . . , G n ,(®¡®§­ 祭¨¥|G| = |G1 | · · · |Gn |.“¯à ¦­¥­¨¥ 1.112. „®ª § âì, ç⮏।«®¦¥­¨¥ 1.113.ãáâìG = G1 × · · · × Gn ¨ gi ∈ Gi , gj ∈ Gj , £¤¥ i 6= j . ’®£¤ gi gj = gj gi .‘«¥¤á⢨¥ 1.114.ãáâìG = G1 ×· · ·×Gn ¨ g = g1 · · · gn , h = h1 · · · hn , £¤¥ gi , hi ∈ Gi¤«ï ¢á¥å i. ’®£¤ gh = (g1 h1 ) · · · (gn hn ),g −1 = g1−1 · · · gn−1 .à¨¬¥àë 1.115. ˆ¬¥îâáï á«¥¤ãî騥 ¯àï¬ë¥ à §«®¦¥­¨ï:C∗ ' U × R∗+ ;Rn = Rk ⊕ Rn−k .(1) £à㯯 (2)à¥¤«®¦¥­¨¥ 1.116.ƒà㯯 à¥¤«®¦¥­¨¥ 1.117.ãáâìZ ­¥à §«®¦¨¬ ¢ ¯àï¬ãî á㬬ã.G = G1 × · · · × Gn ¨ g = g1 · · · gn .’®£¤ |g| = (|g1 |, . .

. , |gn |).’¥®à¥¬ 1.118.ãáâì £à㯯 G = G1 × · · · × Gn ª®­¥ç­ . ‘«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï íª¢¨-¢ «¥­â­ë:• £à㯯 G 横«¨ç­ ;• ª ¦¤ ï £à㯯 Gi 横«¨ç­ ¨ ¯®à浪¨ £à㯯 Gi , i = 1, . . . , n, ¯®¯ à­® ¢§ ¨¬­®¯à®áâë.„®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì £à㯯 Gi , i = 1, . . . , n,Gmi = |Gi |.(m1 , m2 ) > 1, â®æ¨ª«¨ç­ , ¨æ¨ª«¨ç­ . …᫨, ­ ¯à¨¬¥à,’®£¤ ª ¦¤ ï ¯®¤£à㯯 (m1 , .

Характеристики

Список файлов лекций