В.А. Артамонов - Лекции по алгебре, 3 семестр, мех-мат МГУ (1106002), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Žâáî¤ ¢ë⥪ ¥â (2), ¨, á«¥¤®¢ ⥫쭮, (1).ˆâ ª, ¯¥à¢ë¥ âਠãá«®¢¨ï íª¢¨¢ «¥­â­ë.€­ «®£¨ç­® ¯®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ç¥â¢¥à⮥ãá«®¢¨¥ íª¢¨¢ «¥­â­® ¢â®à®¬ã.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.44. ãáâ쬭®¦¥á⢮ ¢á¥å â ª¨åx ∈ G,à¥¤«®¦¥­¨¥ 1.45.f :G→H {f (x) = 1.£®¬®¬®à䨧¬ £à㯯.Ÿ¤à®¬ker f­ §ë¢ ¥âáïçâ®ker f / G.à¨¬¥àë 1.46. „®ª § âì, çâ®(1)(2)(3)An / Sn ;SL(n, C) / GL(n, C);V 4 / S 4 , S3 6 S4 .f :G→H⇐⇒ ker f = 1.“¯à ¦­¥­¨¥ 1.47. ãáâìf¦¥­¨¥¨­ê¥ªâ¨¢­®à¥¤«®¦¥­¨¥ 1.48.ãáâì{ £®¬®¬®à䨧¬ £à㯯.„®ª § âì, çâ® ®â®¡à -f : G → H { £®¬®¬®à䨧¬ £à㯯 ¨ x ∈ G. ’®£¤ f −1 (f (x)) = x ker f .„®ª § ⥫ìá⢮.

‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¢ ᨫã ã¯à ¦­¥­¨ï 1.29y ∈ f −1 (f (x)) ⇐⇒ f (y) = f (x) ⇐⇒ f (x−1 y) = 1⇐⇒ x−1 y ∈ ker f ⇐⇒ x ker f = y ker f.Žâáî¤ ¢ë⥪ ¥â ã⢥ত¥­¨¥®áâ஥­¨¥ä ªâ®à£à㯯ëG/N , £¤¥ N / G.®áâ஥­¨¥¥áâ¥á⢥­­®£® £®¬®¬®à䨧¬ π : G → G/N .“¯à ¦­¥­¨¥ 1.49. …᫨π : G → G/N{ ¥áâ¥á⢥­­ë© £®¬®¬®à䨧¬, ⮒¥®à¥¬ 1.50 (’¥®à¥¬ ® £®¬®¬®à䨧¬ å).’®£¤ ãáâìker π = N .f : G → H { £®¬®¬®à䨧¬ £à㯯.G/ ker f ' f (G).x ∈ G. ® ¯à¥¤«®¦¥­¨î 1.48 ¯®«ãç ¥¬,®â®¡à ¦¥­¨¥ ζ : f (G) → G/ ker f ¯® ¯à ¢¨«ã„®ª § ⥫ìá⢮. ãáâìx ker f .‡ ¤ ¤¨¬ ⥯¥àìçâ®f −1 (f (x)) =ζ(f (x)) = f −1 (f (x)) = x ker f.à®¢¥à¨¬, çâ®ζï¥âáï £®¬®¬®à䨧¬®¬ £à㯯.

ãáâìx, y ∈ G.’®£¤ â. ¥.ζ(f (xy)) = xy(ker f ) = (x ker f )(y ker f ) = ζ(f (x))ζ(f (y)).ˆâ ª,ζï¥âáï £®¬®¬®à䨧¬®¬.xy ∈ f −1 (f (xy)),101. ŽŽ‚ …Žˆˆ ƒζ“¡¥¤¨¬áï, çâ®g = f (x), h = f (y)f (y) = h.“¡¥¤¨¬áï, ç⮨­ê¥ªâ¨¢­®.¤«ï ­¥ª®â®àëåζãáâìx, y ∈ G.áîàꥪ⨢­®. …᫨g, h ∈ f (G) ¨ ζ(g) = ζ(h). ® ®¯à¥¤¥«¥­¨îŽâáî¤ x ker f = y ker f , ¨ ¯®í⮬ã g = f (x) =x ∈ G, â® x ker f = ζ(f (x)).

ˆâ ª, ζ{ ¨§®¬®à䨧¬.à¨¬¥àë 1.51. „®ª § âì, çâ®(1)(2)(3)GL(n, C)/ SL(n, C) ' C∗ ;Sn /An ' {±1};Z/nZ ' Un .4. „¥©áâ¢¨ï £à㯯 ­ ¬­®¦¥á⢠厯।¥«¥­¨¥ 1.52. ãáâì­ X,GG × X → X,çâ®{ £à㯯 ¨X{ ¬­®¦¥á⢮. ‘ª ¦¥¬, çâ®G ¤¥©áâ¢ã¥â¥á«¨ § ¤ ­® â ª®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥(g, x) 7→ gx ∈ X,g ∈ G, x ∈ X,1x = x, (gh)x = g(h(x)) ¤«ï ¢á¥å g, h ∈ G ¨ x ∈ X.G ¢ £à㯯㠯¥à¥áâ ­®¢®ª ¬­®¦¥á⢠X .„à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, § ¤ ­ £®¬®¬®à-䨧¬ £à㯯ëà¨¬¥àë 1.53.G ᮯà殮­¨ï¬¨ ­ G.H { ¯®¤£à㯯 ¢ G.

’®£¤ H ¤¥©áâ¢ã¥â 㬭®¦¥­¨ï¬¨ á«¥¢ ­ X = G.ƒà㯯 G = GL(n, C) ¤¥©áâ¢ã¥â ­ n-¬¥à­®¬ ¢¥ªâ®à­®¬ ª®¬¯«¥ªá­®¬ ¯à®áâà ­áân¢¥ C .] ƒà㯯 Sn ¤¥©áâ¢ã¥â ­ ª®«ìæ¥ ¬­®£®ç«¥­®¢ C[X1 , . . . , Xn ] ¯® ¯à ¢¨«ãz[\„¥©á⢨¥ £à㯯ëãáâìσ(f (X1 , . . . , Xn )) = f (Xσ1 , . . . , Xσn ).G ­ ¬­®¦¥á⢥ X , ¨ x ∈ X .{gx|g ∈ G}. ‘â ¡¨«¨§ â®à®¬ Stxgx = x.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.54. ãáâì § ¤ ­® ¤¥©á⢨¥ £à㯯ëŽà¡¨â®©Orbxí«¥¬¥­â x­ §ë¢ ¥âáï ¯®¤¬­®¦¥á⢮­ §ë¢ ¥âáï ¯®¤¬­®¦¥á⢮ ¢á¥å â ª¨åg ∈ G,ç⮏।«®¦¥­¨¥ 1.55.

‚ á«ãç ¥ ¤¥©á⢨ï z ®à¡¨â Orbx ᮢ¯ ¤ ¥â á ª« áᮬ ᮯà殮­­ëå í«¥¬¥­â®¬ {gxg −1 |g ∈ G}. ‘â ¡¨«¨§ â®à Stx í«¥¬¥­â x ∈ G ᮢ¯ ¤ ¥â á業âà «¨§ â®à®¬ C(x) = {g ∈ G|gx = xg}.‚ á«ãç ¥ ¤¥©á⢨ï [ ®à¡¨â Orbx ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯à ¢ë¬ á¬¥¦­ë¬ ª« áᮬ Hx. ‘â ¡¨«¨§ â®à Stx í«¥¬¥­â x ∈ G à ¢¥­ 1.à¥¤«®¦¥­¨¥ 1.56. §­ë¥ ®à¡¨âë ­¥ ¯¥à¥á¥ª îâáï.à¥¤«®¦¥­¨¥ 1.57. ãáâì § ¤ ­® ¤¥©á⢨¥ £à㯯ë G ­ ¬­®¦¥á⢥‘ãé¥áâ¢ã¥â ¡¨¥ªæ¨ï ¬¥¦¤ã Orbx ¨ ¬­®¦¥á⢮¬ «¥¢ëå ᬥ¦­ëå ª« áᮢ„®ª § ⥫ìá⢮.

ãáâ쑫¥¤á⢨¥ 1.58.g ∈ G.| Orbx | =‘®¯®áâ ¢¨¬ í«¥¬¥­âãgx ∈ OrbxgStx .|G|.| Stx |G ­ ¬­®¦¥á⢥ X ,x ­¥¯®¤¢¨¦­ ®â­®á¨â¥«ì­® í⮣® ¤¥©á⢨ï, ¥á«¨ Stx = G, â.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.59. ãáâì § ¤ ­® ¤¥©á⢨¥ £à㯯둪 ¦¥¬, çâ® â®çª ª« ááX, ¨ x ∈ X.G ¯® Stx .¨¥.x ∈ X.Orbx =x.‡ ¬¥ç ­¨¥ 1.60. ‚ á«ãç ¥ ¤¥©á⢨ïà¨ç¥áª¨¥ ¬­®£®ç«¥­ë ¨ ⮫쪮 ®­¨.ïîâáï í«¥¬¥­âë 業âà ‡ ¬¥ç ­¨¥ 1.61.]­¥¯®¤¢¨¦­ë¬¨ í«¥¬¥­â ¬¨ ïîâáï ᨬ¬¥â-z∀g ∈ G}‚ á«ãç ¥ ¤¥©á⢨ïZ(G) = {x ∈ G|gx = xg­¥¯®¤¢¨¦­ë¬¨ í«¥¬¥­â ¬¨4.

„…‰‚ˆ ƒ € ŒŽ†…‚€Å11“¯à ¦­¥­¨¥ 1.62.  ©â¨ 業âàë £à㯯GL(n, k), SL(n, k), O(n, R), U(n, C).Š ¦¤ ï ¯¥à¥áâ ­®¢ª ¨§’¥®à¥¬ 1.63.Sn à §« £ ¥âáï ¢ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ­¥§ ¢¨á¨¬ëå横«®¢.ãáâì σ ∈ Sn . Œ®¦­® áç¨â âì, çâ® σ 6= 1. ‚®§ì¬¥¬ ¯à®¨§¢®«ì­ë© í«¥¬¥­â k, 1 ≤k ≤ n, ¨ ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® í«¥¬¥­âë k0 = k, k1 = σk, k2 = σ 2 k, . . . , kl = σ l k à §«¨ç­ë, ­®σ l+1 k = σ s k , £¤¥ 0 ≤ s ≤ l.‹¥¬¬ 1.64.s = 0.„®ª § ⥫ìá⢮.¬®¦­®, ¨¡®σˆâ ª, ­ ¬­®¦¥á⢥s > 0, â® σ(ks−1 ) = σ(kl ), çâ® ­¥¢®§X = {1, . .

. , n}, ­® ks−1 6= kl ¢ ᨫ㠢롮à l.„®ª § ⥫ìá⢮. …᫨¤¥©áâ¢ã¥â ¨­ê¥ªâ¨¢­® ­ {k0 , k1 , . . . , kl } ¯®¤áâ ­®¢ª σ ¤¥©áâ¢ã¥âk0 k1 . . . kl−1 klk1 k2 . . .klk0ª ªj, 1 ≤ j ≤ n, ¯à¨ç¥¬ j ∈/ {k0 , k1 , . . . , kl }. Š ª{j0 , j1 , . . . , jt }, ­ ª®â®à®¬ ¯®¤áâ ­®¢ª σ ¤¥©áâ¢ã¥â ª ª 横«j0 j1 . .

. jt−1 jtj1 j2 . . .jtj0‚롥६ ⥯¥àì ¯à®¨§¢®«ì­®¥ ç¨á«®áâந¬ ¬­®¦¥á⢮‹¥¬¬ 1.65.‚á¥ í«¥¬¥­â넮ª § ⥫ìá⢮. ãáâì¨ ¢ëè¥k0 , k1 , . . . , kl , j0 , j1 , . . . , jt à §«¨ç­ë.jr = kq .j0 = σ−r’®£¤ jr ∈ {k0 , k1 , . . . , kl },çâ® ­¥¢®§¬®¦­®.à®¤®«¦ ï íâ®â ¯à®æ¥áá, ¯®«ãç ¥¬ ¯®¤áâ ­®¢ªãτ=k0k1k1k2. . . kl−1...klklk0j0j1¥¯®á।á⢥­­ ï ¯à®¢¥àª ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ®j1j2. .

. jt−1...jtjt··· .j0τ = σ.“¯à ¦­¥­¨¥ 1.66. „®ª § âì, çâ®σ = σ1 · · · σm { à §«®¦¥­¨¥ ¯¥à¥áâ ­®¢ª¨ σ ∈ Sn ¢ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ­¥§ ¢¨á¨¬ëå|σ| à ¢¥­ ­ ¨¡®«ì襬㠮¡é¥¬ã ¤¥«¨â¥«î ¤«¨­ σ1 , . . . , σm ;­¥§ ¢¨á¨¬ëå 横« ¨§ Sn ¯¥à¥áâ ­®¢®ç­ë.(1) ¥á«¨æ¨ª«®¢, â®(2) ¤¢ à¥¤«®¦¥­¨¥ 1.67.ãáâìπ ∈ Sn ¨ (i1 , . . . , ik ) { 横« ¨§ Sn . ’®£¤ π(i1 , . . . , ik )π −1 = (π(i1 ), . .

. , π(ik )).’¥®à¥¬ 1.68. „¢¥ ¯¥à¥áâ ­®¢ª¨ ¨§¨¬¥îâ ®¤¨­ ª®¢®¥ 横«®¢®¥ áâ஥­¨¥.Sn ᮯà殮­ë ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ®­¨„®ª § ⥫ìá⢮. „«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠­¥®¡å®¤¨¬®á⨠­ã¦­® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ¯à¥¤«®¦¥­¨¥¬ 1.67. Ž¡à â­®, ¯ãáâì ¯®¤áâ ­®¢ª¨σ, τ¨¬¥îâ ®¤¨­ ª®¢®¥ 横«®¢®¥ áâ஥­¨¥, â.¥.σ = (k0 , k1 , . . . , kl )(j0 , j1 , . . . , jt ) · · · ,τ = (k00 , k10 , . .

. , kl0 )(j00 , j10 , . . . , jt0 ) · · · .® ¯à¥¤«®¦¥­¨î 1.67 ¨¬¥¥¬π=πσπ −1 = τ ,k0k00k1k10£¤¥. . . kl. . . kl0j0j00j1j10. . . jt. . . jt0.......121. ŽŽ‚ …Žˆˆ ƒ…᫨’¥®à¥¬ 1.69.n ≥ 3, â® Z(Sn ) = 1.„®ª § ⥫ìá⢮. ãáâìσ ∈ Z(Sn ) \ 1,¨σ = (i1 , . . . , ik )(j1 , . . .

, jt ) · · ·{ à §«®¦¥­¨¥σ¢ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ­¥§ ¢¨á¨¬ëå 横«®¢. ãáâì ¢ í⮬ à §«®¦¥­¨¨ ¢áâà¥ç -îâáï ¤¢ 横« ¤«¨­k, t ≥ 2.®«®¦¨¬π = (i1 , j1 ). ’®£¤ π −1 = π , ¨ ¯® ¯à¥¤«®¦¥­¨î 1.67πσπ −1 = (j1 , i2 , . . . , ik )(i1 , j2 , . . . , jt ) · · · 6= σ,çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ãá«®¢¨îσ ∈ Z(Sn ).ˆâ ª,ï¥âáï 横«®¬.…᫨ ¥£® ¤«¨­ σ = (i1 , . . . , ik )k ≥ 3, â® ¯®«®¦¨¬ π = (i1 , i2 ).’®£¤ π −1 = π ,¨ ¯®¯à¥¤«®¦¥­¨î 1.67πσπ −1 = (i2 , i1 , i3 , . .

. , ik ) 6= σ,çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ãá«®¢¨î σ ∈ Z(Sn ).ˆâ ª, σ = (i1 , i2 ). ’ ª ª ª n ≥ 3, â® ­ ©¤¥âáï ¨­¤¥ªá i3 ,π = (i1 , i3 ). ’®£¤ ¯® ¯à¥¤«®¦¥­¨î 1.67®â«¨ç­ë© ®âi1 , i3 .®«®¦¨¬πσπ −1 = (i3 , i2 ) 6= σ,çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ãá«®¢¨îσ ∈ Z(Sn ).“¯à ¦­¥­¨¥ 1.70.

„®ª § âì, çâ® ¤¢¥ ¬ âà¨æë ¨§GL(n, C)ᮯà殮­ë (¯®¤®¡­ë)⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ®­¨ ¨¬¥îâ ®¤¨­ ª®¢ë¥ ¦®à¤ ­®¢ë ä®à¬ë.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.71. ãáâìp{ ¯à®á⮥ ç¨á«®.ƒà㯯 ¯®à浪 pn­ §ë¢ ¥âáïp-£à㯯®©.’¥®à¥¬ 1.72.–¥­âàp-£à㯯ë G ­¥âਢ¨ «¥­.„®ª § ⥫ìá⢮. ãáâìG = K1 ∪ . . . ∪ Km { à §«®¦¥­¨¥ G ­ ­¥¯¥à¥á¥ª î騥áï|Ki | = 1 ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ Ki =ª« ááë ᮯà殮­­ëå í«¥¬¥­â®¢. ‡ ¬¥â¨¬, çâ®{ai },£¤¥ai ∈ Z(G).Žâáî¤ G = Z(G) ∪ Kr ∪ . .

. ∪ Km ,® á«¥¤á⢨î 1.58 ¯®à冷ªŽâáî¤ ¯® (1) ç¨á«®p|Ki ||Ki | > 1.¤¥«¨â ¯®à冷ª £à㯯뤥«¨â ¯®à冷ªG,â.Z(G).(1)¥.ni|Ki | = p , n > ni > 0.5. ’¥®à¥¬ë ‘¨«®¢ ãáâì G { ª®­¥ç­ ï £à㯯 ¯®à浪 áãé¥áâ¢ã¥â ¯®¤£à㯯 ¯®à浪 pn .’¥®à¥¬ 1.73 (¥à¢ ï ⥮६ ‘¨«®¢ ).£¤¥p { ¯à®á⮥ ç¨á«®. ’®£¤ ¢ Gpn m,„®ª § ⥫ìá⢮. ã¤¥¬ ¢¥á⨠¤®ª § ⥫ìá⢮ ¨­¤ãªæ¨¥© ¯® ¯®à浪㠣à㯯둫ãç ©|G| = pnx ∈ G \ Z(G).

 áᬮâਬ ¤¥©á⢨¥ G1 < | Orbx | < |G| ¨ |G| = | Orbx || Stx |. ®í⮬㠥᫨ p ­¥ ¤¥«¨â| Stx |, ¯à¨ç¥¬ | Stx | < |G|. ® ¨­¤ãªæ¨¨ ¢ Stx áãé¥áâ¢ã¥â ¯®¤£à㯯 à¥¤¯®«®¦¨¬ á­ ç « , çâ® áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥­âᮯà殮­¨ï¬¨ ­ | Orbx |,¯®à浪 pnâ®pãáâìnG.¤¥«¨â’®£¤ , ¨ ⥮६ ¤®ª § ­ .p¤¥«¨â| Orbx |x ∈ G \ Z(G).

’®£¤ ª ªX|G| = |Z(G)| +| Orbx |.¤«ï «î¡®£®x∈G\Z(G)’ ª¨¬ ®¡à §®¬,G.®ç¥¢¨¤¥­.p¤¥«¨â ¯®à冷ªZ(G).¨ ¢ (1) ¨¬¥¥¬5. ’…Ž…Œ ‘ˆ‹Ž‚€‚‹¥¬¬ 1.74.13Z(G) áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥­â ¯®à浪 p.„®ª § ⥫ìá⢮. „®ª § ⥫ìá⢮ ¡ã¤¥¬ ¢¥á⨠¨­¤ãªæ¨¥© ¯® ¯®à浪ã|Z(G)| = p, â® ã⢥ত¥­¨¥ ®ç¥¢¨¤­®. ãáâì |Z(G)| > p,çâ® p ­¥ ¤¥«¨â ¯®à冷ª a. ’®£¤ N = hai / Z(G), ¯à¨ç¥¬Z(G)/Ní«¥¬¥­âbZ(G)/N¯®«ãç ¥¬, çâ®bN, b ∈ Z(G),¨¬¥¥âáï í«¥¬¥­â¨¬¥¥â ¯®à冷ªd.’®£¤ a ∈ Z(G) \ 1.|Z(G)|.…᫨à¥¤¯®«®¦¨¬,|Z(G)|< |Z(G)|.|N ||Z(G)/N | =® ¨­¤ãªæ¨¨ ¢¨bd = 1.¯®à浪 p.¯à¥¤¯®«®¦¨¬, ç⮏ਠ¥áâ¥á⢥­­®¬ £®¬®¬®à䨧¬¥π : Z(G) →(bN )d = π(b)d = π(bd ) = π(1) = N.p = |bN | ¤¥«¨â d.í«¥¬¥­â b ¯®à浪 d, ¤¥«ï饣®áí⮬㠢 ᨫ㠯।«®¦¥­¨ï 1.14ˆâ ª, ¢Z(G)¢á¥£¤ ¥áâì‡ ¢¥à訬 ¤®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë.

ãáâìa ∈ Z(G)­ dp.’®£¤ ⮨¬¥¥â ¯®à冷ªp,¨|b p | = p. N = hai / G.’®£¤ |G||G|=.|N |pn−1® ¨­¤ãªæ¨¨ ¢ G/N ¨¬¥¥âáï ¯®¤£à㯯 U ¯®à浪 p. ãáâì H = {y ∈ G|yN ∈ U }.  áᬮâਬ ¥áâ¥á⢥­­ë© £®¬®¬®à䨧¬ π : H → U, π(z) = zN. ® ⥮६¥ ® £®¬®¬®à䨧¬ åU ' H/N , ¨ ¯®í⮬ã |H| = |U ||N | = pn .|G/N | =Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.75. ãáâì(p, m) = 1.¯à¨ç¥¬G{ ª®­¥ç­ ï £à㯯 ¯®à浪 ®¤£à㯯 ¯®à浪 pn¢G­ §ë¢ ¥âáïpn m,p { ¯à®á⮥ ç¨á«®,p-¯®¤£à㯯®©.£¤¥á¨«®¢áª®©’¥®à¥¬ 1.76 (‚â®à ï ⥮६ ‘¨«®¢ ). ãáâì G { ª®­¥ç­ ï £à㯯 , ¨ p { ¯à®á⮥ç¨á«®. ’®£¤ «î¡ ï p-¯®¤£à㯯 ¢ G ᮤ¥à¦¨âáï ¢ ­¥ª®â®à®© ᨫ®¢áª®© p-¯®¤£à㯯¥.‹î¡ë¥ ¤¢¥ ᨫ®¢áª¨¥ p-¯®¤£à㯯ë ᮯà殮­ë ¢ G.„®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì Γ ¯à®¨§¢®«ì­ ï p-¯®¤£à㯯 ¢ G ¨ P { ᨫ®¢áª ïp-¯®¤£à㯯 ¢ G.

Характеристики

Список файлов лекций