В.А. Артамонов - Лекции по алгебре, 3 семестр, мех-мат МГУ (1106002), страница 4

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. . , mn ) < m1 · · · mn .®í⮬㠢 ᨫ㠯।«®¦¥­¨ï 1.117 ¢G­¥â í«¥¬¥­â ¯®à浪 m1 · · · mn = |G|.8. Œ… Žˆ‡‚…„…ˆ ƒŽ¡à â­®, ¯ãáâìGi == hai imi , ¯à¨ç¥¬a = a1 · · · an ∈ G. ® áᬮâਬ í«¥¬¥­â¢á¥ ç¨á« m1 , . . . , mn19¯®¯ à­® ¢§ ¨¬­® ¯à®áâë.¯à¥¤«®¦¥­¨î 1.117 ¥£® ¯®à冷ª à ¢¥­m1 · · · mn = |G1 | · · · |Gn | = |G|.‘«¥¤®¢ ⥫쭮,G = hai.‘«¥¤á⢨¥ 1.119. –¨ª«¨ç¥áª ï £à㯯 ¯®à浪 d ­¥à §«®¦¨¬ ¢ ¯àאַ¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¥¥ ¯®à冷ª ï¥âáï á⥯¥­ìî ¯à®á⮣® ç¨á« .à¨¬¥à 1.120. àאַ¥ à §«®¦¥­¨¥ 横«¨ç¥áª®© £à㯯 ¯®à浪 12.’¥®à¥¬ 1.121.ãáâìNi / Gi , i = 1, .

. . , m. ’®£¤ (N1 × · · · × Nm ) / (G1 × · · · × Gm )¨(G1 × · · · × Gm )/(N1 × · · · × Nm ) ' (G1 /N1 ) × · · · × (Gm /Nm ).„®ª § ⥫ìá⢮.  áᬮâà¥âì £®¬®¬®à䨧¬ £à㯯π : G → (G1 /N1 ) × · · · × (Gm /Nm ),®â®¡à ¦ î騩 í«¥¬¥­âg = g1 · · · gm 7→ (g1 N1 ) · · · (gm Nm ) ∈ (G1 /N1 ) × · · · × (Gm /Nm ),¨ ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ⥮६®© ® £®¬®¬®à䨧¬ å.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.122. Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥’¥®à¥¬ 1.123.¢­¥è­¥£® ¯àאַ£® ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ïG = G1 ×· · ·×Gm .‚­¥è­¥¥ ¨ ¢­ãâ७­¥¥ ¯àï¬ë¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï ¨§®¬®àä­ë.ƒ‹€‚€ 2Š®­¥ç­® ¯®à®¦¤¥­­ë¥ ¡¥«¥¢ë £àã¯¯ë‚ í⮩ £« ¢¥ ®¯¨áë¢ ¥âáï áâ஥­¨¥ ª®­¥ç­® ¯®à®¦¤¥­­ëå ¡¥«¥¢ëå £à㯯.

‚ᥠ¡¥«¥¢ë £àã¯¯ë ¡ã¤ã⠯।¯®« £ âìáï ¤¤¨â¨¢­ë¬¨.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2.1. «¥¬¥­âëe = (e1 , . . . , en ) ïîâáï ¡ §¨á®¬ ¢ ¡¥«¥¢®© £à㯯ë A,¥á«¨♣í«¥¬¥­âë ¨§e ­¥§ ¢¨á¨¬ë,â. ¥. ¨§ ⮣®, çâ®m1 e1 + · · · + mn en = 0,£¤¥m1 , . . . , mn ∈ Z,m1 = · · · = mn = 0.e ¯®à®¦¤ îâ £à㯯ã A, â. ¥. ª ¦¤ë© í«¥¬¥­â x ∈ A ¯à¥¤áâ ¢¨¬¢¨¤¥ x = m1 e1 + · · · + mn en .„à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ª ¦¤ë© í«¥¬¥­â x ∈ A ¨¬¥¥â ¨ ¯à¨â®¬ ¥¤¨­á⢥­­® ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥á«¥¤ã¥â, çâ®♠í«¥¬¥­â ¨§¢¢¢¨¤¥x = m1 e1 + · · · + mn en ,ƒà㯯 A ᢮¡®¤­ ,mi ∈ Z. ­£®¬¥á«¨ ®­ ®¡« ¤ ¥â ¡ §¨á®¬.­ §ë¢ ¥âáï ç¨á«® ¢¥ªâ®à®¢ ¢ ¡ §¨á¥(2)᢮¡®¤­®© ¡¥«¥¢®© £à㯯ëAA.„«ï ¡¥«¥¢®© £à㯯ë A á«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï íª¢¨¢ «¥­â­ë:A ®¡« ¤ ¥â ¡ §¨á®¬ e = (e1 , . .

. , en );à¥¤«®¦¥­¨¥ 2.2.(1)(2)£à㯯 £à㯯 A ' Z ⊕ ··· ⊕ Z.{z}|n„®ª § ⥫ìá⢮. …᫨e{ ¡ §¨áA,â® § ¤ ¤¨¬ψ : A → Z ⊕ ··· ⊕ Z|{z}n¯® ¯à ¢¨«ã: ¥á«¨x∈A¨¬¥¥â ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ (2), â®ψ(x) = (m1 , . . . , mn ).Ž¡à â­®, £à㯯 A = Z ⊕ ··· ⊕ Z|{z}n®¡« ¤ ¥â ¡ §¨á®¬e = (e1 , . . .

, en ),£¤¥iei = (0, . . . , 1, 0, . . . , 0),i = 1, . . . , n.à¥¤«®¦¥­¨¥ 2.3. —¨á«® ¢¥ªâ®à®¢ ¢ ¡ §¨á¥ ᢮¡®¤­®© ¡¥«¥¢®© £àã¯¯ë ®¯à¥¤¥«¥­®®¤­®§­ ç­®. „à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, à ­£ ᢮¡®¤­®© ¡¥«¥¢®© £àã¯¯ë ®¯à¥¤¥«¥­ ®¤­®§­ ç­®.„®ª § ⥫ìá⢮. ãáâìçâ®m > n.’®£¤ ª ¦¤®¥fj(e1 , .

. . en )¨(f1 , . . . , fm ){ ¤¢ ¡ §¨á ¢¨¬¥¥â ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥fj =nXaji ei ,i=121aji ∈ Z.A.à¥¤¯®«®¦¨¬,222. ŠŽ…Ž ŽŽ†„…… €…‹…‚ ƒ‘âப¨ ¬ âà¨æë(aji ) ∈ Mat(m × n, Z) «¨­¥©­® § ¢¨á¨¬ë ­ ¤ Q. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ®­¨ «¨Z. ®í⮬㠭 ©¤¥âáï â ª®© ­¥­ã«¥¢®© ­ ¡®à 楫ëå ç¨á¥« b1 , . . . , bm ∈­¥©­® § ¢¨á¨¬ë ­ ¤Z,çâ®b1 ,Žâáî¤ ...,b1 f1 + · · · + bm fm = 0,“¯à ¦­¥­¨¥ 2.4. ãáâìà¥¤¯®«®¦¨¬, çâ®c1 , . . . , cnbma11 . . . a1n. . . . . .

. . . . . . . . . = 0.am1 . . . amnçâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ­¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨Aãáâìe = (e1 , . . . , en ).C . ’®£¤ áãé¥áâψ(ei ) = ci , 1 ≤ i ≤ n.{ ᢮¡®¤­ ï ¡¥«¥¢ £à㯯 á ¡ §¨á®¬{ í«¥¬¥­âë ¯à®¨§¢®«ì­®© ¡¥«¥¢®© £à㯯ë¢ã¥â ¨ ¯à¨â®¬ ¥¤¨­á⢥­­ë© â ª®© £®¬®¬®à䨧¬‘«¥¤á⢨¥ 2.5.f1 , . . . , fm .ψ : A → C,çâ®A { ᢮¡®¤­ ï ¡¥«¥¢ £à㯯 á ¡ §¨á®¬ e = (e1 , . . . , en ). ’®£¤ | hom(A, Z2 )| = 2n .‚ ç áâ­®áâ¨, ¢ à ­£A ®¯à¥¤¥«¥­ ®¤­®§­ ç­®.ãáâì A { ᢮¡®¤­ ï ¡¥«¥¢ £à㯯 à ­£ n. …᫨ B { ­¥­ã«¥¢ ïA, â® ®­ ᢮¡®¤­ ¨ ¥¥ à ­£ ≤ n.’¥®à¥¬ 2.6.¯®¤£à㯯 ¢„®ª § ⥫ìá⢮. ã¤¥â ¢¥á⨠¤®ª § ⥫ìá⢮ ¨­¤ãªæ¨¥© ¯®’®£¤ £à㯯 ¯à¨ç¥¬Ab 6= 0.ãáâì ¤«ïn.’®£¤ í«¥¬¥­ân−1bB.e = (e1 , . .

. , en )n = 1, â® A ' Z.B = hbi 横«¨ç­ ,…᫨横«¨ç­ ¨, á«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯® ⥮६¥ 1.23 £à㯯 ï¥âáï ¡ §¨á®¬â¥®à¥¬ ¤®ª § ­ , ¨n−1XH={{ ¡ §¨áA.®«®¦¨¬ai ei |ai ∈ Z}.i=1’®£¤ H(e1 , . . . en−1 ). ® ¨­¤ãªæ¨¨ B∩H { ᢮¡®¤­ ïm ≤ n − 1. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¥á«¨ B ⊆ H, ⮠⥮६ { ᢮¡®¤­ ï ¡¥«¥¢ £à㯯 á ¡ §¨á®¬ ¡¥«¥¢ £à㯯 á ¡ §®©(f1 , . . . , fm ),¤®ª § ­ .ãáâìB * H. áᬮâਬ â ª®¥ ­ ¨¬¥­ì襥 ­ âãà «ì­®¥ ç¨á«®d,çâ® í«¥¬¥­âf = c1 e1 + · · · + cn−1 en−1 + den ∈ H.®ª ¦¥¬, çâ® í«¥¬¥­âëf1 , . . .

, fm , fá®áâ ¢«ïîâ ¡ §¨áb = u1 e1 + · · · + un en ∈ B,â®un = rd¤«ï ­¥ª®â®à®£®r ∈ Z.b − rf =çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¢ë¡®àãd,¥á«¨+ ··· +l 6= 0.u0n−1 en−1ˆâ ª,„¥©á⢨⥫쭮, ¥á«¨ui ∈ Z,‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯ãáâìu01 e1H.un = rdun = rd + l,£¤¥0 ≤ l < d.’®£¤ + len ∈ H,¨b − rf = a1 f1 + · · · + am fm ,b − rf ∈ B ∩ H .®í⮬ãai ∈ Z.’ ª¨¬ ®¡à §®¬,b = rf + a1 f1 + · · · + am fm ,r, ai ∈ Z,â. ¥. í«¥¬¥­âëf, f1 , .

. . , fm¯®à®¦¤ îâ(3)B.®ª ¦¥¬, çâ® í«¥¬¥­âë (3) ­¥§ ¢¨á¨¬ë. ãáâìrf + a1 f1 + · · · + am fm = 0,Š®íää¨æ¨¥­â ¯à¨enr, ai ∈ Z,ã í«¥¬¥­â «¥¢®© ç á⨠(3) à ¢¥­’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ (4) ¯®«ãç ¥¬, çâ®a1 f1 + · · · + am fm = 0,rd = 0,(4)®âªã¤ r = 0,¨¡®d 6= 0.®âªã¤ a1 = · · · = am = 0,Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2.7.2. ŠŽ…Ž ŽŽ†„…… €…‹…‚ ƒ23f1 , . . . , fm¨¡® í«¥¬¥­âë­¥§ ¢¨á¨¬ë.–¥«®ç¨á«¥­­ë¥ í«¥¬¥­â à­ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï áâப (á⮫¡æ®¢)楫®ç¨á«¥­­®© ¬ âà¨æë á®áâ®ïâ ¨§ ¤¢ãå ⨯®¢ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨©:••ã¬­®¦¥­¨¥ á«¥¢ (á¯à ¢ ) ­ í«¥¬¥­â à­ë¥ ¬ âà¨æëE + aEij , a ∈ Z,㬭®¦¥­¨¥ áâப¨ (á⮫¡æ ) ­ -1.“¯à ¦­¥­¨¥ 2.8.

‘®¢¥àè ï 楫®ç¨á«¥­­ë¥ í«¥¬¥­â à­ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï áâப(á⮫¡æ®¢) ¬®¦­® ¯¥à¥áâ ¢¨âì «î¡ë¥ ¤¢¥ áâப¨ (á⮫¡æ ).’¥®à¥¬ 2.9. ãáâì A ∈ Mat(n×m, Z). –¥«®ç¨á«¥­­ë¬¨ í«¥¬¥­â à­ë¬¨ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï¬¨ áâப ¨ á⮫¡æ®¢ ¬®¦­® A ¯à¨¢¥á⨠ª ¤¨ £®­ «ì­®¬ã ¢¨¤ã diag(d1 , d2 , . . .), di ≥0.„®ª § ⥫ìá⢮. Œ®¦­® áç¨â âì, çâ®A = (aij ) 6= 0.ãáâìδ(A) = min{|aij | |aij 6= 0}.ijà¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ¬ âà¨æãA楫®ç¨á«¥­­ë¬¨ í«¥¬¥­â à­ë¬¨ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï¬¨ áâப¨ á⮫¡æ®¢ ¯à¨¢¥«¨ ¢ â ª®¬ã ¢¨¤ã, çâ® ¤ «¥¥δ(A) 㬥­ìè¨âì ­¥«ì§ï. ¥à¥áâ ¢«ïï áâப¨δ(A) = a11 .¨ á⮫¡æë ¨ 㬭®¦ ï, ¥á«¨ ­¥®¡å®¤¨¬®, ­ -1, ¬®¦­® áç¨â âì, ç⮋¥¬¬ 2.10.a11 ¤¥«¨â a1j , ai1 ¤«ï ¢á¥å i, j .„®ª § ⥫ìá⢮.

ãáâì, ­ ¯à¨¬¥à,r < a11 .í«¥¬¥­âa11â.¥.q,r,çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¢ë¡®àã­¥ ¤¥«¨âa21 ,‚ëç¨â ï ¨§ ¢â®à®© áâப¨ ¯¥à¢ãî, 㬭®¦¥­­ãî ­ a21 = qa11 + r,£¤¥0<¯®«ãç ¥¬ ­ ¬¥á⥠(21)δ(A) = a11 .® «¥¬¬¥ 2.10 ᮢ¥àè ï í«¥¬¥­â à­ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï áâப ¨ á⮫¡æ®¢, ¬®¦­® ¤®¡¨âìáï, ç⮡ëa1j = ai1 = 0¤«ï ¢á¥åi, j > 1.„®ª § ⥫ìá⢮ â¥®à¥¬ë § ¢¥àè ¥âá鶴¤ãªæ¨¥© ¯® à §¬¥àã ¬ âà¨æë.ãáâì B { ­¥­ã«¥¢ ï ¯®¤£à㯯 ¢A áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© ¡ §¨á e = (e1 , . . . , en ) ¨n, çâ® í«¥¬¥­âë d1 e1 , . .

. , dk ek á®áâ ¢«ïî⒥®à¥¬ 2.11 (’¥®à¥¬ ® ᮣ« ᮢ ­­®¬ ¡ §¨á¥).᢮¡®¤­®© ¡¥«¥¢®© £à㯯¥ à ­£ n. ’®£¤ ¢â ª¨¥ ­ âãà «ì­ë¥ ç¨á« d1 , d2 , . . . dk , k ≤¡ §¨á B .„®ª § ⥫ìá⢮. ãáâìBf1 . . . , fn¨g1 , . . . , gk , k ≤ n,{ ¯à®¨§¢®«ì­ë¥ ¡ §¨áë ¢A¨ ¢(á¬. ⥮६ã 2.6). ’®£¤ gi =nXaij fj ,aij ∈ Z,i = 1, .

. . , k.j=1 áᬮâਬ 楫®ç¨á«¥­­ãî ¬ âà¨æãâ à­ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï áâபg1 , . . . , gk ,AA = (aij ) ∈ Mat(k × n, Z). 楫®ç¨á«¥­­ë¥ í«¥¬¥­â à­ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï á⮫¡æ®¢f1 . . . , fn .g1 = d1 f1 , . . . , gk = dk fk .¬¥­â à­ë¬ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï¬ ¡ §¨á ¬®¦­® áç¨â âì, ç⮎¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2.12. €¡¥«¥¢ £à㯯 í«¥¬¥­â떥«®ç¨á«¥­­ë¥ í«¥¬¥­-ᮮ⢥âáâ¢ãîâ í«¥¬¥­â à­ë¬ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï¬ ¡ §¨á a1 , .

. . , an ∈ A,Aᮮ⢥âáâ¢ãîâ í«¥-® ⥮६¥ ⥮६¥ 2.9 ¨§¬¥­ïï ®¡ ¡ §¨á ,A ª®­¥ç­® ¯®à®¦¤¥­ , ¥á«¨ áãé¥áâ¢ãîâx ∈ A ¨¬¥¥â ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥â ª¨¥çâ® ª ¦¤ë© í«¥¬¥­âx = c1 a1 + · · · + cn an , ci ∈ Z.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2.13. –¨ª«¨ç¥áª ï £à㯯 ¯à¨¬ à­ ,¥á«¨ ¥¥ ¯®à冷ª ï¥âáï áâ¥-¯¥­ìî ¯à®á⮣® ç¨á« .’¥®à¥¬ 2.14 (‘â஥­¨¥ ª®­¥ç­® ¯®à®¦¤¥­­ëå ¡¥«¥¢ëå £à㯯).

ãáâì A {ª®­¥ç­® ¯®à®¦¤¥­­ ï ¡¥«¥¢ £à㯯 . ’®£¤ A à §« £ ¥âáï ¢ ¯àï¬ãî á㬬ã ᢮¡®¤­®© ¡¥«¥¢®© £àã¯¯ë ¨ ¯à¨¬ à­ëå 横«¨ç¥áª¨å £à㯯.242. ŠŽ…Ž ŽŽ†„…… €…‹…‚ ƒa1 , . . . , an ∈ A„®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì ¡¥«¥¢ã £à㯯ãFà ­£ n,¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï 2.12.  áᬮâਬ ᢮¡®¤­ãî­ ¯à¨¬¥à,F = Z ⊕ ··· ⊕ Z|{z}n‚롥६ ¢F¡ §¨áe1 , . . . , en¨ § ¤ ¤¨¬ £®¬®¬®à䨧¬ξ : F → A,¯à¨ ª®â®à®¬nnXXξ(xi ei ) =xi ai .i=1i=1ξ ï¥âáï í¯¨¬®à䨧¬®¬.

ãáâì B = ker ξ . ® ⥮६¥ 2.11 ¬®¦­®d1 e1 , . . . , dk ek á®áâ ¢«ïîâ ¡ §¨á B , £¤¥ d1 , . . . , dk { ­ âãà «ì­ë¥ ç¨á« , k ≤ n.(Zdi ei , ¥á«¨ 1 ≤ i ≤ k;Ni =0,¥á«¨ k < i ≤ n.¥âà㤭® ¢¨¤¥âì, çâ®áç¨â âì, ç⮏®«®¦¨¬® ⥮६¥ 1.50 ® £®¬®¬®à䨧¬ å ¨ ¯® ⥮६¥ 1.121 ¯®«ãç ¥¬…᫨1 ≤ i ≤ k,A ' F/B ' (Ze1 /N1 ) ⊕ · · · ⊕ (Zen /Nn ).(5)Zei /Ni = Zei /Zdi ei ' Z/Zdi .(6)⮏® ⥮६¥ 1.118 £à㯯 (6) à §« £ ¥âáï ¢ ¯àï¬ãî á㬬㠯ਬ à­ëå 横«¨ç¥áª¨å £à㯯.…᫨k < i ≤ n,â®Ni = 0,¨ ¯®í⮬ãZei /Ni ' Z.ˆâ ª, ¯® (5) ¯®«ãç ¥¬, çâ®A ' (⊕i Ci ) ⊕ H,£¤¥Ci{ ¯à¨¬ à­ë¥ 横«¨ç¥áª¨¥ £à㯯ë, ¨H = Z ⊕ ··· ⊕ Z.{z}|n−k® ¯à¥¤«®¦¥­¨î 2.2 £à㯯 H᢮¡®¤­ .Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2.15.

ƒà㯯 G ­¥ ¨¬¥¥â ªàã祭¨ï,¥á«¨ ¢ ­¥© ­¥â ­¥âਢ¨ «ì­ëå, â.¥. ®â«¨ç­ë© ®â 1, í«¥¬¥­â®¢ ª®­¥ç­®£® ¯®à浪 .‘«¥¤á⢨¥ 2.16.Š®­¥ç­® ¯®à®¦¤¥­­ ï ¡¥«¥¢ £à㯯 ¡¥§ ªàã祭¨ï ᢮¡®¤­ .Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2.17. ®¤£à㯯 ­®áâì ­ã«ïU,çâ®H ⊆ Rn ¤¨áªà¥â­ ,¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â â ª ï ®ªà¥áâ-U ∩ H = 0.’¥®à¥¬ 2.18.„¨áªà¥â­ ï ¯®¤£à㯯 ¢Rn ᢮¡®¤­ .„®ª § ⥫ìá⢮. ® á«¥¤á⢨î 2.16 ¤®áâ â®ç­® ¯®ª § âì, çâ® £à㯯 ¯®à®¦¤¥­ .

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