Диссертация (1105278), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Главное внимание уделяется исследованию прямой задачи для общего случая, когда частицы метаплёнкиобладают бианизотропией.Отметим, что примерно в тоже время, когда была разработана даннаяметодика [15], была проведено аналогичное обобщение в работе [13], которое,однако, учитывает только одну поляризацию падающей волны.4.2.Аналитические соотношенияПусть метаплёнка представляет собой двумерную периодическую решетку,составленную из малых поляризуемых частиц, расположенных в плоскости xy,как показано на рис.

4.1. При этом, использовавшая в главах ранее система координат является собственной системой координат резонатора. Соответственносами резонаторы могут быть ориентированы в метаплёнке произвольным образом. На метаплёнку, находящуюся в однородной изотропной среде, имеющей материальные параметры µ0 и ε0 , падает плоская однородная электромагнитнаяволна.

В результате рассеяния волны на метаплёнке образуются прошедшая иотражённая волны. Все указанные волны являются монохроматическими. Каки в предыдущих главах используется временная зависимость exp(+jωt).Рис. 4.1: Системы координат метаплёнки и резонатора на примере П-образных частиц.Пусть, как и ранее, свойства отдельных частиц описываются матрицейполяризуемости kα̂k, состоящая из четырех блоков:p~/ε0Zm~где Z =!! α̂e α̂em E~= me,m~α̂α̂ Z H(4.1)pµ0 /ε0 — волновой импеданс вакуума.

Элементы матрицы поляри-зуемости могут быть определены как расчётным путём, например, с помощью77метода представленного в главе 2, или другими методами, так и в результате эксперимента. Важно отметить, что полученные значения матрицы поляризуемости необходимо переводить из системы координат резонатора в системукоординат метаплёнки, в которой записаны все соотношения ниже.Размеры частиц в метаплёнке и расстояния между ними d много меньшедлины волны. Благодаря этому отраженную и прошедшую волны можно такжесчитать плоскими и однородными везде за исключением тонкого слоя высотойв 2–4 периода d в непосредственной близости от метаплёнки.

Волновые векторы падающей, прошедшей и отраженной волн (~k i , ~k r и ~k t ) лежат в плоскостипадения xz. Можем записать:~k i = ~k t = {~ex sin θ + ~ez cos θ}k0 ,~k r = {~ex sin θ − ~ez cos θ}k0 ,(4.2)√где θ — угол падения, k0 = ω ε0 µ0 .Для рассматриваемых плоских волн имеются два основных состояния поляризации, которые будем обозначать индексом s или p, в зависимости от ориентации вектора электрического поля перпендикулярно (senkrecht, нем) плоскости падения или параллельно (parallel, нем) плоскости падения. В общемслучае падающая, прошедшая и отраженная волны могут иметь как s− , таки p− составляющие. При этом задача определения коэффициентов прохождения и отражения сводится к нахождению зависимости комплексных амплитудных коэффициентов прошедшей и отраженной волн от амплитуд s E 0 и p E 0 ,характеризующих падающую волну.

Для распределения напряжённости полейs−поляризованных волн имеем:E i = ~ey s E 0 exp(−j~k i~r),s rE = ~ey s R exp(−j~k r~r),sE t = ~ey s T exp(−j~k t~r),1s iH = (−~ex cos θ + ~ez sin θ)s E 0 exp(−j~k i~r),Z1s rH = (~ex cos θ + ~ez sin θ)s R exp(−j~k r~r),Z1s tH = (−~ex cos θ + ~ez sin θ)s T exp(−j~k t~r).Zs(4.3)78Для распределения напряжённости полей p−поляризованных волн имеем:E i = (~ex cos θ − ~ez sin θ)p E 0 exp(−j~k i~r),p rE = (~ex cos θ + ~ez sin θ)p R exp(−j~k r~r),pE t = (~ex cos θ − ~ez sin θ)p T exp(−j~k t~r),1p iH = ~ey p E 0 exp(−j~k i~r),Z1p rH = − ~ey p R exp(−j~k r~r),Z1p tH = ~ey p T exp(−j~k t~r).Zp(4.4)Здесь ~ex , ~ey и ~ez — орты прямоугольной декартовой системы координат.

В общем случае падающая, прошедшая и отражённые волны могут иметь как s−,так и p− составляющие. Таким образом, задача нахождения коэффициентовпрохождения и отражения сводится к определению зависимости комплексныхамплитудных коэффициентов s R, s T , p R и p T от амплитуд s E 0 и p E 0 , характеризующих падающую волну.Для получения требуемых зависимостей используем граничные условия,предложенные в работах [11, 95], которые определяют связь между скачкомнапряженности поля при переходе через метаплёнку и поверхностными плотностями поляризации и намагниченности и их производными:0+ ~ t − [~ez × ∇t Mz ] ,~ ~ez × H= jω Pz=0− 0+~E× ~ez = jωµ0 M~t − [∇t (Pz /ε0 ) × ~ez ] ,(4.5)z=0−0+~где E z=0−0+~и H— величины скачков напряженности регулярного макро-z=0−~ и M~ — векторы поверхскопического поля при переходе через метаплёнку, а Pностной плотности электрического и магнитного дипольного моментов, равныедипольным моментам приходящимся на единицу поверхности.

Индекс t обозначает компоненты в плоскости метаплёнки, т.е x и y.~ act (~rl ) иЕсли известны величины электрического и магнитного полей E~ act (~rl ), действующие на частицы метаплёнки, то поверхностные плотности поH~ и M~ можно найти, по аналогии 4.1, на основеляризации и намагниченности P79средних значений поляризуемостей и концентрации частиц:~ =< ε0 nαe > E~ act (~rl )+ < ε0 Znαem > H~ act (~rl ),P~ act (~rl )+ < nαm > H~ act (~rl ),M~ =< nZ −1 αme > E(4.6)где угловые скобки означают усреднение по поверхности метаплёнки, ~rl — координаты точек, где располагаются частицы, а n = 1/d2 — число частиц наединицу площади метаплёнки, d — постоянная решетки. Эти соотношения являются обобщением формул статьи [11] на бианизотропный случай.Переход к континуальной модели [11] позволяет представить действующее на частицу поле как разность между средним арифметическим значением~ av , H~ av ) и деполяримакроскопического поля над и под поверхностью плёнки (E~ disk , H~ disk ),зующим полем, равным по величине среднему полю малого диска (Eнаходящегося в месте расположения частицы и поляризованного с поверхност~ и M~:ной плотностью Pactavdisk ~~~E (~rl ) = E − E , z=0(4.7)~ act (~rl ) = H~ av − H~ disk .Hz=0При этом в общем случае можно записать:disk~~ ˆ P,E=∆z=0disk ~H = Γ̂M~,(4.8)z=0ˆ и Γ̂ — тензоры деполяризации и размагничивания.где ∆В соответствии с исследованием [11] , если метапленка представляет собойквадратную решетку, состоящую из идентичных частиц, элементарные ячейкикоторой ориентированы вдоль осей координат x и y, то можно полагать:1100 00− 4rε0− 4r11ˆ =0−0,Γ̂=(4.9)∆ 0 − 4r 0  ,4rε011 00002r2rε0где r = 0,6956d для рассматриваемого случая квадратной решётки [11].80Подставив (4.7), (4.8) и (4.9) в уравнение (4.6), можем переписать их ввиде:!! α̂e α̂em E β̂ e β̂ em P/εav~~0,= n me me m m~ avα̂β̂α̂ Z Hβ̂ Z M~(4.10)где в левой части стоит матрица деполяризации kβ̂k (6 × 6), коэффициентыкоторой определены следующим образом:eβije = δij + nε0 αik∆kj ,emβijem = nε0 αikΓkj ,meβijme = nε0 αik∆kj ,mΓkj ,βijm = δij + nε0 αik(4.11)где индексы i,j могут принимать значения x, y, z.Таким образом, в метаплёнке, состоящей из бианизотропных частиц, связьмежду значениями электрического и магнитного поля с одной стороны, и поверхностной поляризации и намагниченности с другой стороны, оказываетсяболее сложной, чем в рассмотренном в [12] случае, когда магнитоэлектрическая связь отсутствует.Если ввести матрицу эффективной поверхностной дипольной поляризуемости: kᾱk = kβ̂k−1 nkα̂k, то решение уравнений (4.10) для плотности поляризации и намагниченности можем записать в виде:! !eem av~~P/ε0 ᾱ ᾱ E= me.~ avᾱZ M~ᾱm Z H(4.12)С учётом выражений (4.3) и (4.4) выражения для средних полей имеютследующий вид:~ av = 1 exp(−jk0 x sin θ)[~ex cos θ(p E 0 + p R + p T )+E2~ey (s E 0 + s R + s T ) + ~ez sin θ(−p E 0 + p R − p T )], (4.13)~ av =ZH1exp(−jk0 x sin θ)[~ex cos θ(−s E 0 + s R − s T )+2~ey (p E 0 − p R + p T ) + ~ez sin θ(s E 0 + s R − s T )], (4.14)а выражения для скачков полей:0+~E= exp(−jk0 x sin θ)[~ex cos θ(−p E 0 − p R + p T )+z=0−~ey (−s E 0 − s R + s T ) + ~ez sin θ(p E 0 − p R − p T )], (4.15)810+~ZHz=0−= exp(−jk0 x sin θ)[~ex cos θ(s E 0 − s R − s T )+~ey (−p E 0 + p R + p T ) + ~ez sin θ(−s E 0 − s R + s T )], (4.16)Подставляя выражения (4.13)–(4.14) в (4.12), а также вводя модифицированные следующим образом коэффициенты поверхностной поляризуемости: ccccccᾱ cos θ ᾱxy ᾱxz sin θα̃α̃ α̃ xx xy xz   xxα̃c α̃c α̃c  = ᾱc cos θ ᾱc ᾱc sin θ  ,(4.17)yzyy yx yy yz   yxccccccᾱzxcos θ ᾱzyᾱzzsin θα̃zxα̃zyα̃zzгде c = {e, em, me, m}, получим:1{Pa /ε0 } exp(−jk0 x sin θ),21ZMa = {ZMa } exp(−jk0 x sin θ),2где введены обозначения:Pa /ε0 =(4.18)(4.19)eememeeem{Pa /ε0 } = s E 0 (α̃ay− α̃ax+ α̃az) + p E 0 (α̃ax− α̃az+ α̃ay)+eememeeem+s R(α̃ay+ α̃ax+ α̃az) + p R(α̃ax+ α̃az− α̃ay)+ ,(4.20)eememeeem+s T (α̃ay− α̃ax+ α̃az) + p T (α̃ax− α̃az+ α̃ay)memmmemem{ZMa } = s E 0 (α̃ay− α̃ax+ α̃az) + p E 0 (α̃ax− α̃az+ α̃ay)+memmmemem+s R(α̃ay+ α̃ax+ α̃az) + p R(α̃ax+ α̃az− α̃ay)+(4.21)memmmemem+s T (α̃ay− α̃ax+ α̃az) + p T (α̃ax− α̃az+ α̃ay),где a = x,y,z.С учётом сокращённых обозначений выражения, запишем также для производных плотностей поляризации и намагниченности по пространственнымкоординатам:1(4.22)∇t (Pz /ε0 ) = ~ex (−jk0 x sin θ){Pz /ε0 } exp(−jk0 x sin θ)21∇t (ZMz ) = ~ex (−jk0 x sin θ){ZMz } exp(−jk0 x sin θ)(4.23)2Подставляя выражения (4.15), (4.16), (4.18), (4.19), (4.22), (4.23) в условиесшивания полей (4.5), получим:1(~ey cos θ(s E 0 − s R − s T ) − ~ex (−p E 0 + p R + p T )) =Z11 {ZMz }= jω ε0 (~ex {Px /ε0 } + ~ey {Py /ε0 }) + ~ey (jk0 sin θ)(4.24)22 Z82(−~ey cos θ(−p E 0 − p R + p T ) + ~ex (−s E 0 − s R + s T )) =11= jω µ0 (~ex {ZMx } + ~ey {ZMx }) − ~ey (jk0 sin θ) {Px /ε0 } (4.25)22Запишем полученные уравнения раздельно для x− и y− компонент иучтём, что ωε0 Z = k0 и ωµ0 /Z = k0 :jk0{Px /ε0 }2jk0jk0cos θ(s E 0 − s R − s T ) ={Py /ε0 } +sin θ{ZMz }22jk0(−s E 0 − s R + s T ) ={ZMx }2jk0jk0cos θ(p E 0 + p R − s T ) ={ZMy } +sin θ{Pz /ε0 }22(p E 0 − p R − p T ) =(4.26)Подставляя выражения (4.20) и (4.21) в систему (4.26), и производя перекомпоновку, получим линейную системы уравнений четвертого порядка длякомплексных коэффициентов прохождения s T , p T и отражения s R, p R для волндвух ортогональных поляризаций.

Характеристики

Список файлов диссертации