Топологические и траекторные инварианты интегрируемых гамильтоновых систем (1105039), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Е . '~ ',', ВдЕ )((С вЂ” Р) ~6 — Й 1 ()И 6 ~О,~,С) = )Г ()~()+ 6)',1(+ С~ )1+ И Уй РЕбРбж 1) < 1 < с м.к7ИЧ) ЧНИЦ,И((д ММЕЕт бмд Д вЂ” 1 -..). „1(а. 5, С! ',.:.дс И~,С вЂ” ()1(~, — 01 ) ~ 6, ~) „(: 1 = — Я' '~ С~,'11 + 6)',7~', + й) Р(1(:СМО1~)И)1 ГО11(~)Ь:)ГАДЬ) Г1' -")Й:1. Рй О 1)~)В1Ц(ННН Тй("1)ДОГО Т(Дй НО1 Р;-Г 11РНТРВ ЪЫСС, С НУЯРБОЙ КОНГ ГИ ИТОК И))(И ИЙД("Н ). П1)1)й М("')"~)ИЛ) И ОИ Дачи ЯВЛЯ)ОТО)1 ТР11 1',12И11Ь1( МОХ$6НТИ 11Н(Р1111Н ТБ(."РДОГО Т6ДЗ.
1/Л., 1,~8., 1/(.. (А. $~ В ~ С), ЗТВ ЗЖДЗЧ3, ПОД~й)бНО ОП)1( ИИК В 1..1)18( 1. КВН 6Ь1ДО ПОК::.311- НО. ЗНАЧИ )К 1('1)11 МОЮ('1' бЫТЬ РЙСОМОТ~6НЙ ЕЗК ГМ111ДЬТОНОЙИ ИК ЩНОГООбРЗ)ИИ (Ц 1 ~) = 1, ~') Оу', ГД(' ~1 = ) 1 +Г" + Г(. ~ ~ = -5 ~Г~ + 6))') -~ Я(Х',, ЗТ(). ЗВ.,ДЗЧЙ. 'ТИК)1((' ЯВЛЯ('Г('Я 1)ОДНЙСТЬЮ 11НТ('.ГР111)У('".4О)1 ПО,~111ъ1)11Л.1)(у (' ГНЪ)Н)1ЬТОН11АНОМ 47 ) ООТ))СТСТЦЕННО Д;-~Йдсм пс))иоды ДЛЯ аълачн Якоби о 1'еодезическйх ЯБ ')ллипсоиДах Напомним, что ука;)Йнные "Три периодические траектории В 3"Гом случае '"оот))етс~ау")от:))тнпсзм В Сечениях эллипсоида плоскОстями ~я = О~ ° 9~ (устоичизые трзскторни~ и (ф = 0~ ~неустОЙННВяя 'Граекторця), )).Оскольк1' на )'еодеаически): параметр натура щ.')) то отн~:мнение ))сднодОВ ОО~)ашсния по этим Орбитам раано Отношени)о длин соОтВетстау)ощКх алЛИПСОВ.
т.е, ~) . Ф2: ~а = Ь,а, 6,'~: ~~а. С) ." 6,6, с). ~ 23Г ).'(О„,3~ — - / у'асов').'+ да)п 1~Й. А 'Гепсоь рассмотрим общий случай а ~ 6 ~~ с )) ))опытаемсЯ обоб~1ть 7чченньп1 иная)Вант ~2.2) па случай аллипсоидОВ Врап)Синя. П~)н а = 6 — с мь). имеем сфер)у. Геодеаичсские нъ ней — это большие у":ности. Вес опи замкнуты, и периоди об1)ащения по ним Одинаы, По)тому фо~)мально положим 1) .' ~) '. 1а = 1: 1: 1.
Храекто~)- : нп))а~)нанты В а Гом случае тс~)якн." смысл, и формально ИОжнО пОлоть ~Й ) = ж), -"х)! Заметем что формально построснн))я четВерка — 'О, 1: 1: 1„'~ есть предел иназрианта ~2,2) при о: 5: с -+ 1: 1: 1. Пусть теперь соипадйк)т тОлькО дае пОлуоси ЗллнпсОида. Для Оп~Я"; енности будем считать, что о = Ь <; с, "3.'о~.да система и)леет Одн~. устоЙчиаук) пе~)иодйче~ кук) траекторик) окружность В сечении Зллипсоида п3тоскостыо .(л — О~ ПОВеление блиаки)с к нс)) ссо ~~с )нчсски~ качестаенно ничем не ОМ$ичаетсЯ От поВедениЯ Геодю')ических В окрестиостн устойчиаых периодических траекторий длЯ Зллипсоида с раоличными полуосЯми. Поатому кОрректно определены инВарнанты системы Ца„а,~,", и ~(а, а'1 — предел функции щюпмния и период Вдоль геодеаическон.
Картина менЯетсл ли)пь при поДходе к большому эллипсу с каа Дратамн полуосей а, с, вращенисм котороГО бь)л получен млипсоид, В Г, ~;Рдвндввя ~2.6) и «2.7)1 11Олуч6614, чу ню~ьвснвтВО ~ ~ ~,' А~ЛИ~' С.ЯДОВИТ'ТЬ ИВ Я6$МБОНСХВЙ ~~~,с) Г Й(1,с) 2~г ~ ф„с) +2т йп', ЛО-лр~ГОьГ~", ОООзнычал Аля КРЗГьюсти 1~~) = Ф(1, ~:), 1~~с';~В- «с) — 4Г'Г) — Вт с ~. О. Длй ~ О~-О, 'и.
Обв~ лО~а~~~ь ~~О нвраввн~~вО. ВООпОл~~аув~~.л РввлОл~внввм 1~ с) В РЯД пй ~." Жб~.'~~~ывйл ч.~Ив~ алла, вв~инвл ~ ~в~~вр~О~"О, пОлучл~::л Оцвниу ~~и Б~лй выра,женив 21 ф — 4т с в формуле ~2.8) ~йй~й~ нулй. ~й в~О ЛажаЗЙНО, ЕСЛИ ЯЫ ОНО ООЛЬПЙ! Н~ЛЯ, ТО ЩИТОВ ОЦСНКЭ Пусть 'ч = ЪЯГжс1 Н вЂ” Г))мильто)1ОБй системн с )) степекЯми сВОбоды, эйДа1ыдм нъ 2й-мерном симплеитическОм мнОГООб~)ВЗии .1И ". Предполо'Ф'им, что этй с)1стемВ полностьк» интеГрируема, по ЛиуБиллк) щ)и пОмо- ЩИ Нсй1)~)а ПОЧТИ ВОН)ДУ НЕЭНВИОИМЬТК ИНТЕГраЛОВ Е = (Г)) ° » ° ) 1'))~, )ДЕ Р1 —— Ы.
Га ..мотрим Ос бу)О (невьц ) .деннун)) ..% и че жук Орбиту пуасо)ноак дсйстБИ~ О ранГБ Й.. Будем СЧИТатЬ ГБмильтонОБу систему ~' = ~о) йА Й. й. та)сже фуп1сПии Р',,..., Е„ОГ~)аничснны~~ нй небольп1у))) окрестиость Г10''1 1, Ы2"" этОЙ Орбиты, не содержащую Орбит мекыпей р))зм:".1)ности. Пус1ь Н 1= 1.. ~М "), Осли ~н)чь идет О непрерьГБном тра еитор11ом 1)н))Бр11Бнте, и ХХ Я С ~Ы ''1., если Речь идет О Гладиом ииийриан)е. Будем предпола.Гать, п'О Б Оч)естйости Орбиты 6 Бсе Орбиты пуассоиОБа деистБи)1 )помпа)этны, Кроме ТОГО, мь1 будем $~~:смнтриБй;~ь ТОЛЬКО НЮ~)ЕЭОНЗ,НОНЬЧЕ СИСТЕЫИ.
Рассмот~)им спОение Лиузклля,О~~ ~0) ) Оерестнос'Ри орбиты О. Уийо.)1 то 1ии п~)остранстБИ В~~Уфн наэыБается раэмерность соотБетстБу )О)ЦеГО слоя. ПрострйнстБО В~Уф)) й-мерно и Диффеоморфио ОбрйЗ~ Окрестности 1. (О~ при Отображении мОмента Р: 1' ф~ -+ К, Р~,ж) ф1 ~У),..., Р„1'ж) 1 111)и "ЩиВильном" Наборе Дополнительных интеГ1)3, Пой В сБОВ3 Очередь, В соотБетстЗии с теОремОЙ,ц1офй — Мо,п1ИΠ— Злиассо- при 7 = Й ~- 1,,'и, Здесь С,' и В~ — некоторые постоянные, зйзисящие От Выбора нй ~йльнОЙ точки.
Это Однй ~Нет, СТО Дви:копие по тору (и = ООВЙ1 ~ РЙОЙЙВДь~ваетов В су.ли~ 1ъйвномернь~к Дви:кении по ОкрУ~квостйм — (Й; = сопвФ .~; ~) с чих;тбтйми Л:,,1п) при 1 = 1„, 1; и 2й,„~м', при ~, = 1; †' 1,...,Й соответственно, '-1ислО вращения нй торе рйвно ОтнОБхеиик> этик чзхтот: В силу условив 4Н ф„..., О) ф 11, вое компоненты Итого вектора не абра- ЩЭЛО И" В В НУЛЬ ОДНОВРЕМЕННО.
ЗЙмечйние. Мы предположили„чтО функция Н приейд,микит клйсеу Гладкости С . Это Ознйяйет, ч'хО Онй принйдлежит клйосу Глйдкоети С пО переменным ю;. Й Функция щмщения припйдлежит клййсу С . Если , ' мы функция .Б п~зинйдлел~ит клйссу ГЯЗдкости С ) ТО фуикция Вращения Окййьд3Йется (~ -ГлмдкОЙ. 3.ольео в последпсы случйе иъмет смьсл ГОВОрить О ГлйдкОЙ ВквивйлентнОсти. Язв"Ге,)хьстБО теОремьх 3 Оди~' сторонъ' докЗзйте)хьстВО Оче- Вид©О; траскторньхй Гоыемщ)фиэм )„Йиффе(йжо~3фиЗм~ Охи эллиптическик Орбит индуцирЯ'с'.Р Гомеоморфизьх ~'Диффеоморфизм',~ ЛИУВНЛЛЕВЫЖ СЛОЕНИИ, СОК~ОН))ХОХЦ ф„ Ии' фУИКпихо ВРжПВЯИЯ Дока)ке)( Обратное утвер)((Деиие.
ПУсть ъ' = В~УВЙ Н и (' = 8$тж — - ЛВВ иерсзонихсньхе И1 С, (.)граничим их на Окрес гности Уф) и О~О") О и ) )), П сть с ОВННЬГП В УСЛОВИИ ГОМЕОМОРфиэм 1 ДиффЕОИОРфИЗМ) ЛИ~СВИЛЛЕВЫ)( СЛОЕИИй „У~~~~О)) н Б )~У 10)), Докзжсм, что этох' гоыеоморфиЗм (диффеомо~ъ- фиэи) продол)кельт(...л до траекторного голосо) хорфизмв ~диффео) хоуфизМа) ОКРЕСГНОСТЕИ / ) Ц " Г',О) (У'1"0"'.
Длл этого В Обеих систсмьх перейдем к прдВильньхм коорлххиетйы Д)~', ф) и ~ф), Д ). Как и ~иххьпхе, Обозначим й — ф~', Й; = .Р; П1)Н $ = 1,...,Й*, ((( Р + Д), Я = Ц);„ф) Р ).' + 1,, и. Иэ теоремьх 3.1.2 слсд~ет, 'ГГО лиузиллсиы слоеиия ,В',Г 1О)) н х ')(/'1('.)'1) диффсоморфиы соогиетстВсиххо Окрестностлм ну- лей областей И" = )и, ~ О, ). '= й+ 1) ..,,)х) Р и хх" 1' + 1...
-,))) Г Я . ТОГДА хоисоморфиэм (диффеоморфизм) ф мнлуци- ))уст гомеоыо$)фнэ)( ),'диф(реоморфнэм) Оолистеи Б' н Н", кот'Орь)й ьхьх ОООЗннчим ТОЙ хке б7'х(ВОЙ (,"). Вулси с')итить. НТО при гомеоморфцэихс:;; ГидерплОскосхи (и( =' О~ Г, псрекодлт В соотВетстВухопхнс гиперплоскос*хи ~'~„—.- О~~ при х = '". + 1, ..., х) В п$)Отнином с)хучае ИУ2ено ххеренумс$)ОВ()ть координ))тьх. Пусть хх' = ф~(х).
Построим «ледухохцее Отобрехиение Окрестиостей Е'~В) и (."('О)): Онех)илно, пто ткк()( Отобрии(еиие Вэинмио Одиоэна(НО. Поке)кеьх, '(ТО Оно дает трнех(торньхй х Омеоморфххэ:х ~дххффеоморфххэи). Дейстиите хь- НО, С,ЛСЛВЕМ ЭВ)ЛЕНУ ВРЕЬХЕНИ.* дФ'~ ,(, — ' -+ О ПРИ ((( Дф( .' ООРВПМСТСЯ В ИОЯЬ П1)ОДОЛЖИМ ДОКЭ'ЪЙТ(!ЛЬСТВО Т('ОфВМЬ(. ~ ВС Р, Д, ССЬ(ОТ НЪ1 ДЛЯ ОПДСЯВЛСННО- — — »„~ ~. ( = Й + 1,..., Л, В СОПУТСТВИИ С .МЬ(- СУИ фУПКЦИЮ Р = ~~'( = Я~у ф~~, ( ~1 .
'Ъ ИМВ ПО КОЙ 3, 1. ' Она нсщъ~.";Рмзиа м нхи'..Вт иющн'.$эьтВпью част ИЬ~В Пт~ОП. ВОД ВСЕМ ПВ~С346ННЬ(М ВСЮДУ ЗЖ ИСКЯЫЧСИНВЫ, О$йТЬ МОЖВТ, ГП1ЩъПЛО СКОСТИ ~И( = О), НайДЕМ ПРЕД(ЯЫ ЧаСтНЫХ ПРОИВВОДИЫК Р, ПО ВСЕЬ 'Р О ВСВМ ПВ СЫВБИЫМ иа;АРГОН Гнпб~ъплОсКОсти; ф; -; ~-(д1>~) ~(ОЯ;) Щ фь; 1ЬСКО.ЧИКУ М,— -+ О ПРИ ((, — Ф Й И ф.";~,0, .. „Й) ф О. ТО ВЧ'О~)ОВ СЛЙк~адм~ (.'мО(" ст~ъ('Кит(м к И$лю п~и п~иблйл:снни к ГнпВ~плОскОсти, а и('.РВОВ П~.".П1П'РЫВИО. АНЖЕЛО. ИчНО и;~д(:>;)Ддц.,) О ( (а;+ и ),'дд',/'~ди;) 2ъ'~'; 1, ((( + 'м ) д(,', Ц ~ б~ ) ~4Р~', ОЙ» 1~ (6'М;~ ~~'Р( ;~;(~„'~д(,'.;)/ ди ) Итак, Всс чистнь(В ИООизВОдныВ ~»', пО ~»,. ф с~((цВстВ~ ~~т и испрс~ыпн~~ В Ок~мстиОсти нуля.
АНВАОГичиОО утпсрждюнню ВВднО для ~д* 1~.$~ОмВ '1 ОГО., Аа'ЦИНИПИ»1ЕООИ В Е~'ЛО ИЬЫВТ ДИИ"ОНЗЛЪНК(И ВИД И БСО ('.(". ДИЗХ'МИЛЬНЫВ а$(Ву (3НТЬ1 ОТЛИЧНЬ( ОТ НУ;|Я ~ТО ДОК;.:~ДУЦВУТ ЧТО ПО(ТРО(~ЦИОС ОЧЕРК и(ВИН~. ф,. ф) ~-+ ~;;, О',.) яВяястся днффВОь(ООфн~ь(Ом. Ъ.О~~ь(В, дОкалана.
1~ак уж(' Отх(Вчз.чОсь; В нЮРВЗОКВнснОм сяучаВ п~ОстранстВЙ .8(С (О ') Н Б'~ ~.'"'~',О'.~) ОГ(РВД1ЯВНЫ ННВВ~)НПНТИО ОТНОСИТЕЛЬНО ВЫООРВ, ДОПОЛНИ"~ВЯЬ- нык ип ГГГ1аалОВ Г~,.... Р„и, сл(.,ЛОВВтсяьнО, с~~цестВОВаниВ ОтОб)эВ.й сиия 'Р ОП~КД(~ПЯВТСЯ ТОЛЬКО ГИ3ЛИЛЬТОНИЗНОМ. ОДНПКО ДЛЯ П~М*КТИЧССКОИ ПРОВ(5~К~Р К~~ИТ~РНЯ ТР ~ВЕКТОРНОЙ ЭУ ЦНВВ ДОЦТЦО('ТЦ ~ГЦ~ ~бНО~ъ П(~У~РЦ~ТН О~Т ОТО О~ажсиин леуВилл(!Вь(х сяОВннн к ОтОбрйжсйиям, Зздзнным на Об~ззйх ОТОб1ИХРКВННИ МОЬ ЫНТОВ. Докаианная теОрема упрохцает зада"1У кдассифнкации ИГС В ОкрестнОИТИ ПОЯСОКЕН11Я ~ИВ 1ОВЕСИЯ, ОДНВКО В ~2ЕаЯЬН7ъ1Х ф11ЗНЧЕСК11Ж ЗаДачаХ ЩЪОВер11ть скпв.ствова11ие требуемо1 о Преобразования, сокранян1~~ето фуйкциэ~ Вран1ен11я, достаточнО сложно.
Поэтому возникает жеяаиие постро11ть яе1ко вы'111слимый траекторный инвариант, кяассифициру1О- щи11 И~ ~ В Окре~:~~1т ~~ ти Ъ$$1э.птит1е~ 1; ОЙ орбит1~ ()~1евндно преД~ЬВ ф.~Уик 11ии;~рап1ения при стре.'1Яении к Орбите 0 ЯВЯЯется траоеторннм инвари" а11то''Л„однако Он ие полон. ~'дсьсто1 построить Лишь ~'Добно ВЪГ1ислнмьБ$ пблный "мадкзй траекторнь1Й инвариант, при'10м результат явяне Вся со,1ер'кательным лип1к В случае ИГС с двумЯ стененямн свободы. Кроме *О1 О, наибол~ е иит~ росной Является проблема о срав11енин систем (с тра; ~кториои то*1ки зре11ия',1 В окрестности злл~й~йй 1еской Осо6ОЙ 1по~1кв, гяп В Окрестности пояокен11я равновесия, Именно этот результат мы и фОРЫ~ЛИРУЕМ.
Рассмотрим 11ерезонанснун1 ИГС иа м11О1 Ообразии М'" и отраиичнм ее на окрестность зЯЯ11пти 1еснОЙ ОсобОЙ точки ~ — эллиптической Орбиты ранГВ 11 Введем прави и ные координаты ~~21 Ря я1 ф) В Окрес тностн '1'Очки .~11, Пусть„как н,~эаньше, В; = В; + О;, Рассмотрим проектнвный Вектор иран~ения фей-, ня) = ~.Б,„: .Б„.,~ в зтои Окрестности.
Пусть, для Онределенности ) .Бц ~О д) Отянчио От нуля 1 ОРда ыожно считать что 11 Н, --- зто ойь1чная функция, равная —. Н„, А47 76ф В Т" ОбЩИМ, В СЙОТЗВТСТВПИ СО Поясним, иочо77у Этот с'Гудбай ЯВл776ти3 щит, 7'мдстВИВм 3. 1. 1, 77ножВстВЙ д Остков ИГС В окр6стноо тях эАлип Гичб" Гк77к Особык 'ГО")Вк нахо тс .; б . " ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
