Топологические и траекторные инварианты интегрируемых гамильтоновых систем (1105039), страница 7
Текст из файла (страница 7)
нйдбдй:м*.йннэ)'Й нй рнс, 8й ~ ) -АФВшкй яйэнй ндА)о нй В':6РЙГ )' н )".Ййнй 1~2 нй 1)еббр)Йт Л" м ЛХ, 2ф04$е лъйао, и-меР)нй оаэнй — 1 нй О'м))э И, 6'-мб)пкн РЙВны 1 нй бсэх рэбрйх ,9' Длм энйн~'.ннм 'н~1)эню мэ БИУиерЭЙ4Й ~ — 1, 1),~мо4энДАЙ Ймееш ему; нэаб;)ажанньгм на Рнс. 86) т-иеттц нй Всех Ребрйт равны нулю, п.м~",Р)кй ~йонй О нлн — 1 ~ э эйэнснмос7нц Осй оянсн)пй17и4 т$066~)2но,.)дн ф ~ нд с~", щ~е ~» ~~,це1ццц рйэну, 1 нй Оссд,* ос~рцу.* ,"~ Кррэоаал молекула для )цонкц '1,0~ )„-- й'-'(Ь, Д ВЯМражена на рнс.
ЗЙ. Мои)сы ) нй эс~",."): Р~'.фй): ~)йэнэ) 1/2, н-~4Й)ннн нй йс~.:с сйнэлэ ~)йене) — 2, с-.~~с)ннн рйанэ), 1 нй 1)эгей;с ХГ и 7ХХ и ~)ЙЙнэ~ -1 нй р~.:- брат Л». ЧокааатольстБО. ~1ри Вычислении меток Воспольаусыся злгорптыом„ Вэлк+ нным В И Рассмотрим сначала многообразие а. саотцотстВУ- ))Щее ~~роцнк) Энергии А .~ 1 «рис. 86). БуДсм ДнитэтьсЯ по молекуле И: Я,, 'от Верхнего атома А е нижнему. Перестройку тороВ иа накры тии Ц ыо'кно Описать с помОЩьк) простОЙ схемы, ДЯЯ ъДОбстВа ВВеДе)) Некто;.)ы 6, =- (1,9"! и е2 = (О„1) В плоскости К", и пусть Вск)ДУ Далее щ и и обоапача)от Пелыо числа,.
Гог~а сеема примет сле~укиций Внл: 4ТОМ .4. Ф Рождению лиуаиялеВЗ тОра 7э из Оеру2кности Я вЂ”:- ",~1 = Я/(2пс~~ соотэетстВует рож:ение тора Уг иа Оеружности ') = Й 1 = Й/(3м~~. .Рэбоо 1, ЛБ,")'Внлясн'~' тор~: 7~, —— Й /~277ы1 + ам~)~ соотВетстВует тОр Т) 7' Ц., 2 6,,'».э)~ = Ы(2тп~::) + ОВЙ~, причем циклы ",~1 = ~2' = Я ~сВяаный), ЯнхОдим," à —" 11, = = 1 нз Вс11х рРбрзх, Й = О нз. сс14ьВ А". Р~1~ У11Ок 1.'1 иддВ1сУРдРУзт п1'РВстРОЙИУ ТОРОВ ~1 и ВыООР ци1сдОВ ~ В 1щзя 111щ)ицз зыписыВзнтся з,нзлОГИ чя0.
НзлОдим й = — 2 «1Й снмВВ -1',;", = — '2 йз С1".мз1 В, 1 = 1/:., ' = — 1 1~. РВ6Р~ 1'~", Кх р11Х. 16 НЗОбрЬЛ~А'.Н ПрООбряЛ '.ГОяИИ ~Ь, 11 1 = ~1, О). ЭТО ЛВЗ ТОрЗ„ 1;ЛЮ„„".иННЫК ВДОЛЬ ПХРЗЛЛР%11 И МЗРИДИЖНЗ, ОбОЗНЗ 1СИНЬ~Х НЗ «ЭИСУНКС КВК 1, Р11«~ 1т11~с1.ОО 1,1НО к~ъстВО Н .~: Р11~ 1 ~ п~ ~кзззн ВВ1бОР НЯ 1 щ~ц ):, Яз СлВДСТВи6 4,4.Х 1'.'Йс1псжы ГЪрАмсйй-~ЙБЛыз11кй кй 11Об~ф1ВОс1ЙЯж ЙО» «11111~11111ОЙ,У111~ З1111 Ь';„11 О„„З1ЕЗ11,~1~',1111 ~ЗЗ11ЗИ.1сй11111Ы 1ООЗдй 11 ТЙО УЖО 1ЗОЗФ1„ЗО'.1~1 .1й11~.Сй1111 Ь1 Ц Ь» О311О11~1С.11сйНО 11Р1111йд.1~."~1СО171 Од11О.11Д 11О 11НР11ф611АЗЗ ~ — 1 „1 1 11Л11 (1, +Ф.'), ПВрс11лВм к зычислсниВ.1 трзбетОрнОГО инВзуижнтз Ж Я~,~).
ПОСИОль11У мОЗ1'куяы В сл~'чйс 1 ~фяч1',Вз; .1зплиГинй СОдсржзт тОлькО зтОмы Видз 11, 4 и В, тО к зтО1иу с.ф 1з1О примннимз тООрил трзВИ.1 ОрнОЙ клзссифн- 1'зци11 1;рОст1йх 1:ЯСTВм) пОстрОВннзЯ В ~1Ц, СОГлэ::.сеО зтОи т(мф11и, тфз; ЗКТОрНБ:Й ИНВарИЗНТ И""1 СОСТОИТ ИЗ Т~ЖХ КОИПОНСН'1". Ь"' = (И~", Д,6)„ Гдс Н ' - — мсчснэя мОлекулз„,й ньбОр ВектОрОВ ВриБыния, 8. 6 — не11ОтОРый чисдОВО11 1111заРиа11'1'.
6-и1111аР11'111'1' нс н11СРт В данном мУИЗО ннкзкО11 допОлннтВльнОЙ 11нформации О трьзктОрнОИ пОВ1дснии системы, ~ «аяитически анвдизи))ОВать фупкх~иВЗ ВржшюинЯ~ зндВННУ)о В тнком Ви У, ЛОГ1 ОТОЧНО СЛОЖНО. ПОЭТ(П4Т ЖНЙЛНВ ПРОВОДИЛСЯ ПРИ ПОМОЩИ КОМ11Ь)о у~'рЖ, ЛН11ИИ Я)ОВНЯ фуНКЦИИ ВрМПВНИЯ «Р,у НВ, $ЪВ6$)))Х 1 И Ц ИЗО6$И ЖВ- яь1 нй рис. 18- С помощь)о творнн Гип9рэялинтичнских функций можно цокэзйть, что знв'"1сйия функций ф ио $)66~)ъх П н 1П Отлйчяотся нй кон ~ УВНТ7 И ПОЭ'ГОМУ ЛИННИ 71)ОВНЯ ФУНКЦИИ ф НФ РВ6РС Ц1 ТВКНЕ ЖВ., КЗК Н ))Я ребро 11. ИЗ рнсуНКН ВИДНО, ЧТО ПОЧТИ ВСЮДУ фуНКЦИЯ ВрВЩЮННЯ МО)1ОУО11НВ, ЗЖ НСКЛ)ОЧСНИСМ НВ6ОЯЬН)ОГО УЧ))СТКВ Ь 1,=, ~1, ЙС)) ЬО 1 2, ХДВ уознукд2т локк льньп1 экстрюмум нв, рвбрс 1, Нн Основн тсоретич~ского н комвькс1'Врного Внйлнзн мо)кно сд6лвть вывод„что ВвктОрй Врйщония нй рЕбрах 1, Ц И Ш ИМС1ОТ СЛЕДУ)ОП1ИЙ ВИД: В11 = ','ОС,О), (;ю,2В) (х, 2Л~, 2Л) 2.Й ~=~с:, ) —.ле гряФ))к Фу11кцп11 В1А) пост1)оган нн рнс.
19, н В. — неоольщое ВозмуЩЕННО, СООТВВТСТВУК)ЩСС ЯОКВЛЬНОМУ ЭКСТРВМУМ~ фуНКЦИИ ВРВЛИНИЯ Р ' .ИВВ быя слсАйн ВИВОд что систюмы, Огрйни" 1внныв нй двю ~)ВЭ" личньы пОВВрхност)1 уровня Гвмияьтониол1ж, трввкто~)НО нйэкниВЗлюнтвы,, 1сли значбнин гамняьтоннэнн йринндлсжит рвзных1 зоннм ~ — 1, 1~ и ! 1, +сс ~. Хвнврь мы мо)ком Отвйтить нж Вотцъос, эквнв))лснтшй ян сисхюыь) из од)1ой вонь), Из рис,19 видно. что зависимость В от Ь стрОГО монотонная.
Это йзйзчйот. что трнйкторкыи инВВривнт И' Щ)„у) для СЕСТОМ ГОРЯЧВВН ЧЯПЯЬХГИНВ„СОО'ХВВТСТВУЮ1ЦИХ РВЗНЫМ )*РОВНЯМ Ь ЭНС1)- Гни, ~)Взли'1сн ~О11 розличйн'х'ся только внктором В~))нцнния лля снстнм, лвжншех В однои зонв). ТЪким Обрйзом, мы получиии слодук)н)ии ~д~'чпп .1111'рьнжз 1(нте~жссн тем, что, В Отличие о)'„' сл)чая 1орячсВВ Чаплыгнна, Он содержит трп параыотра. Бапоыннм, что В(о парам(- т~)лап яВляются постобннйя ппопладеи д, па~)а)(ет~),д и 1"Аддьзя В)ъ)пукляя функция ( ~х~. 11()ЭГОыу ыы ы(6((('~( (;~)айниаа'Гь ыо)1(;.ф солон н6 'тодько Ограни 1ениЯ ОДЯОЙ н то)1 )кс сист('1,(ы на Разные уропин энгр)ыи, но и систеыы (*.
))аз)(ыыи п)ф))ы(".ц)))А(и. ! ('.м ('))мыы (.'уп(е(*т()('ппо расшнряВ"хая область нсследо))а)(ИЯ. и вози)1кас1 ыиого 1л)ГГсрос)(ых попросов, Отобр())кони~". )ЯО)лента пяя (.Пучая,Ъл.р~,|1~а быяо изучено А*А, ОшВыкоаыы й ~42~, Оказалось, что Образ Отобра)хсних )ло)(ента ()сть ынож6- ) () бпфуркаппонн))Я дйжграыма 370 криВаЯ И*' (х):= 0 ~х зй,((й("Г("..и той )ко снст()ыой), На этих 1срнвьГх происходит иирожден~( тора В Окружность ~ыикнмаьснзя перВстяойкй). Бпф) ркацеоцной диа1раммо йрйййдж.Мат такжс) точки Р1 — — ~д /23+ ~'(Ц;Д) н Р~ — — «()~,2)3+ 1 ~ — 1',~, — Я1, При некоторых знэчсниях парам~ ~адов эти тОчки щц Однй, цз них я()))и)у нй криВОЙ В (х) О, е тогда, их "::::::.:: Щ)ообраз в М' состоит из Одной точки, При других пара)литрах Они изо- ЛнрОЗЗНЫ.
ПрООбрЗЗОМ ИБОЛИрОБЗИНОЙ ОСОбОЙ ТОЧКИ 6УДБГ Тор, В КОТО- рОЬ ом олна из Обрзчу)ощех стйнутз В точку, Ьифуркжцнонньы" диаГраммм ДЛЯ ЛБУК РЗЗЛНЧНЫК НЗООРОБ 1ТЗРЗМБТРОБ (Б — 1) Р = 0.5„)' 1Ж1 -"- Г + 3. И д = 1, 1 = 0 б., 1' = ж + О.бх,' иаображеим на рис. 2О. 21, С точки зре- ББЯ то1)ологи 1ескОГО знзлнзй сл~ 1ай ДБук изолЩ)ОБзнньгх Особыж точек щдЯБТСЯ наиболнс Общим„и тсорнЯ бУДет построена именно Для ЗТОГО ~лу~1;-и, Однако.
Бес, что бУДСГ сказано, легкО обоб)цастся и нз, Остйльнь1е случаи. 11рообрзз кзжлОЙ неособой ~~~~~ из обрззз, Отображении момента сОстОит рОВно из ОдногО тора„н Б дальнейшем бУдет УдОбнО не 1)Бэ)1)1*1ать ТО~) н ого Обрйл п~)и (УГОбраженни момснтй. Мо))ееула лл)1 случая Лагранжа имеет простейший Бид .4 — А* Хороо 11 омстнз лиуцил)1ева клзссиФикация этого случая. Результат можно сфор,4УЯщ)О1)з т ) с. )РДУ)О))п1М Об~)ОБОИ.
РзссмО~Ц)нм ') '1)и Обл4и,'1 и нз* Оси ~6.,! <., )1 == Д ~'2/3-'-О1~, (О /2д+ О1 ~.' 6 ~ ' Д,~29+О).у Н (~ /2В+Фр <. Ь ~ где ))о — па11мспьп1сс зпа'1С11ис Н нз О1)листи зпйчении О'Гобржяы" )1)1я мамента,;;~ — 1)))п~$ ~1), Г~ — 1)), о„= шах(Ъ'~1). Г» — 2)) ~некоторые об)з)'т)1 ).1ОГУТ быть пустыми) Рассмоц)им ДБГ гаУ1ильтоноиь1 с11(..1еыы У) — - .-),Г))Л 1)'1 н ь", — Я$та4~ Л2, где ХХ1 ХХ;ф.
1Я, 1 1,2, на многоОбра- )11ЯУ' )) = ( )1 =" 1,, 2 = Ч1» С1Н)ТБГТСТБРННО, $~норемз 4~.О 1 1 )„) '-") 1 Дне сцс)н~ „)1ы,рХ11ероцЯсо У) ц У~ о'фц)1цчен))ые ~1~ОБ ~о),"щд) .)1Я о ))Я,*~' Бцо;()~)б~)оч))Б 1,) ц Д 1БЯецф 1еео „.~)1Бцеол~'ф)щць) О)О;:<6~ Ц )))О~~:О )))О:~А~, Ь)ОЗОЦ Б)1О 1~НЦЯ 61 Ц 62 .)С~,~)Н О Одно)1 ООЛЦС)))Ц. '-)тобь1 прОБсстн трзекторньп1 знзлиБ случаЯ Л)11'~)анжа, не1)1)кОДимо Бм'111~ лить фу11кцн)~) Б~)а)псн)1я ф)), ~1 н нзйти ее локзльиые экстремумь1 и преДелы на кОннак ~)обер при Всех фиксиронзнных )иачениях 1'змильтонианз.
Х1, „')ля 1)ы'1исАС11НЯ функц11И Бра)щ;ния мь1 на Этот рзз БООПОль~УРМС)1 ЯВНОИ фо1)МУЛО11 ~1.1), .111УБ11л.;)ео 1О1) )::.ф1))по БНДен В ПРоекЦ11и многооб~))с)ия,")Х' Б ПРО- странство Ж'~) ). Прн этом проекция тора предсчанляе Г собОЙ пилипдр НЗ Сфс|)Г ) + Г Р Г, — 1 ГЛС ц О ~"„1 НУЛИ фуикц11И И, ~.) З) й, ~амз Функция И строго больи1с НУля В интернале ~о, 1)~. 31О нигляДИОС прел: таВлепио м1)'п)Б)1ръет БыбЩ) циклОВ на нем: ОТСН)Да ЛСГКО П1)НЯ'ГЬ) КЗК ЦИКЛЫ ~1 и ~2 МБНЯК)ТСЯ ПЕТЭН ДВИЖВНИИ 111) рсору молекулы, Икаэыпается, что п1)и прибл11жений к 611фуркацнонно11 д)1Й1'~)аммс цикл ')'1 преБращается В критическу)О Окружность.
з, цикд Бырождзегся В точку. Отметим тйкже, '1то цикл ")') ОпреДелен глОбзльно р БО)„щ'дней формуле я и 6 два ПОс'1е4оввтельных нуля фуикПии Й ~я) „Бенревке ~ 1,Ц) причем И'~(х~: 0 Впутри отреви1ь ~Я,О~. ~вменвиие. При таком Определении нсремсннал 1~ ЯБЯЯетсЯ 1"ЛИДКОЙ ВО Б, с11 ()5яастн В Значения Отобраясения моысптв с ъд3 ще11пыми 1кфтикаль:- „ь1м)1 равревами ()1 = Д Д2Д) +1 ~Ц, ~) ~- 1~ и (Ь = Я /~ 2д) + $ ( — Ц., ~ ~: ц~ Деременнь)е лействия ранее были поду 1еиц Аксенениовой в ~41 в д)1д~ ~1 = Г, Х~ —— 1, 1де функциЯ Х определЯетсЯ формулой (4.6',, В такам ,лучас псременняЯ ~р окайываетсЯ только непрерывной, но не ГлаДИОЙ.
фор)хула ), 1,). ) Лает Выра.)ксиис Длв ф~'нкции Вра1ЦенцЯ, кОТОрос пОсле ОУ11)))11Л11ьГх11Р)БООРКБОБаиий мО)кет бь1ть пРивелено к БИДУ )О = 1 дХ2)'~дР,) , ~та функциЯ ЯБЯЯетсЯ ГлалкОи В Областн .1.) без БР~)тикальньех разре" н ~, Границе рад~)евдв щ1а ивмснястся ~'канком на, едиии11) . Динии урОБИЯ Функции БРБ1пенил достроены нв рис. 2О. 21 ДЯЯ Двух различных ББЛОров парь)метров ~д = 1, .) = 0.5. 1~,'х~ = х + 1 н 0 = 1,,;1 = 1).5, = у +0,3х). ) Ям же для Этих параметров из01)ражен Вектор вращения я. „"<Бк функцея От )1, Зто совокух1ность двух, трех или '1с1ырсх Отлель ))ых Г~)1)фиков, представляю1цкх сооой эволк)цик) локальных максимумов Б мнннмумОБ и пределОБ функ11ии )О на 011фуркационнои зиаГрамме при 1)алые))енин Бначени11 1).
Зкс11ср)1мент проводился для нсскольких пабороа ЙБ1)амстров ',110рядка лесяти). Бклк)чая два, рассмох~)еннь)х примера,,.'1ля них Мии построеньх соответству1Ощис Графики )1),Й). ВО Всех ) лу*)а)1х справедлив сл1'-.'~ук)1ции Зкспефи))лентэльнь1и Рез~льтат. Для РяссмОРцмййь42; 11~ум.исР06 Фвья4Фычесх1)е сйсй)Ямы Ля':"~)яйся, 01ЙОечяФОО1йс 0дйол)))1 кя001)ч' 1)яряме1Й66;. КЙ ЯБВЙййч~':ййьм йя Рязлычйые ЙфехАФерйь10 Й0))))~)хйос)::"Йв я)ЯВЯМИ ~йеР~Бй, )10ЙЯРК0 йе))РЯ)ывйо 7ЙРЯЯелмфьч0 йеокББОЯАск)йк1Б. Д))у. 11~)ои330льпых н))б()ров параметрОБ ОТВет на БТОт Вопрос ненввесте.. ° МОжнО лишь сформ~'лировать следу1ощ~ю РР1п1)тев~~'.
).ипотозз '$.6.1 д)1йя4и1чс)ъп1е сйс)Йе,мы АяР~Ряйжя„. 0)ЙБечяю1цие Одйо))))' й"'60Рд~ Й~фЯмей1~)06 0,4ВФ1е4йь4м ВАМ )сбЯдфЯ7Фыйкь1)4 ЙОР$ОЩ11ЯА0м,, КО 0арай)1чеййме йЯ РЯ34114йь)е )Йрехмефйьы Йодам~)хйос)ЙВ 1фобйЯ эйефв)щ, ЙОЙЯРК0 йей~)ерывй0 'хйЯЯБЖУЙУ~)йо йевй*вшылекУЙйы, Инте~)есе11 Вопрос О том, эквивалентны ли между собОЙ системы Л)1- -Рапжа с равличнь1ми 111))~)))мстр))ми. Смоделировать вту зад)1чу на ком- 11Ь)отсре можно следу)ощим Образом. Пусть длЯ простоты потеипиал Цусть АХ снмплектичсское мнОГООб~)эзие с симплектн'1ескои струк- Гуро(( (', '(' = э~)тай Н вЂ” Гэ.мильтОНОВВ система на зтом МНОГООбразии с 1яэдеи)1 ГэмилътОннэном Х1. интеГ'рнруем()м ИО Аиуенлде) п$эи пОмОщи Гяад1д)ГО бот'Гов('косй ийтеГрала Р, П~'сть О - Вырожденная компакт" чэя Одиомер:-1эя О~М11тй п~ ассоновй грейс"1ния, Е(В~ = у) Образ Орбиты (11)11 ()тобрйв(ен)111 моме11та, () настоя)Пеи Главе исслед()отся вы~)О)кдениые Оронты мннимак(,НОГО типа, т.е, тэкие (*() Р '!'уо) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
