Топологические и траекторные инварианты интегрируемых гамильтоновых систем (1105039), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Аи*(;(иа Дчиами ~мскик систем начинает(~(( Обычно ( построен () ия Об()аале ()т()6')ж)кечиЯ момента и бифуркационной Диаграммы. ° тО и- 3 О ЯеобхоДимо го„чтобы о (срти" ь область эпачеиий Гамильтониана ж Дополкитслъаого иитеграла. Кроме того, по Виду бифуркационной ДиаГраммы ;,(о)кш) составить грубос предста()ление о Вожожпих перестройках тор()н к. Олсдоват('чь((Й„О молск~'лйх системы. Уравненил бифу()кацноииой Диаграммм лля случа)( ГорЯчева; Чаи;ал( ина имс(от (: юл~7'ьзпФЙ Вид 142, б,э1: где Ь, ) — Значсниа ин'Гсграл()В Ц и Р Обра:) отобран(счи)( момента и бифурканиоинал Диаграмма йаобрак((,им на рис.
~. 1) работс 142~ бмл п1)овсден Детальны)( аналип псрест1)О- (к торов В;)адач~ Горбачева '1аплыгина. Приведем (гсиовныс результаты алого ис(.лсдованив. Об1)а> ()тображенил момен'Га Р есть Область ',6 ~ 3/2~ ~'~ — 1~, 11ри атом прообрааы точск кривой ~ Ь = 3/2~~" — 1~ (( ;~-1,8,1~ †.)То к1)и Гичсские мииимаксныс ок1)ужности, адесь проис)солит 'ро)КДсиис то()ОВ. Прообра:) кажДОН точки области .(.)1 = 13, 2 ~ '-'— 1 ~: Ь: 3/2~"" + 1.~ ф Й1 — ого лиувиллсв тор. На интервале 0., — 1 <: 6 '.
1~ мы пдблк)Даем нерестроЙку тора сиОВа В хо1), Обоаначасмук) буквой А" На к1)ивой (Ь = 3~'2~ ' + 1~ '( (~1,0)~ ОДин лиуииллсв тор перегт1)аиваст('и В два (атом В), и уже п1)ообразом каждой тОчки области Х)2 — (6 .'«/'2~ ' + 1, ~ ~ О~ ЯвлЯетга объединение Двух торов -.'1иувнлля, При подходе'к лучу (~ = О,Ь > Ц по области (~ > О1 или Й~ происход)гг исчсзповение Однш О иа тОров и рождение НОВОГО 1 4Ва )(тома .4„', Другой )кс тор Свобод~о 'проходит" этот Я( ч, остаВаясь Н(".ОсобЫМ, Б ~42) так)ке были вычислень7 молекулы ДЛЯ случаЯ 1'(ц)Ячева-Чаплыгина.
Оказадось, что перестройки тОров имсют качественное ридличие К . '.,Н тОПОЛОГйт(В(*КИН йН()ЛП;) )111'~ ВИДЛВВ( ... ) '1 (.ло()ния (вк))('".От11ОВТВЙ Вт('~)()('.(т',Н то О. * ' ' ', ' „, ) ..... ~ ~1'т Н6Х ) = .~~ Р:В) . - ~), И1)О~Кт)1Р тК)1П11)1(.Я ПР11 ()("()ОЯХ т(в'(И» я'1. (.'я ~ .' ', (. х( =,,'в, ' °, (.Я В От()От))О' ' . ', ' " в' — 1.Д' В ('1 'вт, $;)))( ОВВя К1()ЛОК)тд(1 дд)1 От(ВОр)()КЕННБ .,)ОЪ1())(тВ В т() 1КВ,' — 1т Д, В (1,1,', ЧКП 1'- ( 1В 1 -..
'.. ' .. -: (-.. ~б ИО(..КОЛЬК~' тОт(К11 В'-1. О) ООВ1111ДВ()тт Г Ь(ОЛ()КУЛО1(т НВОО~)1)Я(()11НО11 Нй. Р)1(.. Д)т) й ОК~)УМНО(".1Н )т)11~1(ВГО ~)ЗД1)Ъ(:й БОК)))т ЭХСй1 ГО~1К11 МО)К( т ()Ь1ХЬ Н(. ЩМ."- )Ы - „. Х ' ' ( .аа = ((т 1 ~ т)1 <. 1, П1)11 ЭТО т1 )Ь1 В1И) 11)т)О„'~ф(ВВт)Х(Щ)ОВВАЙ 11В В От~Н; (ОЕ ~ а Л("ф(в~)ЯВИ)1)1т ОЧВВВ) ', и * ', ',, '. ' . ' *(Я 1ЯО.'И.' ПБО 11(т "1ВНЯ('Т Л11' В11Л,1('33. ('.АО('1111Я. 1т ~)Ъ'ГОВ((Я МЖИ.'- 1д лк. оп11оь1В(11('вш(1)1 л11У1(11лл("Во (:лОФ.'н1(о ок1э(.'.('"ГНО(.,т11 то 1кн ',- 1'твтви( ОП11' '1 т ~ ' ' ' ' " ' '''- ~ Й т(Ж(" И(' ( ВОД)(т(')1 К 1(О('"1'~в(в('Б11'"т(Ы Р((Н(ч" Я((ВЛ(тКУЛЙ,И„ОНЗ.
11ВОО1)т)ЖЯН' 111 ) (ВОД)(т('в '" * 'т ..1... ' . „', ( ',' '' й 1 В, )11(.8В :1то1 (1(В(тРО( )(Д Я 11ППВРИННТ)1 Ф(В'1("В КО-Ц11Л(В)11'ж БЛ Я В 1т()1.:)В,'11 :Ъ. т()11: .1 В(т1Н 1Т (', '(Л)1 ВЬ(т111()1(Н11Я М("'1'(В)( В Ь1ОЛ(тК)т'.'Ф В 11('йбКОД11М бв)Л( (т 'ГОНКПИ ))Нт)"111) СН в "т(-'1(ы..Ъ:Я э1ОГо ВВ('ДФ')т( 110Вь1('. п01)('т1(*.нньхо — Г(('~)('м(.'11нь1(' АбВЯЯ Р (~: 1, — -- - в я; ~ (.;:, 'в. Т()Г '~)( ПВ, ЕлЫКЛОЪ1 (~)1(К("И~)ОВЯННО(т( У~)ОВН(" ~,Й = (т т Р = Г ~ ПР~)ВЬЮ ИНТ('- Л(1)( 11(Пт1В( 1(,О( (11("-~--.т( 1 1 (, «Ят)(тВЯ (( .. 1111т(Г1(Н 1 П(т1)(т(1Д(т1 11 (ц( Ттт)(т,, Я)т(ВН(Т(11П АМ'.1(1.' Эту лн11а,'.111"1('.ст'"у)о ('.11(тоь(у нужно пон11мать сд('лу)о)л11М Оо1)11:)ом, 11У('1'Ь ДЛ)1 ОП1)ВП(тЛ('ННО(:т11 В Н)1'1й,1Ь111т111 )ттО)Я('11'Г Щ)(.".т1(тн11 '1 . '", Н ОНВ*1т'- Н11Я Ь1Н(ВГО'1)((тН)1 Х 1;, 0 .В,)1Х ГОН" й)( (в(ВЛЬ111О И1:)1)1.
(ОГП)1 ('.(;.'111 Н Нт(т)))Л)тНЬН1 Ь(О)1(Нт В~)О(т1(И11 ВНт(1(тББ)1 О()О11)( КО1)11О11 т Г,'=;) ))ОЛО)К))т(;ЛЬП(вт ТО п("-'1)(".Я1('1111ь1(". -"~ н -') н'в. 11111)1к)т ВОВР':1о 1"'(ть. 0111 Во)1)В(ГГВ)о'1 Ло т ОГО '.4О')1ВНТ(1, ПОК,'~. 0ДНВ НО И(1)(.ХИННЬ1Х Н( 40()Т11ГН(.Т ЯНВЧГНВЯт (Д( М11ОГОт1Л(11 ()(В~))(П11(ВТ(:Я В НУЛЬ. В:)Тот 1т$О(т(('Н'1':11(К'1('1111( )т:Г'~;;) М('НЯВТ ВНЗК, Б ('.ООТВ(",1'(').ВУКВЩЗЯ П(.'1)Р)1( )(Н)1Я Ндт1ИНВ(Т Ъ*ОЬ1В)В1 Ь ДО '1'(':Х 11О() НОВЬ( 1И' В(. 1р(.'т11т Д1)УГОЙ 1ЯО1)ОНЬ )111ОГОЧЛ(тН'1. ° ),(1(т((Ь * (1 ~,1 1 СИОВВ, .')1('.Нй('1':1Н)(К. И ПРОЦ(тСС Г10ЦТО~)11ВТОЯ, т).О Ж(' (.'т(тт1О(".
Щ)((11(О(О,Ч1(Г Н (: Д~)т(ГОЙ ПР~)(т)т1ВННО11. Т((К11)Л Об~)ВЗО.'т1, Д1ГУВ11ЛЛ(В тО,) П ~)П ТЮК((1;. ВЭ Ь(('.Н~', ОТОЙ~И.,ЖМ"Т('Я 11т( Д('ЕЗ1)- Пт)О11)В(т,1(~1(11(» ОТР(т-)1"О1) ~Р- (т ~ )( 1) (т ~ 1" 1((» тт) «т )т) ° (т Р-,'(-» т1-1т)Ц1 Н П()О(:ТЬ1(т КО1)Н)Я )т(НОГОт1.,1(.'.Нт( Р!,'-":~т й Р~=) . ((в В)('Ут1)11 ВТ11Х О'Г~)ОВНОВ, Пан,',вн ОВВзн 'зт'нду торн:нн,.'1н, Внддн 7;- и нк пооннпнн~нн '1 ~, П~~ В $ циклы 11.,;:,, "'-, '",; прообраз циклов а1. ы.>.
О',. а НВ лнтзннлнных ТО~ АХ. ТВОРОМП 4.3Л ЛИЧын ин '1Ь > 7',/ й~улдхурно. Ьриьн~. -~1, -,:,',, -",:" .Оянка и дафной~.77.ч9 мнь."иАВВ1ои~ сбуди 66;ЛГЗы. ы млйих1 ~~ ибо:6 ЯВНО., Р,'~ямсб~йя И! ~,'ВХЗННМ 'ьОйНОЯ1:Й7ИВ Одиозен':.ТЙИО ИЙК1~ЬИЙИЙ СООМ 06","Н1. ДОКЙЗЙТОЛЬСУВО ° "1Ч'О6Ы В "ХЕ~'ННТВ, Ейк ИЬК~)4лМ~ИОТ<'Я ПИКЛЫ .,;, ОООН- двъд нх, начнння (. 'Ц1ют1знольион точнн, Боспользоннышннь Фгм1улами вн~сп'н(и'О ВР".)Рында к ПОО~1днцн'."~и1 Зн.н',.~а Пун.нонн на ли~ н177ь:"ВОЯ то|и~, Вьиоицм, как зтн коо~~дниа~Гы 11зьк"нят~.'.и, НОГЦ~1 к'-ы 1н'~)нн'Вся В ту Ре~ точку кн то1Н' 1 у, '1ОГ1 О понятн, что с 1~."д1Г3.
ь кь'у~но зн н )мнкннинм знака Рзди1й$.ю 5(:, ~,н и'.Дн прн Одноцзнтно.'4 ОбходР по ником'~"-лпбо щ".Нд~: Й» Ок нзыоппнГК. 'тО п~зообрнз этоио Цикла Дну'пи~"хно навари.нм'т ОО~)яз, жлн 'ъ~~" нст„тО цнел н',н'О1 дна прообраза, О,'~1П)лпс' но н%ерыннщ„цих (то,,:Ьей2енм, чтО ц~эи и ~:~/2,' *' + 1 нз каждом из ннклОВ й': н ц'.
'2 ' ' 'У ~)йдикнл нннкнт зпаь. Олин ~из, ': ё~~и 6;> -э/"-,~ '"'+ ~ нн Пил.'к' и~ дли РнзНЫХ Зна'Н НПЙ КООРДНННтИ .: ~ РВДНКИЛ ЛИВИО ВООбШО 'Н '.НВЦЯ~ т ЗцаК, жбо мРняГт ~,ВО дВ'~"ц~н;Гно. 1гм Гакьп'~ часть лнмиы. Отнонмцдя~.'я к цннлнм В2 6~. й.. 0~'д('т доказана. г(1Я '":е11нйй 1(з 1 '1,3 ,'' нйкйтО~1ь2ми п~1ВОбДВзОВАниЯми. Вкл(й'-1Вл ВОзВЮДЯ- 1(цу ЛОЯ1(й~йннй~ й В(1ражйния В кВая11ат. П~зи зтйм Ос%и ю2 — - Решс1пи У%1ЯНЕНИЯ (4,4) П~ЭН фИКСИ~ЗОВВННОМ ЗНВЧОНИИ 31, Тй ~АТОМНО ОДНЙ ПЖРВ (й~ Я, ) ) ИЛИ ~~;, ((;~~~ ~) У~(ОВЛЕТВОРЯСТ УРЭЭНЕНИ(О ~4 й) ПРИЧьь( КРВТ ности кй~ьчей зтих яиВнений сОВпадают.
Уравнение ~4А) при фикси рйВВ1(нй.'й:;1 имйс1' нВ ООльше ДВух дейстйит(альных кйрнОЙ. Еслн Издал 1;"да('тся дйказать, (тО ОБО имюйт РОВИО ЛВа 1'"Орня, п~зичем Один из них 11Р1(наДлсжит Отрез1с(~ ~В((1111, а Д~)У1'ОЙ «У1~1езкУ' ~1~2,11,1, тй мы ДОкйл№ж 1ребуемйй '1'тВВ11жяен1(е, для циклйВ й~. ((~, ДяистВнтйльпо, мь1 пйлучим, '(тй па кяждй'1 из ыиеяОВ ю2 н й~ «заяикал Я(~1, ~~~) мВняет зБйк ~зОВнй В йянй11 1йчке,я~, В.'( 'р)~ или ~яя„— ю(11)).
Значит, пр11 Обхйдю пй зтйм~ ц1(кяу, знак РВЛ111(к1а ."1('няйтся. Г(усть ".1 = ((ф, .1О1'л(А значнниВ Я~ 11;, 1 = 1,2, ~ДОВлютВОРЯет УРЙВ- нян111й (4,4). ДВ1(йтннтельнй, пйскйльк~ имййч мйстО Р(1ВВнстВО ~ ( + (. ~ ° г~,=:1+ ..-;;)1~.—:1 —,-;Я! = ="-Х~ () — "1Х',=~) Ф~((;,11;) = (1.
ЧАРУ„"НО 1фйверитк. Чгй прл г1 (= рЯ, и ) имВем Ф~ц() ° О. ф~~ ) О, пйзтйыъ" ИВ От~езеВ ~ю1, 611 Всть РОВИО ОДин кОРВнь урВВнениЯ 1 ~.Я), АНАЛОГИЧНОЮ У1В(.~~11(Д(;1(И(. С11РЫЛОДЙИВО ДЛЯ О1РОЗКЯ, ~Юр, Ир!, ТЪ'1нО така(е, $й((.смихриВэя урЙВнюние ~4.4) В Области Й ~ Л/2 /' " + 1, НЮЖОД11М„ЧТО Ф((11,' > (1 И Ф(И~) > О. ПОЭТОМ)' 1Ю аТРЕЗКЕ ~и1,и~1 ОНО Ли О не иыяе'1' кйрн~'.и„лиОО имеют дВВ кОрня.
СждОВзд'6яьн(1. ~1ндикВЛ ' ню ыВняВ'1' лнже пОсяй ОбхОЯВ НО Биыду ФЯ 3 тВяРжДОниВ ЯВммы дОкйзанО Р ~т ДЯЯ ЦИКЛОВ йЯ, (1~( О'й '1ЯЯ ПИНДВ Я1 ЯОКЙЗЖХВЛЬСТВО Н1111ЛОГИЧНО, 7ВОРВ.'4а, ДО1С(ЛЯНЬ. В этом параГрафе мы провелем лиуВиллеВу и траекторнук) классиФикацу)О случэА ГорячсВа 1апльи'нна пОстроиВ сООТВетстВующие инВ3$ъианть~ ЛЯЯ Оаоанергсти'Юскив пОВерхностей Ч)) пре рзж4ичных аначениЯК Ь Гацильтониана .Б.
Напомним, чтО ОснОВнаЯ НДОЯ состОит В тоы, чтО- ~,ц '"поДИЯ:хь информап)по О динами'ысеОЙ системе с базы нак$)ьпиЯ Отальноо прост))анстэо. 1-трук'Г~~'ра Димамичесеои сн~ГГсмы на 632е дам и..:.)эестна. и, кроые того, теоре)ла 4.3.1 полнос~х~~н) описыВает изкрь)тнэ 6'..)то пООВОЯЯст докааать слсдукйцу)О теорему о ли)'Виллеаом 1.яза1! Нанте, '1еорома 4.4.1 1,) "~'м энЙнэЯнй анеР~.'.ВФ 'иэ мнтйф)ВЙАЙ (1, +ж),1 ~моле~;;'))мй нмо" и,'~Во.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
