Топологические и траекторные инварианты интегрируемых гамильтоновых систем (1105039), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Образ Окрс('тпости О1)он'1'ы О ВИГлядит нй биф~"ркационнои диаГрамме так„ как 11зобрэ.геено на. рис. 3Л. В Й2 ' ) Р~ ЛХ" ~ рассмотрим 1пвр В, = (у ~„=К~~ р(у) ур) . я~ дост()точно м(мо1 О радиуса ~ с цспт~)ом в "~О )кс уе Будем с 1итать, ч|О в проо()разе этого шара Г '~,Б,-,~ все неособые поверхности уровня ию:((г1)адов .О и Р компактны.
Рассмотрим трехме~)нук) поверхность Д~ = Р (1„;), явля- )О)))ук)(я прооб~)эзом Границы з*ГОГО пща. Пове~)хность Я ~)и(:(,'лоена за паве~)хности 7рОВНЯ инч'еГрэдй ~~ ", (~~ + Я~; )( ~~) ="' Р1'(')) позтом~ ДЛЯ Да11)(ой ПОВ(ъ~),(ИО( ТИ '()Пррр(» Я(ън Ф~чОПО ф)~ъИНЕСКИй ИНВВРИВНТ ФОМЕНКО Ййпанга И' (ф, у'), А,В. Болсинов В работе ~13) показал, что щ)й мерль)х ~= изознергетиче- (КЭЯ ПОВЕРХНОСТЬ ~)~ ДИффЕОМОРфнв ()' )( ':)' . Дрн З'1:()М ЕСЛИ раЗрЕЗать поверхность ф = $~ )( 8) по сфере У х ~О п)од 2)1~, то на полу)ив1пемся 1111)пдрР ~ х ~О. т~ можно ББ(.
('Г11 1соо~)Д)1НВкь1 (',,1;„~)..1; (-,~1', )', (= 1О,2)Г~, ~1то ~-~,( ( =- «11'» ) Гдо '.", — ИРео'~ Я)101 ф~.ц(;.1(ц.Я ЯО~)(.;ф щ(, Я' 1 ~))с~-);10т~)11),1 сфВру 5' х (О 11)о(1 2л.~. О~)бкт~ь( п~;-Ях:(:оноий Д()истВПЯ ПРр('сР1;йк~т 5 по н("кото~)ы)1 е~)ИВы)1. Бъ'дсм и"(0ы))Вишь эти е~)иВь1Р сл6" ,«((((В орбит на .() . Оч(.'Видно, п о (.лРлкт л))ув((ллРВчх то1) он гом( о)1орф- ~; Я, В (.'1РП)м11 к~)11111"1~(енх ое~)Уадно('Г('и яВля)()тся точки. БОМ<' ТОГО, Р( ~111 ОЯ)ъ'Д(|(О(', 1'(э Ш),1)1(.*'3.'СЯ М1Ш(1)(ЙЕ(.*1(0((, ТО ТОЧЕН, 11:)О.'1111)ОИ)11111, Ж РСЛИ (РД(0В011.
то 'то'11с(1 )113лЯРтс)1 В('))ш1)но)1 )(('ко'то~ооГо Г~)йфй нй (:(~)0~)е„~)Рб$)ь е0ТОРОГО " ('.1Рлы ДВ"(.'1ВРных 01)опт, В 1иыеДо11 й('1)1пип(" Грйфй схОДЯт(,'Я Р01)но '1РтьЦ)(' $)("о))Й. Тйеим 00$)10)о)1. 1(роо()~)й:1 Р ~ Г! 5„-), ГДР чР~)РО % ОбооначРна биФУ(ое((цпоппая д(иара(1)1а, — з1о !'11ОСВязпьц11 ГРИФ Г )1Д (ф( ОР,У . СВЯЗНЫВ ЕО)1ПОИРНТЫ Г~)В(;:)3, 1. ТО)ЕР 6УЛР)1 ИВЗЫВВ'ГЬ Г~)й- ф~)411 н 01)о;)111011(ть Г(. Ц)дф0,'1п с'1ИУВ(Отсд и 11эо,'щРОВдннь(Р "~-очкд. Ц ИВш))х Ооо:)н)1'1('1111)(х 11)1РРм Г = Ц 1.
(, ПО-Д))УГОму, н(( сфР1)Р ° Воо)(11- С ' 1Я('У (:ЛОСИ11Р НЗ (')())ЛНДР 1',ИАПО))РН'ГЫ НОВ('~)Х((О(."1'('Й У~)ОИИ)( ф'у'11ЕЦ(111 (1 11ЦДУЦ11РОР'-ЭНЦО»' 1П(."ВП "(~ВВЬ111 ( "1ОРНИР'1 Ц 110 ")АУ(РУПОР С'10(РЦ11(' 'РВ 61ДР)1 НЯЗЬ(ВИТЬ '111)~ВИЛА:".ЬЫМ, В 113( поеззнно„чч'О 113011)(01)1 Р'1'1(ч('(.'К)1)( пОВ("1)хнос".ть ~~~„. полУчм.",'ГсЯ У)1НО)ЕРП:1Рь1 .~"' НВ, ОГ )Р~О1с ~О, 2~~ и ( 1~.1(."111сой ВтОГО п11Яиид~й по НР1 Ото- ~)0ы7 Д11фф('ом(Ц)ф11:м(У 0' ГРЙ111Г1ньВЕ сфР~). 11~)н з'1'о)( ((ифф('оыо~)ф1(з),1 (7 ) ДОВЛРТВОф)1РТ С.ЮДУ101ПИ;1 УСЛОИНЯ);1: 1 ( (1 соч)„')ИЯ(ат оР11(~11 1' )ц1110 ~ ч' Р (~РР' ()' 2) ~7 СОХ~ЭЫ1ЯРЧ фУНЕЦИЕ) Д: 3~ П~)006~)В:) Ц1)Ц)11 Д, П~)И ОТО6~)й,ЛИПЕИ (1ОМРН:1 З Р РЕЧЬ ИОДЕ(ИО)ЕРСТИО Й Х Ь 1 М ) ПО",)ТОКУ 0' Щ)ОЛОЛЖсФ'ТСМ ДО Д11фф()ОМОрф113М11 0' Г~)1)ИИЧНЫХ Ш1)РОВ Е)' Х (0» -+ .0' Х ~2)Г~., Щ)ИЧРИ (1' ПИР('.ВОДИ'Г В СЕ6Я СфР~ЭЫ 5(, = .1~ Й (~~,„, ГДР 0 <: ф ~ ~с- ОПРОДЕДВИКЕ ГРО'ЕЬЕ) д СВШИОГО ГРЬфЗ Г1 НЙЧОВР14 СВЯЗНУ1О КОМПОНРН" -~д ЛОГй)ЛНЕ)111я 3' ), 1,'.
РЗЗНОСТЬ дд = Ю 1~, д 11ЗЗОВСМ Р~)ОНяцР6 ГрйНИ Б. "у' ,1р)1В11Йл1ънох'О ОднотОчечнОГО ГРЙфэ* рОВИО одк3, Одноточечнзя ГРЗницз. 1 )Йф11 1, — зто сВйзй~~'. 1~-.омпопс11ть1 еритичесеих ~"РОВней фунеции ~)чсц11лн1)„'1то ГР1111ицьг Грзфоз попарно связзиь) СРМРйстВзы11 ОдЕВПЙРЗЫСЩ11ЧРС1~ЙХ НРОСООЬ1Х ОКРУ)ЕНОСТСК. 'ХЪЕ11Р ПЙ))Ь1 ГРЙКЙП бУДР)д ;1ЙЗЬ)в~д;ГЬ С~40 )1С11В1М11 ЛИУВ)1ЛЛРЙО СЛОЕНИС ~ НЭ ЛИНИИ УРОВНЯ фу11ЕЦИИ,Д ,ЯЗОВ . Д 1 )ой Яаляютсл ГраФы 11, а Ребрами — ссмРйства неособь1х окру)кностсй. 1Йе;.'Р;е Щ)11 рйзрР ~Йч11к по л)обому циклу сфРРз РзспйластсА иа дВВ 11с- ~ ВЯЙЯЬ)Е ЕОй'.11О11С1Г1 Ы, ТО И )1ОЛЕКУЛЗ ~)ЙСПЪЛЗЕТСЯ 11З,ЛЙЙ НССВЯЙН)ъТХ ЕУСЕЙ ГРВ Ры~)сзз11ии пО л1ОбОму ~)сбру.
ПОП'1'ОВГ~' спржведливз ,;Ф,'.;'.; ДЕММЗ 5.2.1 .:1О.$ "К7140. ОГ1МСЫбй)ОЩУТЯ Л11ДЗЕЛЛЕЙО 4ЕйМ,' ДВОЙНЯ ф)1КЕЦВ11 Д, АВАЖ'-')ПСЙ ОЕфЕВОМ, Кзждому связном г' Грйфу Г ОООтветствуст ~к)ВКО Один этОм Ъ, Од еий) атому 1" мо)еР'т ОтВРчзть с~эйзу кескОлькО ГрзфОВ 1 „'. ПРРВЕОдя1цих ЛР)'Г 3 д~уч'ГЙ при ° '11ффеоморф11змР О', ( труктя)по ь1О)ено прРдстзвлять РВбЕ .'1ОЛС11~"!1у КЙЕ,";С1)РВО ГрЗфЗ Г.
у КОТОРОГО ОТОЖдЕСТВЛОНЬ1 НРИОТОРЫЕ ЙР.,)е111нь1 Г.;, Олновреь1енно О1шедРОТВлйе)той и Все ребра, Вь1ходя1цие ЕЗ ОТО)ЕЛРСТВЛЕННЬ1Х ВРР1ПИН, ВСЕ КО1ЩЬ1 3'Х'ЙХ РРбРР И ТЗК ДЗ.11ЕС. ТЙЕИЫ 06Ры)оы, ВЕРНЗ В лйльпе11)пР11 будет уДОбнО РжссьЯжтРЙВнть Дисеретное Деис'Гвие гру11- ПЬ1 ), ПО~)ОЖДЕ11Н1)Й О', НЬ, ИНОЧЕСТВЕ ВРРХПИН, рЕОЕр И ГРННЕЙ.
ДЕИСТВИЕ 1'«ЭКОГО Либо ЭЛР11ЕНТИ К НЗ робрЕ ~ГрЗНИ, ГРЗНИЦЕ) будЕТ НЗ:3ЫЙЗТЬСЯ 1)ЩВ)111ЛЫ4Ым, ЕИСМИ ОИО ПЕРЕВОДИТ ЭТО РЕбрО ~ГрЗНЬ, ГРЗНИцу,' В СЕЙЛ. ПР11 Этом ~)еЬРО ! Г1)жнъ. ГрзниЦз) буДРт кззь1зз1ьсЯ ВмейфмййГРЯь1м. Дзиетиь1~ чтО ДОЙствие ИР ООЯззтельно тривизльнО нз множестве точек ;-'~"РЗ;Грани. Г1)зницы). Будем ГОВОрить, чтО элемент Х действует нз. 1 1акипився От ()' не более чем Ба О~Я) Внутри п(ара .82(ф и псрево ЛаПВИ 1В11 п(ар Д,.(р) в себя. 'Йц"Да 52 ~ З;(Р'1 — компакт, Гомеоморфиый .к~, «1 переходящий В себя при,лиффеоморфизме сг*.
11О теореме Брау" ,'(11СК. . Внутри компакта существует неподвижная точка х Отображения О' ° рс11)1 -" Достаточно ма"ю, то О'1евидео„ж ф .8~ (ф. Зна*1ит~ У ЯвлЯется „„пяОДВИ2кной тОЧКО11 И ДЛЯ ДИффЕОМОРфиама а( причем х ОТЛИчна ОТ 1). ~,.1и у совпадает с Верщиной, то Р ~у 2, если Я лежит Впутри Граъни, 1. НЯ ребро ЯТВ ТОЧКа ИЕ ПОПадаЕТ, ПОСКОЛЬку ДиффЕОМ()рфИЗМ Обяаан сохранять направления Возрастания и убы.вания функции (1 и) с Др(.го11 стороны, по услови1а еГО Действие нстривиальпо на Графе.
ПУ(:ть теперь 1.',-3 1, и пусть д — инварийнтная Грань. Рассмотриы (лед торЯ с(, цел1(ком лежвп1ий й д Достаточно близко к (."с 1'ранице. Дйф- фео.'-1О~)ф11ям ()' сохрячяет морсовску(О функцик) д и значит переВОдит ;,-Ят сл(л В с("()я, 11ус1ь ()' — Область на сфере, ограниченная о и це- 1В1(()М ЛСЖЯШЯЯ Я (). 1()ГДЯ (7~5') = Б' Н Л(Я (,, д') = .1 ~, д', МНОЖССТВО Г()мсо! 1орфно яамкн'~том7 диску, пОЗтому О' имеет неподвижну1О то~(ь"; В 5 1д . 1ыж. как О 11() условию Дсйс"1въ'ст пъ Графе. а Яначит и Ба гранина дд нетривиально, то в д ~ д" нет неподвижных тОчск, Отек)ДЯ, Ноак(10 сделать вь(вод, '1то 11сподви2енйя то'1кй ле2кит в Я )~ ().
Эта точ- 2 кя лиоо .г~2к21т вн~~т12и Грани, ц тогда ата Грань является 1(нвари;д~тной, либо яв;1яется 11нвариантно11 верпп1НОЙ Графа. Следовательно, «1+1 -~ 2. Из .ч()1(яла1111О1 О петрудпо Вывести) что дискретное действие (1 на мно- )хе(.1яе вери(ин, реоер н Граней Графа Г,: сопряжено поворот~'.
По:)том~ 11+( = 2. И(.1(ользуя ятот факт, лепко вычислить пары р для всех Границ. Лемма ДОкаяана, 4Ъмма 3.2.4 Д.14 люЬАх сме;))сн(1~ ЯЯ(2ИЩ', с)д1 ы Дд2 пй~)ь( ~)Ы () ~);)1., сб.((-,.'1 ЯЯЯЯ1 С4;ео(()О(фц.,(( ()61)(23()я(' .Р(1 —— ()22„',01 — — (2Х вЂ”. ~2) п)О(1 2)г Доказательство. Если Гранипа дд) переходит В (;ебя пОд де11ствиеы 47, '1*0 и сме)1(нЯЯ ГраниЦа дд2 пе~)входи'1' В себя под денс'1'вием '1()ГО же ;(иффео11орфизма д")', ( мдовательно, )а~ < т1.
ПОД действием О"" РраниЦП ддр перехоДит В себя и, слеЯОБатеАьно, д61 11ср(.ходит в себя. Получаем обратное неравенство ж1 ~ т~. Следовательно, хи1 — — т2. ,а1оеажсм Вто1)ое рав()нство. Диффеоморфизм О' переВОдит я своя Гранипы дд1 и дй. Ч"ак 2ке как и В лемме 5.2.3) докавывается сУЩествование Веподйи2киых точек в обшстях 8 )~ д~ и 5 ~ 4. Диффеоморфизм О продол2к))ется до диффеоморфиэма 111ара б В себе) 11~)и'1ем О" 1 переводит в себя к~ц~ду1О сферу Я ) О < )() '- е На каждои сфер('.
Имеем граф Г(, Г()меоморфны1'. Г и непрерывно зависжп~(Й От Р, Поскольку пари 1) И7 3 Инаят тОлькО диск$хл:ньхе знйчениЯ, то нй иажДОм сеьхеистВВ дух„~ 7 постолнна Рассмотрим ~хек~ Вэ Окрестность нулВ В Б . Ц этОЙ байр~ 1 д~~,к' ,, тцости Диффеоморфиам ииеет ВНД о'"" ~х) = А~'т. + О~к), Где А --" Оппа Якоби. Можно п~эенебречь членом О(~Я.') и ~УйссматриВать В~61НЗН ВВТ~Ш ,, хиффеоь1орфиэ~х й'""' кае просто лйнейное преобразование. Рассххо~н, феру '~„Внутри этой Окхэестности и к~иВьхе д6~ >, дух „на ххей.
Бсли Д Или с~х у- П. то неноДВижные 'ГОчки Даспод(бкеньх В наЩзаалении б;и В~ннОГо Вектора п~эсООраэоааниВ А""', Так как ИРНВьхе дб~ р и дБ~ р щ) аФ -.;одят В ссол при О, то у прео(фаэоаания А~' есть инвариантххое ос--рх НГ1Вд — х~доскость 'Гак как суп~~ь( тВ~яхт ~ ~" Я такое пепеВодит Ве~1хпххны Г~ъанипьх дд-, .д В себЯ, 'ГО А~™ —" — Б. т.е. 4 ,у„.оторон, быть может, нееВелидОВоъй„баэисе есть поБорох на мГОл хо„р,:,— неподВижноЙ Оси. НО т(и'Да (0х — — „'О = 27à —;Рх или ~О2 — — ~Р = 2Я' — ух ~,;;~ тцо . ~ — ~ ~~д — ~.,~~ ) пхос~ ~д оугс хоВВецо раэлхх~уной ориентаПххеи ~1е;~;Вц". Грапиц ). Л емхГВ ДОИВЗапа, Следстаие 5,2.1 ДНО~.'~Мясное дейсхх160е дйффео.чсффнама О' на .~рафе Г ; одри;1К.'".Но 7~ОН Щ67З 1/.
йкп,'А об~ыыоы. (:ъшестВъет ГлООЗ хьное раи2хоение Зеифе~эта пОЗерхВОстп О' над сфе1эои,э", п~Зичеы Особьхе слОК этОГО ОасслоеииЯ проснти;устое в "нолкм.а"' иры~ценил о и имекп тип ~уф,'2п~, и 1 н ~1 — ~ф2т1, пх). э.З ХЪОРВмьх О лиуВиллВВОм инБЙ~зизн'ГР Теорема 5.3.) Яененоэх ~срх~,.о~ол,.ноле~~~ хц И'"~Щ., ~ ), О~й~.ыоа~.нфхл ~хн~е~ллейо слоейВе В~фОВсдеййОЙ Во,нххокхххной Одно.ае~ной О~онпхьх, н.Веерах ба А;Вело; Оон~ее чнсло Яосздочей. кй осах Йпъомйх не ххфеВОстоднпъ 2. Все ОГлом64 644ехлй хВВЙ 'ЙОВСР2!ЙОсххих У . 1УЙ Всею 'Оефйх, соеднйахохцъх Вхйомы. Ощлц'14нц~ О7д А, т'-.ИВХдко рдаюо;ж. Дйлее ВОЗмОЗЙ."~'.ж ООмя нд ме~7ьж~и,'х 6 орааахаоо; есЛВ .ВО,4екфло не сООЯ~мсххххх нн О~ИО р; .
„., ~,хе~~ Нуда~,хамбо сдщесх736~кдхх ~шоио дей у~е6рц, О'.и жотйо~фьхх Г ф О, хЧ~В'че"х ОлВ Од"О"'О ~~ "~~ = ~Й' ОРфеоео 'Г = 1 — ~1/~ (фас ЦЦу ~у,*уй мйАЮФ д4й сйдс~уяси7Й дйй йййздйякй, уий яй ййея: фебфйх .4. — ~'1 г-ме~икй фйенй Яффой фйй, Й~й ). фпйкй е йй беях ~еО~йю ~Рйейь1 1, Ь~юм6 хйОРО, е щех ОАфчию"., 'кйедй 6 йй„.екуАе ййе мйхй~лх ~" ~~йейь~ д Ялй ОО меР2Кй 'ч рйаий ил/ми 8 йипййьмЫЖ ,.~~,„йд~ й-ме~йкй ~Р(жий — 3., а) Л 1о А СС Е ! РЙ А ЛОАН"изте;1ьс'.ГВО. Кйждзл Ввеалйчкз В мОле1я~ле сООтвететвует кнвэфщ- ззтВОН верхпине нетривиздькОГО Графа При нетривизльнйи деиетййи й' нз лерп1инзх графа Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
