Топологические и траекторные инварианты интегрируемых гамильтоновых систем (1105039), страница 5
Текст из файла (страница 5)
аходитсл Ва взаимно Одноз77а7ном сйотзетстнии О .",7нй7кнство74 )7си"тков фу77к77ии Н(77), 777) Йт ЛВуж но)7674оииик, задбд7них В о77р7 стнйст77 нуля. с отличи) 7м от нудВ диффсрекхпило74 НН ~07 О), Длл 7фоизвол7.БЙЙ функцпи Н такОГЙ Бидъ Бяпишбм ВВнии знА диФФЙ~76нииаяа фъ'икнии В)7й."..,Вни77; И.„ Усдов77я, — ' Ф 7), — ф 7) эевинн 76Бтны олвду7ощп74-' др ) , др 7)В7 а,о) ОМ )6,6; Н„,1, Н„...7 8;„., О„,, 7- 76,и ~ '~1 "7 (О,О) '~.
(6,6) ~"""'7-" (6,0) ()чВВ77дно„чтй это 647"7а)7 ЙбщйГО полйжопил. ДЙЙапим, ч"Го Всб 7мэль77ьи физинвск776 знляи7и ) в 'исткости, задэч77 дина7ликн тВЮрдоГЙ тола) явлль~тся Гладкими и почтп Все окк нбопоциал)'»ныВ. 'ХЪорома 3.2.Х «76.7н7:7,.77 64йдк77~4 77)~76.".к777О~7н67.77 77776Я~)77Я777ЯО.77 77667767)7~- 0467766 7767766ОНЯНГКЙЙ М1'С О д6ф,В$ 6777677677АМИ 6606ОдЬ~. 77 ОА~7667ВЙОС77777 ;«447777777~~76СКО7~ ООО7)Ой 77)О777ГВ 7 ) = ~6 46.7467ЯС4 77~~О77КЯ 7777664 )"~ЙЙ46д77776 д6Я ВВС4й О77ЯВд6АВИМ С ТЯОМЙОС7НЬ7О дО Й6)766777Я7766К77„7 ХГ",Хв) = )„~О(776» ° 67фв~,~7)(ф~)),67)~7В)~7;фц), ВА ф)~~,) --- 77~76д64 фф77к7~7~7~ 6~7677)67777.6 Й 7йО~7кй 7777, й ф.;~,7ф) — Я~7ОВ:.76од77Ы6 ф7777КЧ7ГЯ 77 6 777О77К6 776 77О 77Я77РЯ6467777647 д67)7: 7466677764677ЫУ* 1~ В )2 7 674ЯЗЬЯЦ7)О7777ОМ дИЯРРЯМ476 ф776.
Я. 37ЛО ОЗ77ЯЧЯ" 677$, "4777О д66 ВВС7767)7ГЯ47 н)776 .ОГ7. С дбф~~ 677)67)677д4777, Сбобод67 77фй67777ЯО~777О Як6776Я46777Я7767 6 О~~~6677777ОО777ял: 3447777777Яч66к77л7 ОЙООВ7л: 777О776х,то В ,ГО 74О'.дй 77 777О46КО 777ОвдЯ, КОВдй 7)7РОЙк77Ъ),"'7Р) 77 "й~ТО) ОО6Ийдй7О777, ф 47ООЯ77 Й7РО77КЯ ТТ вЂ” ),й7 1~ „1~~, ~2 7- „76',~~ 7„-')+, — )', РВЯАВ37)67ЯСЖ %ЯК ~ 4ЯдК777), 77фйВКУЯО~7777734 77ЙВЯ)777Я77ХЙ 776ЫО77ЪфО)7 776СВ6ЦЬЯ4И7077 37'~~ 6 О7Я7Ю".77777О67Я77 344В7)7736М6СХОЙ ОСООО6 П1О'ЧХ77. 2 3.2'( „ЛЯ (( (1 дОЛО2КИМ Н вЂ” й((1 ((2 1 1 + ( ц~ О4~,((,.
Ъа;Да ИЗ ФОРЬ(УЛ ( ~() О'( ф 9О,~~,„) ДЯЯ д ж О пОЯВГВФм д ~3.3) ИЗВОДИМ. РФ~ О) * ., 1„ ф ф . О ф ф, ~,) 1ВОф(;($,ДОКЭзЖНВ, Я' = ((1+1(((1+(2((1'((З ОГО' Р Г . ОТЬ((ТИ((. ЧТО НОС~(ОТРЯ ИВ йДИСУТСТВИС И (РОМУЛ~>ОВКС КОН.Щ6 $И'5 ОТ ГО ЗДЕСЬ ИИ"1ВГО НС ЗВВИСИТ, 11ОСКОЛЬЯ 1' НИ КРСТНОРО И((ТВГРЙЛВ х*, ОТ НС правд~",л функции Врй.щиния В ОООООи тачкВ, пи знйк Р д И Г( ОИЗВЙЛЩДХ НЮ 346- ((ЛГОтся при дщх1(~',амарал.ри ~Р~У, . 1, фИЗЬ(ВЖ О6Р((ЗВ ОТООРЭЖСНИЯ ЫОЫВИТЙ, ПУСТЬ ГХЖДКВЯ И((ТВГРНРУЮЬ(й(( ГЬМИЛЬТОНОВЖ СИСТВМй дН , дН вЂ” — — — 1 — -1,2, дф' ' дф,.' зйдйни Б акр~'.стнО('ти нэчВля, каарди((ит х(( = (О, 6, О, О) 1(рас'ГрВ11схч33 Й, ГВМИЛЬХОНИВН Н ф, Я) ~ С1К ~ И ДОПОЛНИТВЛЪНЫЙ ИЫХВГРВЛ Гф ~~) будем счнтать изВ~стяыми, 11усть НВВсстна также, (та та (ка ха ЯВлл- ст<я ВВВырал(лси((ОН зллипти (сскОЙ ОсОООЙ та 1каи сист(В(ь(.
ПрВ11ьяйиы ПРОВ((ла, следу6 которому махна ОТВетить на Вапрас, нахо,пится Аи эта (ИСТВ1(В В О6ЩСЪ| иа„'(ОЖЮННИ В ТО'(ЕС ХО. Н В СЛОВО ПОЛ(ОКИТВЛЬНОГО ОТВ("Р( Вы~(ис (ить 416 н( ( тра('ктареый инвърианг Н((11ОЫййЬ(, НТО В СООТВВТОТВИИ (: Тсарс~(О(( 3,1.2 САП(((С"~Ву(ОТ Г(р((ВИЛЬВЬ(В КЖ(ОН11'МС1"ИВ 1(ООРДИНВ:ГЫ ф Д) и КОТОРЫХ ФУНКЦИИ Н И (' ЩЗИНИ- МЙ(ОТ СЛВДУЖЩИй В((Д.' '1 1 ~ 1 1 .Б = — О ! и + — С(;В + — й(1 ~" + -О(~((((+ -В11(. +..., ~',3А) 2 2 4 2 4 1 1 1 2 1 1 1'(((+ — 3~О+ -6(~Ю + — 6~~(((, + -6~~1. +..., 2 2' 4 2 4 ((К Р( +((1; ~ Я~ + Я2* 2 2 ЛЗ ЗТОГО П~ЭВДСТВЗЛВНИЯ И ИЗ фОРМ~(ЛЬ1 33 ДЛЯ ДиффС~ЖНЦИЗЛЪ ф~1(КЦИИ Врй(пиния Ви,((((О,. (та ниы трефитсй ИВити нарь(Вльн~ 1О фарВ(у Бирк(.О- фВ стВИОБН 4 с та"ИООВь(О дО члВнОВ стВпсни 5, Для зтО1'О н7жна прО- ('ГО Васпальзаийться п$~ВВНЯОм БиркГОфи 18~ НРНВВдсния ГВмильтаниВИИ К НО~МИЛЬНО(1 фОРЬИ.".
фЬ ТР60~(В'УСЯ, ЧЧ.'Обы ЧЬСТОТЫ СИСТЕМЫ ЗЭМТИ'ЧЙИИО )3 'УСО))СМВ ОИРКГО~рЬ ЪК)ОНЬНСНОМУ СООТНОИХСНИВЪ ПОРЯДКА С(2 НВ УД(ИИВТВОРЯЯИ НИ ОДНОМУ $)К)ОН 4 и МЕНЬПХС. В НРОТНВНОМ СЯ Ч СЯУЧЬВ Щ)ОБИЛО )АДИС"ГЬСТ ~)ЬОО'Р())ХЪ. О НВЛХЙ!М (ЛЪ'Ч')С (:И'ХУЬЦИЯ ИНЭЯ, Ы .~ИЬЕМ, Ч М М ЧТО СИСТСЫЬ ИНТСГРИР~'ЙМЬ, И ИМВВМ В ('БОВИ РЬСПОРЙЖИНИИ ДОПОЯННТС с ..
ЯЬНЫИ ИНТСХфЬЯ. БОЛБВ "ХОХ'О, И))(()СТ МССТО й' ~'.~ — И»,(! у- О. РЬССМВТ$3НВЗЯ ЯИНВЙНЫВ 1ИП46ИНЬЦИИ и И 11(!~ИВЭНСТВО (Ъ1)У2 — И2(~1 у- . ЬС Р', МОЖНО ПОСТРОИТ1* фУИКЦНК) Г Л)ООЫИ1( ЧЬСТОТЬМН, ПО"~ТОМУ В НЬТПВИ ЗЬДЬ'1(. "ПДООЛСМЫ $И;ЗОНЬПСОВ НВ ВОЗНИКМ"7. П )ОЛВъ(онст~ъи~)ъ'см Работу этОГО прьВНЯЯ нь пр .~ ф (ъ ИМИ )С Сфб()ИНСК(И'О ;",иАтникь, )адьчь О дВи)ЬВнии сфс))ичсскОГО Идя'Гникй В поло силы тя )к(».(:т11 яВля~тся п~)(ъсто)( и В то )кс В)ъВ)(я показ:.~()л).Ной эьдьчсй нь Вы'(ис,ФГнис т~)ьск'1'О~ън01" О ннВьрньнта В эяянптичбсио11 ОГО(ъои точк6) кото рзА кзк показ(111О В ~171. сОВпадэРт- с ннъкним усхоичиВым положс1хию)( Рая ~ ~ЯВНО))(*.СНЯ СИСТСМЫ, 2 ~ 2 ),.2 ЦР~'РУ Ыаа1(аР11ЬЛВЦЬЯ ТОЧКИ ДВИЖСеУ~ Ч ПО ( ф~РС У 3 У -)- ПОЯС СИЛЫ ТЯж(.С"П1 ~УСКОРЕН)(Е СВОбОДНОГО ПЬЯСПНЛ СЧИХЬЕТСЯ РАВНЫМ ) 1. Функция Льгрьк)кь для этой задачи ИМВет вид Г~(.'! ВВктОО око~)остн точки.
Й Ок~ъВстносГЕ тОчки ~О, О, — 1) нэ. сфВРВ В КЬЧ(;СТВС ЯО1(Э.)ВНЫК КООДДИНЬТ МОЯ(НО БОЯТСЯ КОО1)ДИНЬТЫ Т1, ((;2. УОГДЬ вЂ” ~ (1 — д:1 —,.(:~",, э. ф';нкцня,Ддд$)ьп)кь прноо~)нтаст Вид 2 2 1 — х, .'~,1Х2 =1,1 — ~,1 — -'1'2,! 1 — .: — 2"~) 2~1 — Х1 Х.;) Д('р('11др'1 к 1'знГ чи'(("Г(~ой Гиотрм(' к()()р цинч(1р — коорДццьтьм-им)ту тъ- ГАМ,31, ~2; Ж1, 2'2) ПРИ ПОМОЩИ П~)606$)ЗЗОВЬННЯ ЪЖЬНД~)Ь. ГОГДЬ фуНК- ция ..~! ВГ$)))н%Н п~)РО6~)))Пуст()я н ВИР~)Гик) (.Н( тс)(ы (Гьмнл) ч"Они))и) 2 2 1 — ю., 1 — хй. ~ 1 Н = Я Х1Х2)(1'72+ - - "-Я вЂ” ((1 — Т1 — У2 = — 1+ — ~ф1+ Я)+ 4м +;1, 1+Т2~ — — (У1'С1+ У2~:2) + 1'Я1+1 )~ + 22, Где МНОГОТО 1ИСМ абОВНЬЧЕНИ ЧЯЕНЬ~ бо.1)СЕ ВЫСОКОГО ПОРЯЛКЬ.
ОТСК)ДЬ ПОД~'ЧЬВМ ()1 = С(2 = 1, ()17Р) = 1. ПОЯУЧИВП(ВЯСЯ ИГС С ДВУМЯ СЧ.'С11ВНЯМИ ("ВобОДЫ ИЫСВТ ДОПОЯНИТЕЯЬНЬЙ ИН'Г(11 1)ЬЛ вЂ” УГ')ОБМОЙ МОМЕНТ 69 л кВдкдОЙ четВюрки (7й1,Й22~н1~М» У4 МН$6Й ВВЕБС'йУЯ' ХЙ1 + „Д2+ Н1+ Н2 —— 3. 1 с Отф ицйтельнжми индеислйФи НО Ощмделйяи2О СЧИТИОТСФ РОВНЫМИ НУЛЮ, АнйлОГично црщмБИНВэмм к нулк$ лмнеиБые. чяены 6 симплектическои структуре: + ) 7йу+1,~щ,73~,щ + 1 1 + М~~Ф1+1~я~,тй;,Фя~ + ~Р$~$7$~фФ~$ъ~ ) ж$ ~Физ,~и+1ля 2 / тй~,ми~,й1,В~+1 + 3тВ~Фщ7цй~ ~1~1,~33р '1,л~,71~ + ( 1 + 1 Я~+1 Фр„~~1,п~р ~ Ф~~)уйрФ1йр ) ~~и:~~13+1~~11,щ + 1 2 + / 1ц,74ф+1„37В~~Фпу Фя~тх4~л1йр „-ДЯ кй ОДОГО 11йбо~ш индексОВ п11+ Р12 + п1+ 122 = 1.
С11стема ураВН011ий 13.6)+~,'3.7) должна бить рьзрепхимой, поскольку нцЯВ11льнь1е кОО~~динйты ВОСГДВ, сущес'1~ВУ1от. 1тобы О'ГВОтить ИВ Вопрос~ сколько Онз имеет Решении, Изойдем йрострйнстВО Ре1цений Одпорбднои систеь1ы, Из системы 13.6) получаем: ~-1100+ С11001 = ~~ «100+ С02110 = О ч1 1'2000+ СК О = О. ' '0200 + ' 0101 й Все Остйльние коэффициент'и ~1ВВны нул1О, ПодстВВИВ эти Выр11лыйий СЦ1-1ЕЦт; Д„1) ПДЛУС1;1ЕМ НТО Н УУ11 КооффИЦЦЕНТИ ГДД;Л~Е РОВНИ 11У.
л1О, 11тик, Однйрод1ил системй урАВнений имеет ТОлько нулеВые Реше сия- СледОВВтюльно. Ре1ценне неод11011ОЛИОЙ системм ОдинстВениО. ИВА едпнстБ011ность, мы можем утВсрмдйть„что с цомощь1О 2'АНОЙ Ззмень7 ыы денстВительно полу.1или нтооое п~1ибли2кение пя11Вильнык коорди- НЛТ, .УТВЕРЖДЕНИЕ ДОЕЗ2ЖНО. ~1емь1В. 3 А,З Л О~ффь1~11снп101 О1, ноф.ийльной фон.иы .У мо~~п2 6ьи710 йО6- день1 йо следф1он1н.11 фор.и11лй,и: О! 1 — ' О'~ А010 + 4.02020 О22 = С1'243101+ 4~0262 11 , Н 22 , Н 11 22 2 П О12 = — С~14101 — ~24010+ 2~ '1Ш ~~1 11 ~- 1161 + '- 1101 =- -4)101» '2 г'~2 22 '-1110 + = 1110 = -4610 Дй2сВэйтелъство. СДелйем ВВыенУ ВНД~, ~3.5), йолиГВл 1121+1222+111+222 = 3, й попые:й,емсл и;~~нни Асл От кВйдрнти 1йьпс членОВ н симплннтическои структуре, Обнулнм коэффициенты п~1Й %1ы 1 и ш2Й2 В членЗК ЮОй Д Й01 И ЯИ'2 А Ы2.
ПОЛУ"111СМ: ярд = ы;„-п1'-, — 16х — 5,;~1 — 4.г+ Й,«Ь 4+ ~~! ~ ярп~, Т вЂ” .:6х — 5~/1 4., + .~',.О,~ — 4 — '~~ 1 — ~х) ). | вщ~,', — 1бг -~ 5,"! — 4.г -'. 4,10г -. ~ — 2~1~ — ~.~ ) ). 'барр~" "-" р~~ц~'.д ц'~,д~'уд ~~~.~~д~""уд д~ц"~:~~~'щ.'~~'~ ~цд~"~~д стркщ крлни~' ы~.'~~,'х. д', = О п яра(х, 3) = И. ПОСЕОЛЬЕТ" ВЬЦ)йЛ1НИЮ 4 — 1 ОХ ~: 2у'1 — 4Х ВОЛГЛА бйЛМ$И' Чс И4 при х >О, ОбЛВСТИ д<и..тоянстцй Знай:оВ ЯЩй~ И Яфй~ ВЫДВ.ЫНь~ на рпс,6 В коор- Л 1НЙХЗХ,Х.Д,. 1ЬИ 2К6 ПОС'ЦЮ~'.НЫ ЛИНИИ .У~ИЮНЯ фУККЦПП,О. В аераон части атой Глааы .а~~ Оасс~латриаае~л динаиичсску~» систему "~адачи 1 о~ячсиа 1аплытина В динамике тие~)ЛОГО теча ЭтОт интсГРН ~~~чамь~и случаи и соотаетсхаук~щая дииамическая система по.ц)обно Описаны Б Глаие 1. Бзпомини только, 'и.'О систюаа 1 Орячсаа Чаплыгина ~ = ~~та~1 Н залана иа сииплектическои ~~ноГОООразии ЛХ', Ва~~еляа~о~~ в К'у„т) уравнениями ~1 = 71+72+~'2 — 1„ 2 „2 Л = г К~ + «2~2 + ЯЗт2 = О.
Дсре~лснныр ~ ~ у'1 апач~ ~аа~~тсл нррс'ценны~у~ )йебра Пуан~"Она Гамильтониан и лополиитсльный икте~ рал В этой задаче след~ницис: Длл изучения "ГополяРНИ ОГОЙ системы применяВтся нОВый мето,д, РЩиоотанньй аВторои днссйртации, Он закличастся В слсд~чощсм. 4 'Псходное многообразие М накрывает ~коиичаолистн и Разантвленно,' иекотОРОВ Л~ЗУГОе мнОГОООразиО Л а исходная систила нзж~мйБзжт не котоуэуу:~ ноцу~о дииауинескуаэ си~рецу на ~~ ° )уа система у» рроена НЙМНОГО ДРОЩЕ ЧЕМ ИСХОЛНал„ И ТОПОЛОГИЯ ОСО6СНПОСТей ЗТОй СИСТеЫЦ Нож жст быть леГЕО изучеиа. ем с .
Т саммм изучеиие топОЯОГИИ ОсОбениосчФЙ У чс Ованис ((а Я ()а»)бивас хсл Йь тр Ва, ' о,' три этапа: изучение системь1 на Л, исс. д 4 Вакуытик и, ИЗКОИСБ, О В,, писаиие топОЯОГии лиуВиллевь слосяил в М . Дамсчйний. НекОторые идеи ЭТОГО метода содер)ка р ' тся В аботак Л, Гав рцлова ~23, 22), М, АДин е Р. Силоль ';6). Однако авторы этих райот, не :(((а((омыв с теорией лнувиллеВОЙ и траекториои классификации, ис (могли довссти свои исследования до конца.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
