Диссертация (1104029), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Следует отметить, что эффективный потенциал внешнейсреды Gn входит в выражения для энергии нейтрино и антинейтрино с разными знаками. Данная закономерность будет рассмотрена более детально в параграфе 4.2 при рассмотрении на основе новых найденных решений уравненийДирака новых астрофизических эффектов.Энергетические уровни стерильных нейтрино (правые нейтрино и левые антинейтрино) имеют видqpν0R , ν̄L =p23 + 2N q0 B,(3.99)то есть представляют собой уровни Ландау безмассовой заряженной частицы вмагнитном поле.613.5Нейтрино с аномальным магнитным моментом вмагнитном поле и плотной средеВ параграфе 3.3 было рассмотрено уравнение Дирака (3.10), наиболее полноописывающее как слабые, так и электромагнитные взаимодействия нейтрино сокружающей средой.

Отличительной особенностью этого класса уравнений Дирака является наличие квантования энергетических уровней нейтрино. Квантование может возникать как за счет электромагнитного взаимодействия электрического миллизаряда нейтрино с внешним магнитным полем (параграф 3.3),так и за счет слабых взаимодействий нейтрино с частицами вращающейся среды(параграф 3.4).

При этом волновая функция имеет весьма сложную структуруи описывается с помощью специальных функций математической физики. Например, в цилиндрической системе координат волновая функция выражаетсячерез функции Лагерра, в то время как в декартовой системе координат дляописания решения используются функции Эрмита.Целью настоящего параграфа является рассмотрение задачи об описаниинейтрино с аномальным магнитным моментом в магнитном поле и плотной покоящейся среде. Будет определено точное решение для волновой функции нейтрино, а также энергетический спектр и спектр спинового оператора.

Отметим,что данная задача также обсуждалась в работе [146].Уравнение Дирака, описывающее нейтрино с аномальным магнитным моментом в магнитном поле и плотной среде имеет вид11µµµνγµ p̂ − γµ (1 + γ5 )f − µσµν F − m Ψ(x) = 0.(3.100)22Решение уравнения будем строить в полной аналогии с решением уравненияДирака (3.10), описанным в параграфе 3.3. Отличие рассматриваемого уравнения от исходного уравнения заключается в отсутствии миллизаряда нейтрино (3.12). Это приводит к замене оператора обобщенного импульса (3.11) наоператор импульсаP̂ µ → p̂µ(3.101)как в самом уравнении Дирака (3.100), так и во всех последующих выражениях.В частности, оператор Гамильтона (3.15) преобразуется к виду62Gn.(3.102)2В стандартном представлении матриц Дирака гамильтониан имеет видGnGn+ (m + µB)0− 2 + p̂3p̂1 − ip̂22GnGn0+(m−µB)p̂+ip̂−−p̂12322.Ĥ =  − Gn + p̂Gnp̂1 − ip̂20322 − (m + µB)Gnp̂1 + ip̂2− Gn02 − p̂32 − (m − µB)(3.103)Поскольку оператор Гамильтона явно от координат не зависит, то все компоĤ = γ0 γ p̂ + γ0 m + γ0 σ3 µB + (1 + γ5 )ненты импульса являются интегралами движения, и имеют место соотношенияp̂k Ψ(x) = pk Ψ(x)(3.104){p̂1 ± ip̂2 }Ψ(x) = p⊥ e±iδ Ψ(x),(3.105)иpгде введены поперечная компонента импульса нейтрино p⊥ = p21 + p22 и фазаδ = arctg pp21 .

Учитывая матричную структуру гамильтониана (3.103) и соотношения (3.105), будем искать решение в видеC1iδ Ce2Ψ(x) = Nd e−i(po t−px) (3.106) C , 3 C4 eiδгде Nd - нормировочная константа.Для описания спиновых свойств решения вновь будем использовать оператор импульса (3.26)-(3.29), где необходимо произвести преобразование (3.101).Легко показать, что собственные значения оператора спина (3.33) примут видqζ(m cos α − p3 sin α)2 + p2⊥ ,(3.107)S=mгде ζ = ±1 определяет два состояния поляризации спина нейтрино.Энергетический спектр нейтрино определяется из задачи на собственные значения оператора Гамильтона (3.102) и имеет вид63vsu22uGnGnGnt 2p0 =+ ε m + p2 + (µB)2 ++ 2mS+ (µB)2 ,222(3.108)где ε = ±1 задает знак энергии, и введено обозначение p2 ≡ p2 .

Спиновыекоэффициенты Ck полностью аналогичны коэффициентам (3.50). Нормировочная константа Nd определяется из условия нормировки, аналогичного выражению (3.52), и имеет вид1(3.109)Nd =3 .2L 2В итоге волновая функция нейтрино с аномальным магнитным моментом вмагнитном поле и плотной среде имеет вид qpm cos α−p3 sin α1+1 + sin(α + β)mS qpm cos α−p3 sin αiδ −ipx δ ζ1−1 + sin(α − β)e e1mS,qΨ(x) =p3 mcosα−psinα32L 2  δ2 1 +1−sin(α+β)mS qpm cos α−p3 sin αiδδ3 ζ 1 −1 − sin(α − β)emS(3.110)где коэффициенты δ1 , δ2 и δ3 задаются выражениями (3.51).Следует отметить, что решение (3.107), (3.108) и (3.110) может быть непосредственно получено из решения (3.33), (3.41) и (3.24) применением предельного перехода qν → 0. Основы техники предельного перехода изложены в работах [32, 34, 35].3.6Нейтрино в плотной среде, движущейся спостоянной скоростьюКвантовые состояния нейтрино в плотной среде, движущейся с постояннойскоростью v0 , описываются уравнением Дирака1γµ p̂µ − γµ (1 + γ5 )f µ Ψ(x) = 0.(3.111)2Согласно выражению (2.39), слагаемое, описывающее слабые взаимодействиянейтрино с частицами релятивистской среды, имеет вид64f µ = Gnγ(1, v0 ),(3.112)p−1где введен гамма-фактор γ = 1 − v02 , аналогичный гамма-фактору (2.40).В случае нерелятивистского движения среды следует перейти к пределу γ → 1.Учитывая соотношение (3.112), уравнение Дирака (3.111) можно преобразовать к видуGnγGnγ+ v0 γγ5γµ p̂µv − γ0 (1 + γ5 )22Ψ(x) = 0,(3.113)где введен новый оператор импульса p̂µv , представляющий собой модификациюоператора импульса p̂µ за счет слагаемого, описывающего движение среды∂Gnγp̂µv = i , p̂ −v0 .(3.114)∂t2Следует отметить, что оператор (3.114) получается из оператора (3.60) преобразованием qν → 0.Гамильтониан и оператор спина данной задачи определяются выражениямиĤ = γ0 γ p̂v + (1 + γ5 + Σv0 )Gnγ2(3.115)иGnγ(3.116)2соответственно.

Оператор спина является новым и во многом повторяет структуру оператора спина (3.63). Легко убедиться, что операторы (3.115) и (3.116)коммутируют. В стандартном представлении матриц Дирака данные операторыимеют вид!GnγGnγGnγσ p̂v − 22 + 2 σv0(3.117)Ĥ =GnγGnγσ p̂v − Gnγ+σv0222и!Gnγσ p̂v2 σv0Ŝ = Gnγ(3.118)σvσp̂0v2Ŝ = Σp̂v + γ0 γv0соответственно.

Поскольку оператора Гамильтона (3.115) явно от координат независит, то все компоненты импульса является интегралами движения, и имеютместо следующие соотношения65p̂µ Ψ(x) = pµ Ψ(x).(3.119)В связи с этим, решение уравнения Дирака (3.111) будем искать в виде!Ψ1Ψ(x) = Nd e−ipx,(3.120)Ψ2где спиноры Ψ1,2 не зависят от координат, и введена нормировочная константаNd , которая будет определена на последнем этапе вычислений.Подстановка волновой функции (3.120) в уравнение на собственные значенияоператора Гамильтона (3.117)ĤΨ = p0 Ψдает первую систему уравнений для определения спиноров Ψ1,2 :Gnγ GnγGnγp0 −−σv0 Ψ1 = σpv −Ψ2 ,222Gnγ GnγGnvΨ1 .p0 −−σv0 Ψ2 = σpv −222(3.121)(3.122)Подстановка волновой функции (3.120) в уравнение на собственные значенияоператора спина (3.118)ŜΨ(x) = SΨ(x)(3.123)дает вторую систему уравнений для определения спиноров Ψ1,2 :Gnγσv0 Ψ2 ,2Gnγ{S − σpv } Ψ2 =σv0 Ψ1 .2{S − σpv } Ψ1 =(3.124)Следует отметить, что в системах уравнений (3.122) и (3.124) уже учтены соотношения (3.114) и (3.119).Из структуры систем уравнений (3.122) и (3.124) очевидно, что спиноры Ψ1и Ψ2 совпадают с точностью до знака.

Не теряя общности, остановимся на следующем выборе:Ψ1 = ψ, Ψ2 = ξψ,(3.125)где спинор ψ и новый параметр ξ = ±1 подлежат дальнейшему определению.Отметим, что существует второй вариант сочетания данных параметров, при66котором Ψ1 = ξψ и Ψ2 = ψ. Оба варианта переходят друг в друга при умножении общего решения (3.120) на параметр ξ, который будет определять знакискомой волновой функции.Подстановка соотношений (3.125) в уравнения системы (3.124) дает собственные значения оператора спина (3.116)S = ζ p̃,(3.126)где ζ = ±1 соответствует двум состояниям поляризации спина, а p̃ являетсямодулем нового вектораp̃ = p − (1 − ξ)Gnγv0 .2(3.127)Структура спинора ψ определяется уз уравненияσ p̃ψ = Sψ(3.128) qp̃31 + ζ p̃,ψ= qp̃3 iδζ 1 − ζ p̃ e(3.129)и имеет видгде введена фазаp̃2.(3.130)p̃1Определим энергетический спектр нейтрино p0 и выразим неизвестный паδ = arctgраметр ξ через параметры задачи.

Для этого подставим уравнения (3.124) вуравнения системы (3.122) и получим системуGnγGnγS−Ψ2 = p0 −Ψ1 ,22(3.131)GnγGnγS−Ψ1 = p0 −Ψ2 ,22из которой видно, что неизвестный параметр ξ имеет видξ = εζη,(3.132)Gnγη = sgn 1 − ζ.2p̃(3.133)где67Энергетический спектр находится тривиально,GnγGnγp0 =+ εη p̃ − ζ.22(3.134)Нормировочная константа Nd определяется из условия нормировки, аналогичного выражению (3.52), и имеет вид1Nd =32L 2.(3.135)В итоге нейтрино в плотной среде, движущейся с постоянной скоростью v0 ,описывается волновой функциейΨ(x) =e−ipx2L32!ψ,εζηψ(3.136)где спинор ψ имеет вид (3.129).На этом завершается процесс построения новых точных решений уравненийДирака, описывающих нейтрино с нетривиальными электромагнитными свойствами в экстремальных внешних условиях.

В следующей главе будет произведен анализ полученных решений, на основе которого будут обсуждаться новыеастрофизические эффекты и явления.68Глава 4Новые астрофизические явленияДанная глава диссертации посвящена применению полученных в главе 3 новых точных решений уравнений Дирака, описывающих нейтрино с нетривиальными электромагнитными свойствами в различных экстремальных внешнихусловиях, для описания распространения потоков нейтрино в астрофизическихусловиях и предсказания новых астрофизических явлений и эффектов.

Основными объектами исследований будут астрофизические источники мощного нейтринного излучения. Отличительной особенностью данных источников является присутствие сверхплотных сред (вплоть до ядерных плотностей ρ ∼ 1014 смг 3 )и мощных магнитных полей (вплоть до B ∼ 1014 Гаусс). Дополнительной мотивацией является тот факт, что в большинстве случаев такие объекты не статичны, а имеют высокую угловую скорость вращения (вплоть до 1000 оборотовв секунду). В частности, особое внимание будет уделено описанию распространения потоков нейтрино внутри нейтронных звезд и других астрофизическихобъектов со схожими параметрами внешних условий.В данных экстремальных внешних условиях все теоретические результаты,полученные в диссертации, становятся весьма актуальными с экспериментальной точки зрения.

Поскольку нейтрино, благодаря своей высокой проникающейспособности, являются весьма эффективным инструментом изучения внутреннего строения звезд, то любые новые знания о распространении потоков нейтрино в данных условиях представляют интерес для астрофизики.694.1Квазиклассическая интерпретация новых решенийуравнений ДиракаРассмотрим движение миллизаряженного нейтрино в сильных внешних магнитных полях и плотных вращающихся средах. В данных условиях возникаетквантование энергетических уровней нейтрино, которое влечет за собой качественное изменение характера движения нейтрино.

Наибольший интерес представляет описание активных нейтрино, которые участвуют в слабых взаимодействиях с частицами среды. Описание движение будем производить на основерезультатов параграфа 3.4.Вычислим радиус квазиклассической орбиты миллизаряженного нейтриново вращающейся замагниченной среде, который определяется по известной формуле квантовой механикиZR = Ψ† (x) r Ψ(x) dr.(4.1)Подстановка волновых функций (3.88) в формулу (4.1) даетs2NR=.q0 B − 2Gnω(4.2)Будем рассматривать электронейтральную среду, богатую нейтронами (nn >ne ).

В этом случае n < 0, и знаменатель не может обратиться в ноль ни прикаком выборе параметров задачи.Формула (4.2) справедлива для активных левых нейтрино, движущихся вплоскости вращения среды (p3 = 0) и занимающих высокий модифицированныйуровень Ландау N 1.

Характеристики

Список файлов диссертации