Диссертация (1104029), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Вначале рассмотрена общая структуралагранжиана модели, учитывающая как электромагнитные взаимодействия миллизаряда и аномального магнитного момента нейтрино с сильным внешним магнитном полем, так и слабые взаимодействия нейтрино с частицами среды. Затемдано описание метода точных решений, являющегося эффективным методомисследования взаимодействий элементарных частиц в экстремальных внешнихусловиях.На основе метода точных решений найден ряд новых точных решений уравнений Дирака, описывающих нейтрино с нетривиальными электромагнитнымисвойствами в движущихся замагниченных средах.
В частности, найдены точные решения уравнений Дирака, описывающие миллизаряженное нейтрино саномальным магнитным моментом в постоянном магнитном поле и плотнойпокоящейся среде (параграф 3.3), миллизаряженное нейтрино в магнитном поле и плотной вращающейся среде (параграф 3.4) и нейтрино в релятивистскойдвижущейся среде (параграф 3.6). Также в параграфе 3.5 рассмотрен частныйслучай задачи, разобранной в параграфе 3.3, при условии нулевого миллизаряданейтрино.
В процессе нахождения решений используется оригинальная техникапостроения новых спиновых операторов, являющихся интегралами движения.Все найденные решения могут быть использованы для расчетов различных про-41цессов взаимодействия нейтрино в астрофизических условиях.3.1Лагранжиан моделиРассмотрим структуру лагранжиана модели, описывающей частицу с нетривиальными электромагнитными свойствами в плотных средах и внешних электромагнитных полях.Электромагнитное взаимодействие частицы, обладающей зарядом e, с внешним электромагнитном полем, описываемым потенциалом Aµ , сводится к замене оператора импульса p̂ в функции Лагранжа свободной частицыL0 = Ψ̄ {γµ p̂µ − m} Ψ(3.1)на оператор обобщенного импульса [19]P̂ µ = p̂µ − eAµ (x).(3.2)Как было показано В.
Паули в фундаментальной работе [135] электромагнитное взаимодействие частицы с полуцелым спином, обладающей также ианомальным магнитным моментом µ, приводит к появлению дополнительного вклада в лагранжиан1Lem = −Ψ̄ {µσµν F µν } Ψ.2(3.3)Эффективный потенциал, описывающий слабые взаимодействия пробной частицы с частицами среды в соответствии с результатами параграфа 2.2 главы 2имеет вид (2.17)1+γ5Lm = −Ψ̄f µ γµΨ,(3.4)2где эффективный потенциал среды определяется формулой (2.18).Собирая все вклады вместе, получаем эффективный лагранжиан11Lef f = Ψ̄ γµ P̂ µ − γµ (1 + γ5 )f µ − µσµν F µν − m Ψ22(3.5)описывающий частицу с зарядом e и аномальным магнитным моментом µ вовнешнем электромагнитном поле и плотной среде.
Данному лагранжиану соответствует эффективное уравнение Дирака4211γµ P̂ µ − γµ (1 + γ5 )f µ − µσµν F µν − m Ψ = 0,22(3.6)которое можно использовать для описания миллизаряженного нейтрино с аномальным магнитным моментом в магнитном поле и плотной среде. Предварительно, сделаем несколько замечаний.Во-первых, в соответствии с теорией, изложенной в главе 2, физической природой обладают масса, магнитный момент и электрический заряд массовыхнейтрино. Поскольку уравнение (3.6) учитывает вклад слабых взаимодействийнейтрино с частицами среды (3.4), то оно описывает квантовые состояния флейворного нейтрино. В связи с этим, введенные масса, магнитный момент и электрический миллизаряд являются фундаментальными характеристиками флейворных нейтрино, то есть являются эффективными величинами. Поэтому самоуравнение правильно называть в данном контексте эффективным уравнениемДирака.
Однако, при дальнейшем изложении мы будем использовать термины“модифицированное уравнение Дирака” или просто уравнение Дирака. Изучение данного класса уравнений представляет практический интерес, посколькуименно флейворные состояния нейтрино непосредственно изучаются экспериментально.Во-вторых, нетривиальные электромагнитные свойства нейтрино могут привести к дополнительным электромагнитным взаимодействиям нейтрино с частицами среды. В частности, взаимодействие магнитного момента и миллизаряда нейтрино с зарядами и магнитными моментами частиц среды (нейтронами,протонами и электронами) приведет к появлению дополнительного потенциалаδAµ , который необходимо учесть в структуре в уравнения Дирака, сделав соответствующую замену Aµ → Aµ + δAµ .
При этом, слагаемое, описывающее слабые взаимодействия нейтрино с частицами среды (3.4), не изменяется. Однако,в присутствии сильного внешнего магнитного поля электромагнитным взаимодействием нейтрино с частицами электронейтральной среды можно пренебречь.В связи с этим, в уравнении Дирака (3.6) вклады, описывающие данные электромагнитные взаимодействия, не учитываются.Дальнейшее изложение данной главы диссертации посвящено нахождениюновых точных решений уравнений Дирака (3.6), описывающих нейтрино с нетривиальными электромагнитными свойствами в экстремальных внешних условиях. При этом, весьма эффективным инструментом исследования различных43квантовых процессов во внешнем электромагнитном поле является метод точных решений соответствующих уравнений Дирака. Поэтому сперва дадим краткое введение в теорию данного метода.3.2Метод точных решенийМетод точных решений основан на представлении Фарри [136] в квантовойэлектродинамике, широко используемом при описании взаимодействий частицпри наличии внешнего электромагнитного поля.
Техника вычислений заключается в расчете матричных элементов рассматриваемых процессов с использованием оператора эволюции Zt2µUF = T exp −i jµ (x)A (x)dx ,(3.7)t1где Aµ (x) описывает потенциал квантового поля излучения, а электромагнитный токejµ (x) =Ψ(x)γµ , Ψ(x)(3.8)2вычисляется на основе точных решений Ψ(x) уравнений Дирака, описывающихчастицу с зарядом e во внешнем электромагнитном поле. Таким образом, поле излучения учитывается по теории возмущений, а внешнее электромагнитноеполе учитывается точно в структуре волновой функции введением соответствующего классического потенциала Aµcl (x) в уравнение Дирака{γµ (p̂µ − eAµcl (x)) − m} Ψ(x) = 0.(3.9)Метод точных решений впервые был успешно применен при развитии теориисинхротронного излучения [19], а также при изучении электродинамических ислабых взаимодействий в различных конфигурациях внешних электромагнитных полей [20–22].
Подробное описание метода, а также примеры его применения для нахождения точных решений релятивистских волновых уравненийдля частиц, помещенных во внешнее поле, представлено в классических работах [19–26].Отметим, что решения для волновых функций нейтрино, обладающих аномальным магнитным моментом, в произвольных внешних электромагнитных44полях были получены в работах [27–29].Новым толчком в развитии метода точных решений является применениеданного метода к описанию распространения фермионов в случае присутствияматериальной среды [126, 127, 137–139].
Уникальность данного метода заключается в нахождении точных решений (волновой функции и энергетическогоспектра) модифицированного уравнения Дирака, в котором внешнее электромагнитное поле учитывается стандартным образом, то есть через векторный потенциал, а влияние среды - введением специального эффективного потенциала.Найденные решения затем могут быть использованы для расчета матричныхэлементов различных процессов по стандартной диаграммной технике.
Такимобразом, метод точных решений является мощным инструментом теоретического описания фундаментальных взаимодействий в физике элементарных частиц,и в частности, описания эволюции квантовых состояний нейтрино с нетривиальными электромагнитными свойствами в плотных средах и электромагнитныхполях.3.3Миллизаряженное нейтрино с аномальныммагнитным моментом в магнитном поле и плотнойсредеКвантовые состояния миллизаряженного нейтрино с аномальным магнитным моментом в плотной среде и внешнем магнитном поле описываются модифицированным уравнением Дирака (3.6)11µµµνγµ P̂ − γµ (1 + γ5 )f − µσµν F − m Ψ(x) = 0,(3.10)22где оператор обобщенного импульса имеет вид (3.2)P̂ µ = p̂µ − qν Aµ (x).(3.11)В соответствии c соотношением (1.18), рассмотрим нейтрино с отрицательныммиллизарядомqν = −q0 ,где q0 - модуль миллизаряда.(3.12)45Рассмотрим частный случай постоянного и однородного магнитного поля и,соответственно, выберем систему координат, в которой третья ось направленавдоль магнитного поля B ez .
В этом случае потенциал внешнего классического магнитного поля может быть выбран в видеAµ =B(0, −y, x, 0).2(3.13)Легко убедиться непосредственной проверкой, что данный выбор удовлетворяетнеобходимому условию B = [∇ × A] = Bez .Также ограничимся рассмотрением случая покоящейся неполяризованнойэлектронейтральной среды, описываемой эффективным потенциалом (2.23). Приэтом, эффективные концентрации частиц среды для электронного нейтрино имюонного и тау нейтрино определяются соотношениями (2.26) и (2.27) соответственно.Теперь перейдем непосредственно к построению решения. Для этого в уравнении (3.10) явно выделим производную по времениi∂Ψ(x) = ĤΨ(x)∂t(3.14)и введем эффективный гамильтонианĤ = γ0 γ P̂ + γ0 m + γ0 σ3 µB + (1 + γ5 )Gn,2(3.15)описывающий квантовые состояния миллизаряженного нейтрино с аномальныммагнитным моментом в плотной среде и магнитном поле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
