Диссертация (1104029), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Вновь будем решать задачу в цилиндрической системе координат, направив третью ось вдоль оси вращения среды по направлению магнитного поля, ω B ez . Как и в предыдущем параграфе, выберем потенциал электромагнитного поля в виде (3.13).Вектор скорости частиц среды определяется из уравнения v = [ω × r] иимеет видv = ω(−y, x, 0).(3.57)Согласно формуле (2.39), слабые взаимодействия нейтрино с частицами движущейся среды описываются эффективным потенциаломf µ = Gn(1, v),(3.58)где мы пренебрегли релятивистским гамма-фактором (2.40). Уравнение Дирака (3.56) может быть представлено в видеGnGnγµ P̂vµ − γ0 (1 + γ5 )+ vγγ5Ψ(x) = 0,(3.59)22где введен новый оператор импульса P̂vµ , представляющий собой модификациюобобщенного импульса P̂ µ (3.11) за счет слагаемого, описывающего движениесреды54P̂vµ =∂Gni , p̂ + q0 A −v .∂t2(3.60)Выделим в уравнении Дирака (3.59) производную по времениi∂Ψ(x) = ĤΨ(x)∂t(3.61)и определим оператор ГамильтонаĤ = γ0 γ P̂v + (1 + γ5 + Σv)Gn,2(3.62)описывающий миллизаряженное безмассовое нейтрино в магнитном поле и плотной вращающейся среде.Для описания спиновых свойств решения введем новый спиновый операторŜ = ΣP̂v + γ0 γvGn,2(3.63)который представляет собой сумму оператора продольной поляризации (3.28)и дополнительного оператора, пропорционального скорости движения средыv.
Нетрудно убедиться непосредственной проверкой, что новый оператор спина (3.63) коммутирует с оператором Гамильтона (3.62), а его собственные значения являются интегралами движения.В стандартном представлении матриц Дирака гамильтониан (3.62) имеет вид!GnGnGn+ 2 σv σ P̂v − 2,(3.64)Ĥ = 2GnGnσ P̂v − Gn+σv222а оператор спина представим в видеŜ =σ P̂vGn2 σvGn2 σvσ P̂v!.(3.65)Структура исходных матриц 4×4 разбита на блоки 2×2, определяемые матрицами Паули σ.
В связи с этим, решение удобно искать также в блочном виде!Ψ1 (x, y)Ψ(x) = Nc e−i(p0 t−p3 z),(3.66)Ψ2 (x, y)где спиноры Ψ1,2 , подлежащие определению, являются функциями только от55координат x и y. В волновой функции (3.66) учтено, что третья компонента импульса p3 является интегралом движения, и введена нормировочная константаNc , которая будет определена на последнем этапе вычислений.Подстановка волновой функции (3.66) в уравнение на собственные значенияоператора Гамильтона (3.64)ĤΨ = p0 Ψ.дает первую систему уравнений для определения спиноров Ψ1,2Gn GnGnp0 −−σv Ψ1 = σ P̂v −Ψ2 ,222GnGn Gn−σv Ψ2 = σ P̂v −Ψ1 .p0 −222(3.67)(3.68)Подстановка волновой функции (3.66) в уравнение на собственные значенияоператора спина (3.65)ŜΨ(x) = SΨ(x)(3.69)дает вторую систему уравнений для определения явного вида спиноров Ψ1,2onGnS − σ P̂v Ψ1 =σvΨ2 ,2onGnS − σ P̂v Ψ2 =σvΨ1 .2(3.70)Из структуры уравнений (3.68) и (3.70) очевидно, что спиноры Ψ1 и Ψ2 совпадают с точностью до знака.
Не теряя общности, остановимся на следующемвыбореΨ1 = ψ, Ψ2 = ξψ,(3.71)где спинор ψ и новый параметр ξ = ±1 подлежат дальнейшему определению.Отметим, что существует второй вариант сочетания данных параметров, прикотором Ψ1 = ξψ и Ψ2 = ψ. Оба варианта переходят друг в друга при умножении общего решения (3.66) на параметр ξ, который будет определять знакискомой волновой функции.Подстановка соотношений (3.71) в первое уравнение системы (3.70) даетσ P̂ψ = Sψ,где введен новый оператор(3.72)56Gnv.(3.73)2Матричная структура левой части уравнения (3.72) определяется матрицамиПаули σ и имеет вид!p̂3P̂1 − iP̂2σ P̂ =.(3.74)P̂1 + iP̂2−p̂3P̂ = P̂v + ξКомбинации операторов P̂1,2 в цилиндрической системе координат имеют видi∂QB∂P̂1 ± iP̂2 = −ie±iϕ±∓r ,(3.75)∂r r ∂ϕ2где введены эффективные величины электрического заряда Q и магнитногополя B, определяемые условиемQB = q0 B − (1 − ξ)Gnω.(3.76)По аналогии с соотношениями (3.22) и (3.23) операторы (3.75) связаны сфункциями Лагерра следующими соотношениями√QB 2 ilϕll−1 QB 2i(l−1)ϕP̂1 + iP̂2 Lsr e= i 2N QBLsr e ,(3.77)22 QB √QBP̂1 − iP̂2 Llsr2 eilϕ = −i 2N QBLl−1r2 ei(l−1)ϕ .(3.78)s22Подстановка соотношений (3.74), (3.77) и (3.78) в уравнение (3.72) дает спектрспинового оператораS=ζqp23 + 2N QB(3.79)и структуру искомого спинораQB 2i(l−1)ϕ1 + pS3 Ll−1s2 r ep2ilϕiζ 1 − pS3 Lls QB2 r epψ=!.(3.80)Наконец, определим энергетический спектр нейтрино p0 и выразим параметрξ через параметры задачи.
Для этого подставим выражения для спиноров Ψ1 иΨ2 из уравнений (3.70) в уравнения (3.68). Получим систему57GnS−Ψ2 = p0 −2GnS−Ψ1 = p0 −2GnΨ1 ,2GnΨ2 ,2(3.81)из которой, в соответствии с соотношениями (3.71), неизвестная ξ определяетсяв видеξ = εζη,(3.82)где введен новый параметрGnη = sgn 1 −.2S(3.83)Следует отметить, что собственные значения оператора спина (3.63) определяются кинетической энергией нейтрино.
В связи с этим, для релятивистскихнейтрино ∼ МеВ даже в сверхплотной среде ρ ∼ 1014 смг 3 выполняется условие|S| G|n|, из которого следует, что η = +1. При всех последующих оценкахбудет использоваться именно этот выбор параметра η.Энергетический спектр нейтрино находится тривиально,GnGn+ εζη S −.p0 =22(3.84)Учитывая ортонормированность функций Лагерра (3.54), определение нормировочной константы Nc также не представляет особых сложностей,rQBNc =.4πL(3.85)Итак, решение уравнения Дирака (3.56), описывающее движение безмассового миллизаряженного нейтрино во внешнем магнитном поле и плотной вращающейся среде, имеет видrΨ(x) = e−i(po t−p3 z)QB4πL!ψ,εζηψ(3.86)где эффективные величины электрического заряда Q и магнитного поля Bопределяются соотношением (3.76), спинор ψ имеет вид (3.80), энергетическийспектр и спектр спинового оператора задаются соотношениями (3.84) и (3.79)58соответственно.В случае нулевого электрического миллизаряда нейтрино данное решениесводится к результатам работы [144], где квантование энергетических уровнейвозникает только за счет слабых взаимодействий нейтрино с вращающейся средой.
Данный частный случай воспроизведен в Приложении 2 диссертации.Отметим, что общая структура решения без описания спиновых свойств была также получена в работах [34, 139, 145], в которых методика вычисленияосновывалась на отдельном описании эволюции левой (активной) и правой (стерильной) компонент волновой функции нейтрино.
В работе [34] был подробноописан метод учета массы нейтрино в рамках теории возмущений.Преимуществом развитого в настоящей главе подхода, основывающегося наописании спиновых свойств решения, является отсутствие необходимости разделения задачи на две подзадачи, описывающие левую и правую компонентынейтрино по отдельности.
Волновая функция (3.86) описывает как левые, таки правые компоненты нейтрино.Волновая функция (3.86) описывает безмассовые нейтрино, то есть нейтрино, движущиеся со скоростью света. В связи с этим, активная левая компонентанейтрино совпадает с состоянием с отрицательной спиральностью, ΨL ≡ Ψ− , астерильная правая - с состоянием с положительной спиральностью, ΨR ≡ Ψ+ .Более наглядно данную закономерность можно проследить, решив задачу в киральном представлении матриц Дирака (смотри Приложение 1).
Поскольку всевычисления полностью аналогичны вычислениям, уже проведенным в данномпараграфе, то приведен только окончательный вид волновой функции миллизаряженного нейтрино в магнитном поле и вращающейся среде в киральномпредставлении матриц Дирака в цилиндрической системе координат!r1−εζηψQB2Ψ(x) = e−i(po t−p3 z),4πL 1+εζηψ2(3.87)где, как и в формуле (3.86), величины Q и B определяются формулой (3.76), аспинор ψ имеет вид (3.80).Далее рассмотрим случай η = +1 и ε = +1. Нейтрино с отрицательнойспиральностью ζ = −1 описывается волновой функцией59rq0 B − 2Gnω4πL!ψ−,0(3.88)pp3 l−1 q0 B−2Gnω 2i(l−1)ϕ1 + S Lsr e 2ψ− = pp3 l q0 B−2Gnω 2ilϕ−i 1 − S Lsr e2(3.89)Ψ− (x) = e−i(po t−p3 z)гдеpи S = − p23 + 2N (q0 B − 2Gnω).
Очевидно, что волновая функция (3.88) удовлетворяет необходимому условиюΨ− (x) = ΨL (x),(3.90)где левая компонента волновой функции (3.87) задается проектором на левыесостояния (смотри Приложение 1)PL ≡1 + γ5.2(3.91)При этом волновая функция (3.88) описывает активные нейтрино, участвующиев слабых взаимодействиях с частицами среды.Нейтрино с положительной спиральностью ζ = +1 описывается волновойфункцией!r0q0 BΨ+ (x) = e−i(po t−p3 z),(3.92)4πL ψ+гдеpp3 l−1 q0 B 2i(l−1)ϕ1 + S Lsr e2(3.93)ψ= pp3 l q0 B 2ilϕi 1 − S Ls 2 r epи S = p23 + 2N q0 B. Волновая функция (3.92) удовлетворяет необходимомуусловиюΨ+ (x) = ΨR (x),(3.94)где правая компонента волновой функции (3.87) задается проектором на правыесостояния (смотри Приложение 1)PR ≡1 − γ5.2(3.95)При этом волновая функция (3.92) не содержит вклада слабых взаимодействийнейтрино с частицами среды и описывает стерильные нейтрино.60Аналогичный анализ можно провести для волновых функций антинейтрино, которые можно получить применением операции зарядового сопряжения кволновым функциям нейтрино,Ψc (x) = γ0 C † Ψ∗ (x),(3.96)где C = iγ0 γ2 , а Ψ(x) определяется формулой (3.87).В заключение данного параграфа обсудим особенности энергетических спектров различных типов (активных и стерильных) нейтрино и антинейтрино.
Всоответствии с формулами (3.79) и (3.84) энергия левого (активного) нейтрино(ε = +1, ζ = −1, η = +1) имеет видqνLp0 = Gn + p23 + 2N (q0 B − 2Gnω).(3.97)Энергия правого (активного) антинейтрино определяется набором параметровε = −1, ζ = +1 и η = +1 и имеет видqν̄Rp0 = −Gn + p23 + 2N (q0 B − 2Gnω),(3.98)где также взят знак “минус” у всего выражения, чтобы придать энергии положительное значение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
