Диссертация (1104029), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

В уравнении (3.15)введено обозначениеGFG= √ ,(3.16)2а n ≡ nνf определяется типом описываемого нейтрино (формулы (2.26) и(2.27)).Энергетический спектр нейтрино p0 определяется из задачи на собственныезначения оператора ГамильтонаĤΨ(x) = p0 Ψ(x).(3.17)Уравнения (3.14) и (3.17) задают временную зависимость волновой функции46Ψ(x) = e−ip0 t Ψ(x).(3.18)Поскольку гамильтониан (3.15) явно не зависит от координаты z, то третьякомпонента импульса p3 является интегралом движения.

В этом случае решение (3.18) может быть представлено в видеψ1 (x, y)−i(p0 t−p3 z) ψ2 (x, y)Ψ(x) = Nc eψ (x, y) , 3ψ4 (x, y)(3.19)где Nc - нормировочная константа.В стандартном представлении матриц Дирака гамильтониан (3.15) имеет видGnGnˆˆˆP1 − i P2+ (m + µB)0− 2 + P32GnGnˆ1 + iPˆ2ˆ3 0+(m−µB)P−−P22.Ĥ =  − Gn + PˆGnˆˆP−iP012322 − (m + µB)GnGnPˆ1 + iPˆ2− − Pˆ30− (m − µB)22(3.20)В цилиндрической системе координат операторы, входящие в состав данногогамильтониана, представимы в видеi∂qB∂0±iϕ±∓r ,Pˆ1 ± iPˆ2 = −ie∂r r ∂ϕ2∂Pˆ3 = −i ,∂z(3.21)причем действие оператора Pˆ3 на искомую волновую функцию дает Pˆ3 Ψ(x) =p3 Ψ(x) в соответствии с общей структурой решения (3.19).

Легко показать, чтооператоры Pˆ1 ± iPˆ2 связаны с функциями Лагерра [30] тождествамиpqBqB00(Pˆ1 + iPˆ2 )Ll−1r2 ei(l−1)ϕ = i 2N q0 BLlsr2 eilϕ ,(3.22)s22pqBqB00l2ilϕl−12(Pˆ1 − iPˆ2 )Lsr e = −i 2N q0 BLsr ei(l−1)ϕ ,(3.23)22где l - орбитальное, s - радиальное и N = l + s (N = 0, 1, 2...) - главное квантовые числа.

Исходя из матричной структуры гамильтониана (3.20) с учетомсоотношений (3.22) и (3.23) заметим, что решение (3.19) представимо в виде47l−1 q0 B 2i(l−1)ϕCLr e 1 s 2l q0 B 2ilϕ  iC2 Ls 2 r e,Ψ(x) = Nc e−i(p0 t−p3 z) l−1 q0 B 2i(l−1)ϕ r eC3 Ls2ilϕl q0 B 2iC4 Ls 2 r e(3.24)где спиновые коэффициенты Ck (k = 1, 2, 3, 4) подлежат определению. Подстановка решения (3.24) в уравнение (3.17) дает систему линейных алгебраическихуравнений относительно спиновых коэффициентов√GnGnC−(p−)+(m+µB)−(−p)C+2N q0 BC4 = 0,103322√ C −(p − Gn ) + (m − µB) − ( Gn + p )C + 2N q BC = 0,20340322(3.25)√GnGnC−(p−)−(m+µB)−(−p)C+2NqBC=0,30310222 C −(p − Gn ) − (m − µB) − ( Gn + p )C + √2N q BC = 0.40223201Энергетический спектр нейтрино p0 определяется из условия равенства нулюопределителя матрицы, соответствующей системе (3.25).

Однако, данная система может быть приведена к более простому виду после описания спиновыхсвойств решения.С этой целью введем новый спиновый оператор, который является взвешенной суперпозицией операторов поперечной и продольной поляризацииŜ = Ŝtr cos α − Ŝlong sin α.(3.26)Новый угол α определяется эффективной концентрацией частиц среды n (формулы (2.26) и (2.27)), величиной магнитного поля B и аномальным магнитныммоментом µ и задается выражениемGnsin α = p.(Gn)2 + (2µB)2(3.27)Следует отметить, что похожая техника вычислений использовалась также вработе [140].В качестве оператора продольной поляризации используется оператор спиральности [19]ΣP̂Ŝlong =,(3.28)mа в качестве оператора поперечной поляризации выбрана третья компонента48тензора поляризации спина [19]iŜtr = Σ3 +m!0 −σ0[σ × P̂ ]3 ,σ0 0(3.29)где σµ - матрицы Паули. Оператор спиральности (3.28) классифицирует спиновые состояния частицы относительно направления движения частицы, в товремя как оператор поперечной поляризации (3.29) - относительно направлениямагнитного поля.Нетрудно убедиться непосредственной проверкой, что введенный операторспина коммутирует с оператором гамильтониана (3.15), [Ŝ, Ĥ] = 0.

Поэтомусобственные значения S оператора спина (3.26), задаваемые уравнениемŜΨ(x) = SΨ(x)(3.30)являются интегралами движения.В стандартном представлении матриц Дирака оператор спина (3.26) имеетвидm cos α − Pˆ3 sin α−(Pˆ1 − iPˆ2 ) sin α0(Pˆ1 − iPˆ2 ) cos α1  −(Pˆ1 + iPˆ2 ) sin α −(m cos α − Pˆ3 sin α) −(Pˆ1 + iPˆ2 ) cos α0.0−(Pˆ1 − iPˆ2 ) cos αm cos α − Pˆ3 sin α−(Pˆ1 − iPˆ2 ) sin αm(Pˆ1 + iPˆ2 ) cos α0−(Pˆ1 + iPˆ2 ) sin α −(m cos α − Pˆ3 sin α)Ŝ =(3.31)Подстановка выражений (3.24) и (3.31) в уравнение (3.30) дает дополнительнуюсистему линейных алгебраических уравнений относительно спиновых коэффициентов√C(mcosα−psinα−mS)−2N q0 B(C2 sin α − C4 cos α) = 0,13√ C (m cos α − p sin α − mS) − 2N q B(C sin α + C cos α) = 0,33042√C2 (m cos α − p3 sin α + mS) + 2N q0 B(C1 sin α + C3 cos α) = 0, C (m cos α − p sin α + mS) + √2N q B(C sin α − C cos α) = 0.43031(3.32)Из условия равенства нулю определителя матрицы, соответствующей данноесистеме, определяется спектр спинового оператораqζS=(m cos α − p3 sin α)2 + 2N q0 B,(3.33)mгде ζ = ±1 соответствует двум состояния поляризации спина частицы.49Далее перемножим первое с четвертым и второе с третьим уравнения системы (3.32), а затем сложим полученные результаты.

В итоге получим соотношениеm cos α − p3 sin αm cos α − p3 sin α2222(C1 + C3 ) 1 −= (C4 + C2 ) 1 +,mSmS(3.34)связывающее попарно коэффициенты C1 и C3 с коэффициентами C2 и C4 . Используя данное соотношение, получаем структуру спиновых коэффициентов Ckq3 sin α e1 + m cos α−pC1 ,mSq3 sin α eC2 ,C2 = ζ 1 − m cos α−pmSq3 sin α eC3 ,C3 = 1 + m cos α−pmSq3 sin α eC4 = ζ 1 − m cos α−pC4 ,mSC1 =(3.35)ek , для определения которых необходимогде введены новые коэффициенты Cвновь рассмотреть систему (3.25).

Однако, сперва подставим соотношения (3.35)в систему (3.32) и получим вспомогательные тождестваe1 = −Ce2 sin α + Ce4 cos α,Ce3 = −Ce4 sin α − Ce2 cos α.C(3.36)Подстановка соотношений (3.35) и (3.36) в систему (3.25) дает соотношения,e1 и Ce3связывающие попарно коэффициенты Ce1 −(p0 − Gn ) + (m + µB) + cos α(mS − m cos α + p3 sin α) =C2GneC3 2 − p3 + sin α(mS − m cos α + p3 sin α) ,(3.37)e1 Gn − p3 + sin α(mS − m cos α + p3 sin α) =C2GneC3 −(p0 − 2 ) − (m + µB) − cos α(mS − m cos α + p3 sin α) ,(3.38)e2 и Ce4а также связывающие коэффициенты Ce2 −(p0 − Gn ) + (m − µB) − cos α(mS + m cos α − p3 sin α) =C2GneC4 2 + p3 + sin α(mS + m cos α − p3 sin α) ,(3.39)e2 Gn + p3 + sin α(mS + m cos α − p3 sin α) =C2Gne4 −(p0 − ) − (m − µB) + cos α(mS + m cos α − p3 sin α) .C2(3.40)50Из уравнений (3.37) и (3.38), равно как и из уравнений (3.39) и (3.40), определяется энергетический спектр нейтриноvsu22uGnGnGnt 2p0 =+ ε m + 2N q0 B + p23 + (µB)2 ++ 2mS+ (µB)2 ,222(3.41)где ε = ±1 задает знак энергии.

Уравнения (3.37)-(3.40) можно записать в болеекомпактной форме, введя новый угол β, определяемый соотношениемqsin β =Gn 22+ (µB)2 + mSp0 −Gn2.(3.42)Легко показать, чтоcos β =m sin α + p3 cos α.p0 − Gn2(3.43)Используя выражения (3.42) и (3.43) уравнения (3.37)-(3.40) преобразуются квидуe1 cos(α + β) = Ce3 (1 + sin(α + β)),CCe3 cos(α + β) = Ce1 (1 − sin(α + β)),e2 cos(α − β) = −Ce4 (1 + sin(α − β)),CCe4 cos(α − β) = −Ce2 (1 − sin(α − β)).(3.44)ek в видеДанная система позволяет определить коэффициенты Cpe1,3 = 1 ξ1,3 1 ± sin(α + β),C(3.45)2pe2,4 = 1 ξ2,4 1 ± sin(α − β),C(3.46)2где ξk задают знак соответствующего спинового коэффициента.Следует отметить, что все спиновые коэффициенты Ck определяются на данном этапе вычислений с точностью до константы.

Однако в выражениях (3.45)и (3.46) мы целенаправленно оставили множитель 21 , чтобы выполнялось условие нормировки C12 + C22 + C32 + C42 = 1. Данное обстоятельство будет учтенопри вычислении константы нормировки Nc .Для определения знаков спиновых коэффициентов ξk также заметим, чтосама волновая функция Ψ(x), являющаяся решением уравнения Дирака (3.10),определена с точностью до знака. Не теряя общности, условимся, что знак реше-51ния определяется с помощью ξ1 . В этом случае, знак при коэффициенте C1 фиксирован (ξ12 = +1), знак при коэффициенте C2 задается с помощью δ1 = ξ1 ξ2 ,знак при коэффициенте C3 задается с помощью δ2 = ξ1 ξ3 и знак при коэффициенте C4 задается с помощью δ3 = ξ1 ξ4 . Первые два уравнения системы (3.44)даютξ1 ξ3 = sign{cos(α + β)},(3.47)а из системы (3.36) определяются оставшиеся искомые произведенияξ1 ξ2 = −sign{sin α + cos β},(3.48)ξ1 ξ4 = sign{cos α + sin β}.(3.49)Используя соотношения (3.35) и (3.45)-(3.49), получаем явный вид спиновыхкоэффициентовC1 =C2 =C3 =C4 =r1m cos α − p3 sin α p1+1 + sin(α + β),2 rmSm cos α − p3 sin α p1δ1 ζ 1 −1 + sin(α − β),2 rmS1m cos α − p3 sin α pδ2 1 +1 − sin(α + β),2 rmS1m cos α − p3 sin α pδ3 ζ 1 −1 − sin(α − β),2mS(3.50)гдеδ1 = −sgn{sin α + cos β},δ2 = sgn{cos(α + β)},δ3 = sgn{cos α + sin β}.(3.51)На последнем этапе построения волновой функции Ψ(x) вычислим нормировочную константу Nc .

Условие нормировкиZΨ† (x)Ψ(x) d3 x = 1(3.52)даетrq0 B.(3.53)2πLПри вычислениях использовалось условие ортонормированности функций ЛаNc =52герра [30]ZLn (x)Lm (x)dx = δmn .(3.54)Итак, решение уравнения Дирака (3.10), описывающего квантовые состояниямиллизаряженного нейтрино с аномальным магнитным моментом в плотнойсреде и внешнем магнитном поле, имеет вид [141, 142]l−1 q0 B 2i(l−1)ϕC1 Ls2 r erl q0 B 2ilϕ iC2 Ls 2 r eq0 B −i(p0 t−p3 z) ,Ψ(x) =eqBl−12i(l−1)ϕ02πLerC 3 L s2ilϕl q0 B 2iC4 Ls 2 r e(3.55)где спиновые коэффициенты задаются соотношениями (3.50) и (3.51), энергетический спектр нейтрино p0 и спектр спинового оператора S задаются соотношениями (3.41) и (3.33) соответственно. Полученное решение является новыми наиболее общим точным решением модифицированного уравнения Дирака,учитывающего как слабые так и электромагнитные взаимодействия нейтринос окружающей средой.Следует отметить, что развитая техника может быть применена для описания квантовых состояний других частиц.

Например, волновая функция электрона с аномальным магнитным моментом в магнитном поле и плотной средебыло найдена в работах [31, 32].Найденный энергетический спектр (3.41) имеет дискретный набор значений,то есть квантован. Квантование возникает за счет электромагнитного взаимодействия миллизаряда нейтрино с внешним магнитным полем. Например, заряженная частица в магнитном поле в вакууме располагается на уровнях Ландау [143]. Найденные решения можно рассматривать как модификацию классических уровней Ландау за счет присутствия среды и называть модифицированными уровнями Ландау.Однако, относительно недавно в работе [144] было показано, что слабые взаимодействия нейтрино с плотной вращающейся средой также приводят к квантованию энергии. В связи с этим, несомненный интерес представляет собой задача об изучении квантовых состояний миллизаряженного нейтрино в магнитномполе и плотной вращающейся среде.

Данной проблеме посвящена следующийпараграф.533.4Миллизаряженное нейтрино в магнитном поле иплотной вращающейся средеКвантовые состояния миллизаряженного нейтрино в магнитном поле и плотной вращающейся среде описываются модифицированным уравнением Дирака1γµ P̂ µ − γµ (1 + γ5 )f µ Ψ(x) = 0,(3.56)2где, как и в предыдущем параграфе, оператор обобщенного импульса P̂ µ имеетвид (3.11), а нейтрино обладает отрицательным электрическим зарядом (3.12).Данный выбор внешних условий может быть использован как первое приближение при описании движения нейтрино внутри нейтронных звезд, которыесостоят из сверхплотной быстро вращающейся замагниченной материи.В этом параграфе мы ограничимся описанием безмассовых нейтрино, m = 0.Для определенности рассмотрим частный случай, когда ось вращения средысовпадает с направлением магнитного поля.

Характеристики

Список файлов диссертации