Диссертация (1104029), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Современные данные нейтринных осцилляционных экспериментов приведены вТаблице 1.1.Физические нейтрино ψ1,2 , обладающие истинными массами m1,2 , описываются уравнениями Дирака{γµ p̂µ − mi } ψi = 0,i = 1, 2.(2.3)При этом, считается, что различные физические состояния нейтрино обладаютодинаковым импульсом p = p1 = p2 .
Уравнения (2.3) можно представить ввиде∂(2.4)i ψi = Ĥi ψi ,∂tгде введены гамильтонианы эволюции физических состояний Ĥi = γ0 γ p̂+γ0 mi ,описывающие свободное движение частиц. Не теряя общности, рассмотрим нейтрино, распространяющиеся вдоль оси x координат. Уравнения на собственныезначения операторов Гамильтона25Ĥi ψi = Ei ψiзадают энергетические спектры физических состоянийqEi = p2 + m2i .(2.5)(2.6)Учитывая соотношения (2.4)-(2.6), систему уравнений (2.3) можно параметризовать в виде∂i ψi = Hij ψj ,(2.7)∂tгде матрица H является диагональной матрицей 2 × 2, определяющейся энергетическими спектрами физических состояний,!E1 0H=.(2.8)0 E2Перейдем во флейворный базис с помощью преобразования ψ = U † ν, которое является обратным, по отношению к преобразованию (2.1).
Уравнениеэволюции флейворных состояний примет видi∂ν = H 0 ν,∂t(2.9)где матрица H 0 , описывающая эволюцию флейворных состояний нейтрино, определяется соотношениемH 0 = U HU † .(2.10)Учитывая малость масс нейтрино по сравнению с энергией нейтрино (mi p),энергетические спектры (2.6) можно представить в видеm2iEi = p +.2pПодстановка соотношений (2.2), (2.8) и (2.11) в формулу (2.10) даетm22 + m21δm20H = p+{σ1 sin 2θ − σ3 cos 2θ} ,σ0 +4p4p(2.11)(2.12)где δm2 = m22 −m21 , σµ - матрицы Паули (смотри Приложение 1).
Элементы матрицы H 0 определяют вероятность перехода νe → νµ [124], которая представляетсобой произведение амплитуды осцилляций26Pampl =0 2)(2H12000 )2(2H12 )2 + (H22 − H11(2.13)и осцилляционного членаπx,Lгде длина осцилляций определяется соотношениемPosc (x) = sin22πL= p.0 )2 + (H 0 − H 0 )2(2H122211(2.14)(2.15)Используя явный вид элементов матрицы (2.12), для вероятности осцилляций получаемπx,(2.16)Pνe →νµ (x) = sin2 2θ sin2L4πpгде длина осцилляций L = δm2 , а x - пройденное нейтрино расстояние. Очевидно, что данное выражение находится в согласии с формулой (1.8), полученнойв работе [77].2.2Осцилляции нейтрино в покоящейся средеРассмотрим осцилляции между электронными νe и мюонными νµ флейворными состояниями нейтрино в присутствии материальной среды.
Впервые данная задача была рассмотрена в работе [80].Сперва опишем взаимодействие нейтрино с частицами среды. В рамках подхода, развитого в работах [81,125–127], рассмотрим достаточно плотную среду, вкоторой на длине волны де Бройля нейтрино находится макроскопическое число частиц среды. В этом случае взаимодействие нейтрино с частицами средыможно считать когерентным. Усреднение по числу частиц среды дает добавкук вакуумному лагранжиану нейтрино51+γ∆Lef f = −f µ ν̄γµν ,(2.17)2которая учитывает взаимодействие нейтрино как посредством заряженных, таки нейтральных токов.Эффективный потенциал среды f µ определяется составом среды (электроны, нейтроны и протоны), а также скоростью движения vf и поляризацией ζfчастиц среды в соответствии с соотношением [81, 125–127]27fµ =√X2GF(1)(2)jfµ qf + λµf qf ,(2.18)f =e,p,nгде GF - константа Ферми (1.2), а выражения для тока и вектора поляризациисоответствующей флейворной компоненты среды (f = e, n, p) имеют видjfµ = (nf , nf vf )иλµf(2.19)= nf ζf vf , nf ζfqnf vf (ζf vf ) q1 − vf2 +1 + 1 − vf2(2.20)соответственно.
В представленных выражениях параметр nf определяет концентрацию соответствующей флейворной компоненты среды.(f )(1)(1)Коэффициенты qf и qf определяются третьей компонентой изоспина I3Lи электрическим зарядом Q(f ) частиц среды в соответствии с соотношениями(1)(2)qf(f )qf = I3L − 2Q(f ) sin2 θW + δef ,(1 for f=e,(f )= −I3L − δef , δef =0 for f=n, p,(2.21)(2.22)где θW - угол Вайнберга.В случае покоящейся неполяризованной среды эффективный потенциал среды (2.18) примет видGFf µ = √ (nνf , 0),(2.23)2где введена эффективная концентрация частиц среды nνf , соответствующаяопределенному флейвору f нейтрино.
В частности, для электронного нейтриноэффективная концентрация частиц среды задается выражениемnνe = −nn + (1 + 4 sin2 θW )ne + (1 − 4 sin2 θW )np ,(2.24)а для мюонного и тау нейтрино она равнаnνµ,τ = −nn − (1 − 4 sin2 θW )ne + (1 − 4 sin2 θW )np .(2.25)Отличие в эффективных концентрациях частиц среды для электронных нейтрино и мюонных и тау нейтрино заключается в том, что взаимодействия мю-28онных и тау нейтрино с частицами среды осуществляется только посредствомнейтральных токов, в то время как электронные нейтрино взаимодействуют какпосредством нейтральных, так и заряженных токов. В случае электронейтральной материи (ne = np ) выражения (2.24) и (2.25) значительно упрощаютсяnνe = −nn + 2ne ,(2.26)nνµ,τ = −nn .(2.27)Состоятельность данного подхода описания взаимодействия нейтрино с частицами среды подтверждается тем, что он воспроизводит вклад среды, полученный в работе [80].
Действительно, дополнительный вклад в лагранжиан (2.17) модифицирует уравнение Дирака, описывающее флейворное нейтриноνf в средеγ0 (Eνf − f 0 ) − γp − mνf νf = 0,(2.28)гдеGF nνf√ .(2.29)2Следует отметить, что истинными массами m1,2 обладают только физическиенейтрино, которые не взаимодействуют с окружающей средой. Уравнение (2.28)f0 =описывает флейворные нейтрино, которые не обладают массой, но участвуют вслабых взаимодействиях с частицами среды. В этом случае принято говоритьоб эффективной массе флейворных состояний нейтрино mνf , которая входит вструктуру данного уравнения.Для определения массы флейворного нейтрино в покоящейся среде рассмотрим энергетический спектр флейворных нейтриноqEνf = p2 + m2νf + f 0 ,(2.30)который определяется из уравнения (2.28).
Очевидно, что эффективный потенциал среды f 0 аддитивно добавляется к энергии флейворного нейтрино. Вэтом случае гамильтониан (2.12), описывающий эволюцию флейворных состояний нейтрино в вакууме, может быть обобщен на случай движения нейтринов покоящейся среде с помощью добавления соответствующих вкладов среды вэнергию электронных и мюонных нейтрино:29Hm =m22 + m21 GF (nn − ne )1√p+−σ0 + {σ1 ∆ sin 2θ − σ3 (∆ cos 2θ − A0 )} ,4p22(2.31)где введены обозначенияA0 =и√2GF neδm2∆=.2p(2.32)(2.33)При выводе формулы (2.31) использовались соотношения (2.26) и (2.27), соответствующие электронейтральной среде.Собственные значения гамильтониана (2.31) определяют энергии флейворных состояний нейтрино, которые, учитывая малость массы нейтрино mνf pв формуле (2.30), могут быть представлены в видеEνf = p +m2νf2p+ f 0,(2.34)где введены эффективные массы флейворных нейтрино в неподвижной неполяризованной среде 2qm1 + m2222(2.35)+ A0 ∓ (∆ cos 2θ − A0 )2 + (∆ sin 2θ)2 .mνe ,νµ = p2pВероятность флейворных осцилляций нейтрино в среде имеет структуру,аналогичную выражению в вакуумном случае (2.16), где амплитуда (2.13) идлина (2.15) осцилляций определяются гамильтонианом (2.31).
В общепринятой терминологии выражение для амплитуды осцилляций через синус двойногоугла сохраняет свой вид, однако вакуумный угол смешивания заменяется угломсмешивания в среде θ → θm ,∆2 sin2 2θsin 2θm =.(∆ cos 2θ − A0 )2 + (∆ sin 2θ)22(2.36)Выражение для длины флейворных осцилляций нейтрино в среде получаетсятривиально2πLm = p.(2.37)(∆ cos 2θ − A0 )2 + (∆ sin 2θ)2Можно заметить, что при выполнении условия30A0 = ∆ cos 2θ(2.38)амплитуда перехода νe → νµ становится максимальной. Этот эффект впервыебыл предсказан в работе [5] и впоследствии получил название эффекта Михеева – Смирнова – Вольфенштейна. Следует отметить, что на основе данногоэффекта решается проблема солнечных нейтрино.2.3Осцилляции нейтрино в среде, движущейся спостоянным ускорениемРассмотрим осцилляции между электронными νe и мюонными νµ флейворными состояниями нейтрино в релятивистской среде с различными профилямиплотности и скорости. При этом будем считать, что среда состоит из нейтронов, протонов и электронов, является электронейтральной (ne = np ) и движетсякак единое целое по некоторому закону v(t).
Как и прежде, рассмотрим потокнейтрино, движущихся вдоль оси x координат.В частном случае движения среды с постоянным ускорением в адиабатическом приближении возможно определить явные выражения для вероятности идлины осцилляций, а также условие резонансного усиления амплитуды осцилляций [128]. Следует отметить, что на качественно ином уровне вопрос описания осцилляций нейтрино в нерелятивистской среде, движущейся с постояннымускорением, обсуждался в работе [14].Эффективный потенциал среды (2.18) в случае движения нейтрино в релятивистской неполяризованной среде имеет видf µ = γv f 0 (1, v),(2.39)где введен гамма-фактор1,(2.40)1 − v2учитывающий релятивистский характер движения частиц среды.
При этом, эффективная плотность частиц среды nνf по-прежнему определяется в системепокоя среды. Наличие гамма-фактора в выражении (2.39) является прямымследствием эффекта лоренцева сокращения длины и приводит к изменениюγv = √эффективной плотности частиц среды.31Осцилляции нейтрино в релятивистской среде, движущейся с постояннойскоростью v0 , были описаны в работе [81]. В данной работе было определеноусловия резонансаA0 γv (1 − βv0 ) = ∆ cos 2θ,(2.41)где β - скорость нейтрино, и предсказан эффект изменения резонансной плотности частиц среды за счет их движения. В частности, в случае встречногодвижения потока нейтрино и частиц релятивистской среды эффективная плотность частиц среды резко увеличивается, в то время как в случае попутногодвижения эффект присутствия среды пропадает.
В связи с этим, релятивистское движение среды может приводить к существенному изменению картиныосцилляций нейтрино. Описание осцилляций нейтрино с учетом эффектов поляризации и неоднородности среды было выполнено в работах [129, 130].Отметим, что в случае движения нейтрино в среде с непостоянной плотностью nf и скоростью v описание слабых взаимодействий нейтрино с частицамисреды с помощью эффективного потенциала (2.18) справедливо лишь в случаенезначительного изменения плотностиλDλDδnf (x) nf (x), δnf (x) = nf x +− nf x −(2.42)22и скоростиδv(x) v(x),λDλDδv(x) = v x +−v x−22(2.43)частиц среды на длине волны де Бройля λD нейтрино [131, 132].Эффективный потенциал среды (2.39) модифицирует уравнение Дирака, описывающее флейворное нейтрино νf в релятивистской средеnov00γ0 (Eνf − γv f ) − γ(p − γv f v) − mνf νf = 0.(2.44)Уравнение (2.44) определяет энергетический спектр нейтрино в релятивистскойсредеqvEνf = (p − γv f 0 v)2 + m2νf + γv f 0 ,(2.45)который для релятивистских нейтрино может быть представлен в видеEνvf=p+m2νf1 − v cos φ 0+ √f ,2p1 − v2(2.46)32где φ - угол между направлениями движения среды и потока нейтрино.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
