Диссертация (1103829), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Чтобы рассчитать теплоемкость, теплопроводность и тепловой поток используются стандартные фор⟨︀ ⟩︀мулы для двумерного идеального газа. Выражение для момента 2 получаетсяиз первого закона термодинамики и согласуется с уравнением (3.14).3.3.3Механическая работа, совершаемая рассеивателемИз первого закона термодинамики следует, что поток тепла равен нулю.
Периодические осцилляции рассеивателя можно рассматривать как механическуюработу , совершаемую рассеивателями [16]. Элементарную работу, соответствующую одному соударению, можно определить как = . Так как мырассматриваем двумерный идеальный газ, эффективное давление определяется41как = / , где — периметр рассеивателя, а сила, с учетом (3.10) =(⊥ ) Δ( cos ( ))( + Δ /2)≈= 2 ( cos ( ) + ),Δгде используется закон абсолютно упругих соударений и уравнение (3.10). Изменение двумерного объема = − , тогда = −2 ( cos ( ) + 0 cos ( ))( + Δ /2)0 cos ( ) .(3.20)Используя уравнение (1.5) и распределение для углов (1.6), усредняемвыражение (3.20) по и ∈ [0, ], и получаем⟨⟩5 20⟨⟩ .≈3 (3.21)В соответствии с первым законом термодинамики, работа определяет изменениевнутренней энергии системы, то есть, кинетической энергии частицы. Чтобыпроверить это утверждение, рассчитаем изменение внутренней энергии системы, используя выражение (3.14)⟨ 22⟩5= ⟨⟩ ⟨⟩.3(3.22)Подставляя выражение (3.13), получаем для изменения внутренней энергии(3.22) такое же выражение как для работы (3.21), что подтверждает, что равновесная термодинамика может быть обобщена на случай квази-стабильныхпроцессов.
Рассмотренный класс квазистабильных процессов открывает новоенаправление неравновесной термодинамики. Среди основных задач этой наукибыли, главным образом, проблемы переходов из одного метастабильного состояния в другое. Рассматриваемый нами тип процессов не является переходным.Формально он может продолжаться сколь угодно долго.
Он описывается уравнениями сходными с уравнениями квазиравновесных процессов, но при этомон не обязательно является медленным процессом. Важно, что постоянным тутявляется характер изменения термодинамических параметров. Наши простыеполученные из теории бильярдов модели могут быть применены к широкомукругу процессов, как показано в работе [11].423.4Термодинамика ансамбля кластеров с переменным числом частицПолученное увеличение температуры частицы со временем может показаться противоречащим экспериментальным данным, где речь идет о некоторой,постоянной на протяжении всего опыта температуре системы кластеров. Покажем, что ансамбль ускоряющихся частиц может иметь постоянную температуруи оценим ее с помощью простейшей модели.
Дело в том, что в описанных в разделе 1.2 экспериментах ансамбль свободно движущихся кластеров состоит ихтех, которые уже оказались на подложке, но еще не присоединились к растущимостровкам. Это позволяет рассмотреть равновесное состояние системы, когдачисло осаждающихся островков равно в среднем числу присоединившихся.Движение одного кластера на чешуйке ВОПГ далеко от равновесного. Ростэнергии хаотического движение кластера вызван движением чешуйки, на которой расположен кластер. Распределение плотности вероятности для скоростейодного кластера не стационарно. Мы рассматриваем процесс движения кластера как квази-стабильный процесс [11], что означает, что соотношение междуслучайной и детерминированной частями постоянно.
Это позволяет ввести стационарное распределение скоростей для ансамбля.Рассмотрим простую модель, где каждая частица осаждается на поверхность с нулевой скоростью. Скорость детерминирована и возрастает с постоянным ускорением = . Вероятность присоединения к островку в единицувремени пропорциональна скорости частицы . Вероятность того, что частица не присоединится к островку за небольшое время Δ, в течении которогоизменением скорости можно пренебречь, равна exp (−Δ).Вероятность, что частица останется свободной после относительно большого числа временных интервалов определяется выражением =∏︁(︀)︀exp (− Δ) = exp −(Δ)2 2 /2 .(3.23)=0При Δ → 0, получаем вероятность того, что частица возраста являетсясвободной, подставляя = /Δ,)︂(︂2. () = exp −2(3.24)43Распределение плотности вероятности для времени жизни частицы, то естьусловное распределение вероятности для возрастов частцы при условии, что ониприсоединяются (событие A) к островку в этом возрасте, выражается как(︂)︂2 ().= exp −(|A) = −2(3.25)Отсюда можно получить распределение возрастов в ансамбле√︂() =22exp (−).2Возраст кластера линейно связан с его скоростью, поэтому от (3.25) можно перейти к распределению по скоростям√︂() =2 2exp (−).2(3.26)Используя распределение плотности вероятности для скоростей, можноввести эффективную температуру = ⟨ 2 ⟩/2 и энтропию скорости.
Используя выражение 3.26 получаем температуру = /(2). Энтропию можнозаписать в виде = ln + 0 , где 0 постоянна. Полученная зависимость энтропии от температуры совпадает с выражением для энтропии идеального газа.Эффективную температуру определяют два фактора. Рост эффективнойтемпературы вызван ускорением, процесс которого можно описать как нагревание системы движущихся частиц. Уменьшение температуры вызвано тем, чточастицы присоединяются к островкам, то есть выбывают из ансамбля. В приближении медленного роста островков, открытая система кластеров имеет постоянную эффективной температурой.Выводы к главе 3В данной главе показано, что неравновесная динамика скорости частицыв хаотическом бильярде с движущимися границами является корневым процессом Бесселя.
Этот процесс относится к классу квазистабильных и описываетсясоответствующим стохастическим дифференциальным уравнением с = 1/2.44Также здесь обоснована возможность описания движения частицы в бильярде с периодически движущимися границами с помощью УФП. Динамикачастицы в бильярде с периодически движущимися границами является марковским процессом с шагом по времени близким к периоду колебаний стенки бильярда.
Определен диапазон значения параметров, в рамках которого динамикучастицы можно описывать с помощью соответствующего уравнения Ланжевенас мультипликативным шумом, что значительно упрощает моделирование этогопроцесса. С помощью УФП получено значение ускорения Ферми, возникающегопри взаимодействии частицы с периодически колеблющимися рассеивателями ввиде = 2⟨2 ⟩/, где ⟨2 ⟩ — средний квадрат скорости стенки рассеивателя, — средняя длина свободного пробега. Это значение строго в три раза больше,чем ускорение частицы при стохастических колебаниях рассеивателя.
В режиме,когда среднее время свободного пробега частицы много меньше периода колебаний рассеивателя и смещение рассеивателя много меньше длины свободногопробега, ускорение Ферми не зависит от периода колебаний рассеивателя.Предложена термодинамическая интерпретация процесса ускорения частицы рассеивателями при стохастическом и периодическом движении стенок рассеивателей. Взаимодействие частицы со стохастически движущимися стенкамирассматривается как процесс теплопередачи, а с периодически движущимися— как механическая работа, совершаемая рассеивателем.
Выражения для ускорения Ферми, полученные из уравнений термодинамики совпадают с результатами, полученными с помощью уравнения Фоккера-Планка для распределенияскоростей частицы.Рассмотрена термодинамика ансамбля частиц (кластеров) с переменнымчислом частиц. Показано, что для ансамбля частиц на поверхности существуетдиапазон значений параметров, на котором существует стационарное распределение скоростей, характеризуемое эффективной температурой. Причем, этатемпература возрастает с увеличением ускорения и убывает с увеличением вероятности присоединения к островку.45Рисунок 3.1 — Треугольная решетка бильярда с открытым горизонтом.Рассеиватели представляют собой ( ≫ 1) жестко связанных элементовмассы 46Глава 4.
Аррениусовская супердиффузияКак было описано в главе 2, влияние ускорения кластеров на свойства ихдиффузии будет зависеть от свойств чешуйки, которые в нашей модели описываются расположением и типом осцилляций рассеивателей. В общем виде этазадача аналитически не решается, поэтому мы рассмотрим два крайних случая:рассеивателей, расположенных на расстояниях меньших их размеров, в виде периодической решетки (в этой главе) и удаленных друг от друга рассеивателейраспределенных случайным образом (в главе 5). Результаты, представленные вданной главе опубликованы в работах [13; 15].Периодическая решетка бильярда моделирует Аррениусовскую диффузию,при которой частица (кластер) находится продолжительное время в метастабильном состоянии (одной ячейке бильярда), а затем переходит в другое состояние(соседнюю ячейку).4.1Аналитический расчет супердиффузии в приближении Махта-ЦванцигаЧтобы описать диффузионные свойства периодической решетки бильярдаи понять, как влияет на них ускорение Ферми (1.7), (3.13), воспользуемся подходом, предложенным в [76] и известным как приближение Махта-Цванцига.Предполагается, что рассеиватели почти касаются друг друга.
Тогда можно рассмотреть свободное пространство в периодическом бильярде как набор ячеек,связанных узкими коридорами общей шириной 0 . Так как рассеиватели расположены близко друг к другу, бильярдная частица оказывается запертой в каждойячейке в течении довольно долгого времени. Выходы из ячеек малы по сравнению с их периметром, т.е. 0 ≪ . Каждая ячейка является рассеивающим бильярдом Синая, так что распад корреляций происходит экспоненциально. Такимобразом, когда частица выходит из ячейки, динамика частицы не коррелированас ее движением на входе в ячейку. То есть, поведение бильярдной частицы можно описать как последовательные случайные переходы из одной ячейки в другуюпо узким коридорам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
