Диссертация (1103829), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В периодическом газе Лоренца в приближении Махта-Цванцига коэффициент супердиффузии убывает с увеличением среднего радиуса рассеивателей при фиксированном размере ячейки. В газе Лоренца со случайно распределенными рассеивателями, радиус которых много меньшесредней длины свободного пробега, коэффициент супердиффузии не зависит от радиуса рассеивателей.Научная новизна:1. Впервые рассмотрена в общем виде задача о диффузии частицы на подвижной поверхности. Показана возможность применения к этой задачеметодов теории бильярдных систем с подвижными границами.2. Обобщена модель ускорения Ферми на случай взаимодействия частицыс рассеивателем конечной массы, а так же для бильярдов с переменнымчислом частиц.83. Решена новая задача о динамике частицы в бильярде с периодическидвижущимися стенками.4.
Предложен новый тип супердиффузии, основанный на ускорении Ферми.5. Разработанный математический аппарат применяется для получения коэффициентов диффузии металлических кластеров на поверхности ВОПГ и объяснения их аномально быстрой диффузии.Теоретическая и практическая значимость диссертационной работы вытекает из новизны полученных результатов. Теоретическая значимость диссертации заключается в том, что в ней рассмотрена в общем виде задача о диффузиичастицы на подвижной поверхности. Показана возможность применения к этойзадаче методов теории бильярдных систем с подвижными границами. Предложены две бильярдные модели, описывающие диффузию кластеров на поверхностиграфита с различным количеством дефектов.
Получены выражения для коэффициентов диффузии частицы и проведено численное моделирование движениячастицы в соответствующий бильярдах. В результате работы были сформулированы теоретически значимые выводы, касающиеся поведения частиц на подвижной поверхности.Практическая значимость работы определяется тем, что ее результаты могут быть в дальнейшем использованы для предсказания особенностей диффузиикластеров металлов на поверхности ВОПГ, а также для анализа свойств чешуекграфена и их динамики по наблюдениям за диффузией кластеров на них.Достоверность изложенных в работе результатов подтверждается совпадением результатов теоретических расчетов, выполненных разными методами,с численными экспериментами, а также с результатами для частных случаев,полученными ранее другими авторами.Апробация работы.
Основные результаты работы докладывались на конференциях:– XXXI Dynamics Days Europe, Oldenburg, Germany, September 12-16, 2011[6];– 9-я международная конференция Математика. Компьютер. Образование,Москва, Россия, 30 января — 4 февраля 2012 [7];– The 7th International Conference on Unsolved Problems on Noise (UPoN2015), Barcelona, Spain, July 13-17 2015 [8; 9];9– Научная конференция молодых ученых и аспирантов ИФЗ РАН, Москва,Россия, 24-25 апреля 2017 [10].Личный вклад. Представленные результаты диссертационной работы получены автором лично или при его определяющем участии.
Задачи исследованийбыли поставлены совместно с научным руководителем. Автор принимал активное участие в интерпретации полученных результатов. Подготовка публикацийпроводилась совместно с соавторами.Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены водиннадцати печатных работах, пять из которых опубликованы в следующихрецензируемых журналах: Physical Review E [11], Journal of Statistical Mechanics:Theory and Experiment [12], European Physics Letters [13], Вестник МГУ [14],Нелинейная динамика [15], одна — в журнале Актуальные проблемы статистической радиофизики [16] и пять — в тезисах докладов конференций [6–10].Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, шестиглав, заключения и одного приложения. Полный объём диссертации составляет89 страниц с 27 рисунками и 1 таблицей.
Список литературы содержит 79 наименований.10Глава 1. Литературный обзор1.1Ускорение Ферми в бильярдахБильярдная динамическая система описывает движение материальной точки в некоторой ограниченной области многообразия с условием упругого отражения от границы по закону «угол падения равен углу отражения».
Бильярдныесистемы широко используются для моделирования физических процессов и решения фундаментальных проблем термодинамики [17; 18]. Понятие бильярда втеоретической механике и математической физике возникло после того, как Дж.Биркгоф [19] рассмотрел задачу о движении по инерции материальной точки(бильярдного шара) в некоторой ограниченной области. Некоторое время спустяработы Н. С. Крылова [20], посвященные проблеме перемешивания в системеиз упругих шаров, привели исследователей к необходимости рассмотрения задачбильярдного типа.
Преобразование : → называется перемешивающим,если для любых двух функций ℎ и справедливо соотношение∫︁∫︁∫︁lim =ℎ( )() =ℎ()(),→∞т.е. спустя достаточно большой промежуток ℎ( ) и () времени будут статистически независимыми. Однако только с публикаций работ Я. Г. Синая [21] изатем Л.А.Бунимовича [22; 23] (см.
также [24]) начались современные исследования бильярдов.Системы бильярдного типа служат полезными моделями в акустике, оптике и в некоторых других областях. Достаточно общие условия возникновениястохастичности в 2D бильярдах описаны в монографиях [25–27] (см. также цитированную там литературу). Термодинамический подход к анализу некоторыхбильярдов предложен в работе [28] и монографии [29]. В зависимости от геометрии бильярдов они могут проявлять как стохастические, так и детерминированные свойства. Нас будут интересовать стохастические бильярды.
Такие системыв определенном смысле являются ключом к пониманию некоторых вопросовтеории динамических систем и случайных процессов. Они также являются важным инструментом в объяснении возникновения необратимости в термодинами-11ческих системах, так как малое отклонение в начальных условиях приводит кбольшому разбеганию траекторий.bR2rbRРисунок 1.1 — Модель газа Лоренца для случая квадратной решетки с периодом и радиусами рассеивателей и и треугольной решетки с периодом ирадиусом рассеивателей .Одной из широко известных бильярдных моделей является периодическийгаз Лоренца — система, содержащая набор тяжелых дисков (рассеивателей) радиусом , расположенных в ячейках периодической решетки с периодом . Частица может свободно двигаться в пространстве между этими дисками.
Посколькучастицы не взаимодействуют между собой, то для анализа динамики такой системы достаточно рассмотреть только одну частицу.В периодическом газе Лоренца в зависимости от соотношения радиуса рассеивателей и периода решетки можно выделить три типа газа Лоренца: с ограни-12ченным горизонтом, когда частица находится в одной ячейке и не может перейтив соседнюю, с открытым горизонтом, когда такой переход возможен, но исключены бесконечно длинные пробеги частицы, и с бесконечным горизонтом, когдатакие пробеги возможны.
В случае бесконечного горизонта средняя длина свободного пробега не определена. Примеры газа Лоренца с открытым горизонтомдля квадратной и треугольной решетки представлены на рисунке 1.1. В газа Лоренца со случайной решеткой длина свободного пробега всегда определена. Нарисунке 1.2 представлен пример такой решетки. Для газа Лоренца, в которомсредняя длина свободного пробега частицы существует, она определяется черезобласть движения частицы Ω и периметр рассеивателей какΩ.(1.1)Очевидно, что данную формулу можно применять к одной ячейке периодической решетки.Естественным физическим обобщением классических бильярдных системявляются бильярды, границы которых осциллируют по тому или иному закону.В самом деле, газ Лоренца был предложен для описания движения электронасреди тяжелых ионов металла.
Однако в реальной ситуации ионы должны слабо «дрожать» вблизи своего положения равновесия. Тогда возникает вопрос: кчему приведут осцилляции границ бильярда? Дело в том, что в таком бильярдечастица будет испытывать как встречные, так и сопутствующие столкновенияс границей. В первом случае отражение от границы происходит, когда частицаи граница движутся навстречу друг другу, и скорость частицы увеличивается.Во втором случае столкновения происходят в момент, когда частица и границадвижутся в одном направлении, и скорость частицы уменьшается.
В рассеивающем бильярде в среднем будет возникать ускорение, называемое ускорениемФерми [30; 31].Механизм ускорения частиц в результате столкновения с массивными движущимися рассеивателями впервые был предложен Э.Ферми [30] для объяснения происхождения космических частиц высоких энергий. Его идея состояла втом, что заряженные частицы, сталкиваясь с движущимися заряженными облаками в межзвездном пространстве, должны в среднем ускоряться. В самом деле, если рассматривать облако как массивный рассеиватель, то нетрудно понятьпричину такого ускорения. При случайном распределении скоростей движения=13Рисунок 1.2 — Пример траектории частицы в газе Лоренца со случайнымраспределением рассеивателей.число облаков, которые движутся в одном направлении, будет равно числу облаков, движущихся в противоположном направлении. Поэтому частицы преимущественно будут сталкиваться с облаками, движущимися им навстречу, то естьв среднем они должны приобретать энергию.
Так возникает ускорение, называемое ускорением Ферми.Для объяснения ускорения Ферми в свое время было предложено большоеколичество различных моделей (см. [31–36] и цитированную там литературу).Эти модели в той или иной степени прояснили причину ускорения. Так, дляодномерной конфигурации (модель Ферми–Улама), когда частица осциллируетмежду двумя массивными стенками, одна из которых фиксирована, а другая движется, было показано, что для пилообразной зависимости движения стенки отвремени частица будет ускоряться.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
