Диссертация (1103829), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Корреляционная функция⟨Δ Δ ⟩ − ⟨Δ ⟩2 = ⟨(Δ )2 ⟩ + − ⟨Δ ⟩2 ,(3.3)где символ Кронекера. В соответствии с уравнениями (1.5) — (1.6), первый ивторой моменты изменения скорости определяются следующим образом420⟨(Δ ) ⟩ =,3240⟨Δ ⟩ = 2 ≪ ⟨(Δ )2 ⟩.92(3.4)Третьим слагаемым можно пренебречь, а второе слагаемое является корреляциеймежду различными соударениями = ⟨Δ Δ ⟩̸= .(3.5)Мы пренебрегаем вторым слагаемым в уравнении (1.5), так как оно много меньше, чем первое. Первое слагаемое является стационарным. Таким образом, зависит только от = − ∞∫︁ = = ⟨Δ0 Δ ⟩ ≥1 =Δ(0 )Δ( )( |0 ) ,(3.6)0где ( |0 = 0) — распределение плотности вероятности для времени -ногосоударения при условии, что время первого соударения 0 = 0 [71]. Это распределение плотности вероятности можно получить из экспоненциального распределения для времени между двумя последовательными соударениями.
Для газаЛоренца со случайным распределением рассеивателей средняя длина свободного пробега распределена экспоненциально. В [18] доказано, что для бильярдов сболее сложной конфигурацией распределение по длинам свободного пробега сдостаточной точностью также может быть аппроксимировано экспонентой. Следовательно, время свободного пробега также распределено экспоненциально сосредним значением = /.
При этом мы пренебрегаем изменением скорости завремя корреляции по сравнению с величиной скорости частицы. Распределениеплотности вероятности для времени -ного соударения−1exp(− ).( |0 ) = ( − 1)!(3.7)34Подставляя уравнения (1.5) – (3.2) в уравнение (3.6), получаем 2 20 =8∞ (︀∫︁)︀ + − ( |0 ) .0Подставляя уравнение (3.7), получаем 2 20 (1/ − )− =8∫︁∞0−1exp(− (1/ −)−1 )(1/ − )− ( − 1)! + ..Интеграл равен 1, в силу нормировки распределения вероятности. Следовательно, 2 20 cos( arctan( )) =,4(1 + ( )2 )/2Учитывая, что ≪ 1 в соответствии с условием (3.2), мы получаем ≈ 2 20 cos( ).4 (1 + ( )2 )/2(3.8)Чтобы оценить время корреляции для случайного процесса, мы используем два широко известных определения [74].
Для стохастических дифференциальных уравнений и соответствующих уравнений Фоккера-Планка время корреляции чаще всего определяется с помощью интегрального определения как∫︀∞2 = 0 ⟨Δ Δ ⟩/ , где = . Используя уравнения (3.3), (3.4) и (3.8) и∑︀учитывая, что ∞ =1 = 0 (это хорошо видно из представления корреляционной функции в виде суммы комплексно сопряженных слагаемых), получаем∞ ∑︁=+ 2 = . =1Иногда для знакопеременных функций время корреляции 0 определяетсякак первый нуль корреляционной функции.
Соответствующий номер импульса 0 = 0 / определяется как0= 0;Таким образом, получаем 0 = /4.2 0= .235При условии (3.2) среднее время свободного пробега меньше чем периодосцилляций стенок рассеивателя , следовательно, время корреляций близко кпериоду . Тогда период может играть роль шага по времени в УФП.3.1.2Решение уравнения Фоккера-ПланкаТак как период колебаний стенок рассеивателя может играть роль времени корреляции в УФП для распределения плотности вероятности по скоростямчастицы1 2(,)= − (1 (,)) +(2 (,)) ,(3.9)2 2в случае периодических колебаний рассеивателя, кинетические коэффициентыопределяются как⟨︀⟩︀(Δ )2⟨Δ ⟩,2 =.1 =Изменение Δ может быть рассчитано как сумма всех изменений скорости,произошедших за время . Можно представить изменение Δ как интегралускорений Δ /Δ , где Δ — интервал времени, соответствующий -ному соударению.
Этот интервал определяется средним для скоростей до и после n-ногосоударения ( + +1 )/2(︂)︂−1ΔΔ = +.2(3.10)Используя это уравнение и уравнения (1.5) — (1.6), получаем⟨∫︁⟨Δ ⟩ =0⟩Δ2 ⟨2 ⟩ =.Δ(3.11)Второй момент изменения скорости получаем, используя уравнение (3.4),⟨(Δ )2 ⟩ = ⟨(Δ )2 ⟩ =8 2⟨ ⟩,3(3.12)36где = / — среднее число соударений за время . Подставляя это выражение в коэффициенты 3.1.2, получаем2⟨2 ⟩1 =,8⟨2 ⟩2 =.3На больших временах распределение имеет вид2(,) = √(︂3220 )︂3/2)︂3exp − 2 .20 (︂Это приводит к асимптотическому поведению средней скорости и второго момента2⟨2 ⟩= 0 + ,(3.13)⟨()⟩ = 0 +5⟨ 2 ()⟩ = ⟨()⟩2 .(3.14)3То есть, средняя скорость бильярдной частицы линейно растет со временем, иускорение Ферми зависит от интенсивности колебаний стенки рассеиватиля, тоесть его зависимость от амплитуды колебаний различается для различных типов колебаний. Например, для гармонических колебаний скорости рассеивателя⟨2 ⟩ = 20 /2, таким образом ускорение Ферми = 20 / в три раза больше, чемдля стохастического движения стенки рассеивателя.3.2Квазистабильные процессыПолученному в разделе 3.1.2 уравнению Фоккера-Планка соответствуетуравнение Ланжевена или стохастическое дифференциальное уравнение√˙ = + √︀где () — белый шум, ⟨ ⟩ = 2( ), = 4⟨2 ⟩/(3), = 4⟨2 ⟩/(3).Этот процесс является корневым процессом Бесселя, поскольку отличается√от процесса Бесселя заменой виде ∼ 37−1+ ()2Данный процесс является частным случаем квазистабильного процесса с = 1/2, описываемого уравнением˙ =˙ = + (),где = 2 − 1.Этот процесс характеризуется устойчивым типом временной динамики моментов.
В частности1⟨⟩ ∼ 2(1−) ,1⟨2 ⟩ ∼ 1−Кроме того, соотношение вкладов устойчивого и случайного слагаемыхостается постоянным. А именно, уравнение с нулевым первым или вторым слагаемым дают одинаковую временную динамику˙ = ()˙ ⟨ −+1 ⟩== () 1 − то есть, процесс 1− является Виннеровским процессом и⟨2(1−) ⟩ ∼ Следовательно,1⟨⟩ ∼ 2(1−)Теперь рассмотрим процесс без шумового слагаемого˙ = В этом случае,1⟨⟩ = ((1 − )) 1−Для совпадения с шумовой динамикой получаем38 = 2 − 1.3.3Термодинамическая интерпретация взаимодействия частицы срассеивателемТеория бильярдов является абстрактной математической дисциплиной, поэтому применение ее для объяснения результатов реальных физических процессов требует дополнительного обоснования. Для этого необходимо интерпретировать результаты предыдущего раздела с точки зрения основных термодинамических законов.3.3.1Внутренняя энергия, энтропия и температура бильярдной частицыМы можем определить статистический ансамбль как большое число одинаковых бильярдных систем с движущимися рассеивателями.
Бильярды отличаются только начальным направлением движения частицы. Определим для этойсистемы основные термодинамические параметры, и проверим, что применениезаконов термодинамики приводит к такому же выражению для ускорение Фермикак и расчет с помощью уравнения Фоккера-Планка.Внутренняя энергия ввиду отсутствия каких либо полей и взаимодействийтрадиционно определяется как средняя кинетическая энергия двумерного движения частицы с массой ⟨︀ ⟩︀ 2.(3.15)=2Определим энтропию для замкнутой бильярдной ячейки.
В этом случае распределение по координатам является равномерным и станионарным, поэтому мырассматриваем зависимость энтропии только от скорости частицы. Поэтому, энтропию системы определим с помощью формулы Больцмана = − ⟨log ( , ,)⟩ + ,(3.16)39где ( , ,) = (,)/(2) — совместное распределение плотности вероятности для проекций скорости и . Оно получено с помощью стандартногопреобразования уравнения 3.1.2. Нас интересует только зависимость энтропии от времени. Подставим ( , ,) и уравнение 3.15 в уравнение 3.16() = log + 0 ,(3.17)где 0 не зависит от времени.
Температуру можно получить из теоремы о распределении энергии по степеням свободы или из формулы для энтропии идеальногогаза. В обоих случаях температура будет равна кинетической энергии⟨︀ ⟩︀ 2 =.2(3.18)Важно отметить, что в приближении малых скоростей движения стенокрассеивателя скорость частицы изменяется так медленно, что можно предположить, что выполняется принцип локального термодинамического равновесия.Температура не зависит от координаты и достаточно медленно меняется со временем.3.3.2Передача тепла от рассеивателя к частицеОсновная идея термодинамической интерпретации для этого случая была впервые предложена в [16]. Ускорение интерпретировалось как своего рода нагрев частицы в результате взаимодействия с термостатом, имеющим бесконечную температуру.
Поэтому здесь не будут рассматриваться подробностиприменения уравнения теплопроводности. Важно рассмотреть основную идеювзаимодействия частицы с термостатом, имеющим бесконечную температуру.Рассмотрим рассеиватели как тяжелые конгломераты, содержащие ( ≫1) идентичных жестко связанных частиц (элементов) с массой , которая равнамассе частицы (смотри рисунок 3.1). Тогда соударение движущейся частицы срассеивателем можно описать как соударение с одной из частиц, составляющихрассеиватель. Так как соударение точечное, область взаимодействия стремитсяк нулю: = / → 0.
Эти соударения можно рассмотреть как взаимодей-40ствие двух термодинамических систем, имеющих определенные температуру.Очевидно, что параметры , и не должны входить в конечный результатТемпература рассеивателей тоже может быть определена как кинетическаяэнергия их движения⟨︀ ⟩︀ 2 =,(3.19)2где — масса рассеивателей. Если max ̸= 0, то = ∞, так как массарассеивателей бесконечна: = → ∞. Корректность нашего определениятемпературы рассеивателей подтверждается тем фактом, что в изолированнойсистеме было бы возможно термодинамическое равновесие в случае конечноймассы рассеивателей. В этом случае осцилляции будут затухать из-за взаимодействия с частицей, пока кинетические энергии (или температуры) рассеивателя ичастицы не сравняются [75].
Приближение бесконечной массы рассеивателя соответствует тому, что система далека от равновесного состояния.Ускорение Ферми появляется в результате теплообмена между частицейкак термодинамической подсистемой и термостатом, имеющим бесконечнуютемпературу. Градиент эффективной температуры между вблизи рассеивателябесконечен (пропорционален ), но реальный поток температуры конечен, таккак область взаимодействия стремится к нулю как −1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
