Диссертация (1103829), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Распределениерассеивателей становится более упорядоченном, а это влияет на распределениедлин пробегов. = .(5.1)54Таким образом, в системе присутствует супердиффузии. В случае, когда ≪ ,коэффициент супердиффузии√︀ = 2(5.2)не зависит от средней длины свободного пробега , т.к. ускорение Ферми обратно пропорционально . Таким образом, коэффициент супердиффузии пропорционален квадрату амплитуды скорости границы и не зависит от радиусарассеивателей и концентрации рассеивателей .
Полученный результат иллюстрирует рисунок 5.3, на котором представлена траектории частицы в газеЛоренца со случайным распределением рассеивателей с различными радиусамирассеивателей . Концентрации рассеивателей 1 = 2 , радиусы 1 > 2 , азначит 1 < 2 . Различие в длинах свободного пробега компенсируется тем, чтоускорения Ферми обратно пропорционально , и коэффициенты супердиффузииполучаются равными.Выводы к главе 5В данной главе предложена бильярдная модель, описывающая диффузиюкластеров по поверхности графита как ускоренную диффузию частиц в газе Лоренца со случайным распределением рассеивателей с малой плотностью рассеивателей.
Эта модель описывает предельный случай, когда кластеры очень слабо связаны с поверхностью (поверхность достаточно гладкая). Кластер свободно движется по поверхности графита, и взаимодействует с чешуйками графитатолько в некоторые моменты времени. В моменты более сильного взаимодействия с чешуйками происходит передача импульса от движущейся чешуйки кластеру, и в среднем кластер ускоряется.
Причем, коэффициент диффузии линейнозависит от времени и от среднего квадрата скорости движения чешуйки.55n1 , R 1v1v01n2 = n1 , R2 < R1v2 < v1v02= v01Рисунок 5.3 — Диффузия частицы в газе Лоренца со случайнымраспределением рассеивателей с различными радиусами рассеивателей .Концентрации рассеивателей 1 = 2 , радиусы 1 > 2 , а значит 1 < 2 .Различие в длинах свободного пробега в коэффициенте диффузиикомпенсируется тем, что ускорения Ферми обратно пропорционально , икоэффициенты супердиффузии получаются равными.56Глава 6. Численное моделирование движения частицы в бильярде сдвижущимися границамиПроведено численное моделирование движения частицы в бильярде с движущимися границами.
Моделирование проводилось на языке c#. В программереализованы различные типы колебаний скорости стенки рассеивателя:– Cлучайные колебания, скорость стенки меняется по закону (1.2), радиусрассеивателя равен постоянной величине 0 .– Гармонические колебания, скорость меняется по закону () =0 cos( + ), радиус по закону () = 0 + 0 sin( + )/, где — случайная начальная фаза, равномерно распределенная в интервале[0, 2].
В одной реализации все рассеиватели движутся в фазе, а величина меняется для различных реализаций.Кроме этого в программе реализованы различные типы решетки:– Газ Лоренца с квадратной решеткой (см. рис. 1.1). Движение моделируется как движение внутри ячейки и последовательный переход из однойячейки бильярда в другую. На рисунке 6.1 представлен пример траектории частицы в одной ячейке. В центр ячейки добавлен маленький рассеиватель со средним радиусом 0 , чтобы избежать бесконечных пробеговчастицы.– Газ Лоренца со случайным распределением рассеивателей. Пример такойрешетки представлен на рисунке 1.2.
При моделировании такой системыгенерировалось достаточно большое поле с равномерно распределенными по нему рассеивателями, а если частица выходила за границу этогополя, то она попадала в такое же случайное поле.В программе можно запустить одну реализацию с графикой и наблюдатьза движением частицы в бильярде с заданными свойствами, а также получитьразличные типы статистики:– Стандартная. На выходе получается зависимость скорости частицы исреднеквадратичного отклонения от времени, аппроксимация результатов методом наименьших квадратов, и теоретическая зависимость.– Зависимость от скорости рассеивателя.
На выходе получается зависимость ускорения Ферми и коэффициента супердиффузии от квадрата ам-57b2rRРисунок 6.1 — Ячейка газа Лоренца с квадратной решеткой.плитуды скорости рассеивателя и теоретическая зависимость. Амплитуда скорости рассеивателя меняется с заданным шагом от заданногоначального значения.– Зависимость от радиуса рассеивателя. На выходе получается зависимость ускорения Ферми и коэффициента супердиффузии от радиуса рассеивателя и теоретическая зависимость. Радиус рассеивателя меняетсяс заданным шагом от заданного начального значения. В квадратной решетке радиус центрального рассеивателя не меняется.– Зависимость от периода колебаний стенки рассеивателя. На выходе получается зависимость ускорения Ферми и коэффициента супердиффузииот периода колебаний рассеивателя и теоретическая зависимость.
Пе-58риод колебаний рассеивателя меняется с заданным шагом от заданногоначального значения.Программа может быть использована в качестве обучающего материалапо предмету "Математические модели флуктуационных явлений"для студентов4 курса физического факультета, по спецкурсу "Флуктуационные процессы"длямагистров 2 года обучения кафедры общей физики и волновых процессов физического факультета МГУ и по предмету "Статфизика"для студентов 2 курсафакультета вычислительной математики и кибернетики.6.1Газ Лоренца с квадратной решеткойВ данном разделе представлены результаты компьютерного моделированияв газе Лоренца с квадратной решеткой с различными амплитудами колебанийскорости рассеивателей 0 и средними радиусами рассеивателей 0 .
Размер решетки = 20, средний радиус центрального рассеивателя 0 = 1, количествореализаций = 1500.На рисунке 6.2 представлена зависимость средней скорости частицы отвремени при различных радиусах рассеивателей 0 в квадратной решетке прислучайных колебаниях рассеивателя. Амплитуда колебаний скорости рассеивателей 0 = 0.3. На рисунке видно, что зависимость скорости от времени линейна,наклон графика хорошо совпадает с теоретическим значением (1.7).На рисунках 6.3, 6.4, 6.5 представлена зависимость среднеквадратичногоотклонения частицы от времени при различных радиусах рассеивателей 0 иразличных амплитудах колебаний скорости рассеивателей 0 в квадратной решетке при случайных колебаниях рассеивателя. Амплитуда колебаний скоростирассеивателей 0 = 0.3. На рисунке видно, что среднеквадратичное отклонениелинейно растет со временем, то есть в системе присутствует супердиффузия.Значение коэффициента супердиффузии хорошо совпадает с теоретическим значением, соответствующем коэффициенту диффузии, представленному в таблице1.На рисунке 6.6 представлена зависимость ускорения Ферми от среднегорадиуса рассеивателя 0 при различных амплитудах скорости рассеивателя 059R= 9 .80RRс т ьч а= 9 .0R 0= 8 .80R4 0= 9 .4= 9 .20Rор00= 8 .4Средняяс к о= 9 .606 0с т ицыR2 005 0 0 01 0 0 0 0В р е м яРисунок 6.2 — Зависимость средней скорости частицы от времени приразличных радиусах рассеивателей 0 в квадратной решетке при случайныхколебаниях рассеивателя.
Амплитуда колебаний скорости рассеивателей0 = 0.3, средний радиус центрального рассеивателя 0 = 1, размер решетки = 20, количество реализаций = 1500.в квадратной решетке при случайных колебаниях рассеивателя. Видно, что численные значения для ускорения Ферми хорошо совпадают с теоретическимизначениями, расчитанными по формуле (1.7).На рисунке 6.7 представлена зависимость коэффициента супердиффузии отсреднего радиуса рассеивателя 0 при различных амплитудах скорости рассеивателя 0 в квадратной решетке при случайных колебаниях рассеивателя. Видно,что численные значения для коэффициента супердиффузии хорошо совпадают стеоретическими, полученными из коэффициентов диффузии, представленных втаблице 1.На рисунке 6.8 представлена зависимость средней скорости рассеивателя от времени при различных амплитудах скорости рассеивателя в квадратнойрешетке при гармонических колебаниях рассеивателей.
Средний радиус рассеи-60R4 0 0 0R0С К ОRR2 0 0 0002 0 0 0 04 0 0 0 0= 9 .4= 9 .6000= 9 .8= 9 .96 0 0 0 0В р е м яРисунок 6.3 — Зависимость среднеквадратичного отклонения частицы отвремени при различных радиусах рассеивателей 0 и различных амплитудахколебаний скорости рассеивателей 0 в квадратной решетке при случайныхколебаниях рассеивателя. Средний радиус центрального рассеивателя 0 = 1,размер решетки = 20, количество реализаций = 1500. Амплитудаколебаний скорости рассеивателей 0 = 0.2вателей 0 = 9.2. В пучке графиков, соответствующем каждой амплитуде скорости рассеивателя представлены зависимости скорости частицы от времени приразличных периодах колебаний рассеивателя.
На рисунке видно, что ускоренияФерми, получившееся в численном моделировании превышает теоретическоезначение (3.13), и эта ошибка растет с увеличением амплитуды колебаний скорости рассеивателей 0 .На рисунке 6.9 представлена зависимость ускорения Ферми от периода колебаний скорости рассеивателя при различных амплитудах скорости рассеивателя в квадратной решетке при гармонических колебаниях рассеивателей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
