Геометрия гамильтоновых систем для многообразий и потенциалов Бертрана (1102755), страница 14
Текст из файла (страница 14)
òàêîé: åñëè ôóíêöèÿ η(Θ) ÿâëÿåòñÿ åãîðåøåíèåì, òî è ôóíêöèÿ η̃(Θ) = η(µ2 Θ)/µ2 òàêæå ÿâëÿåòñÿ åãî ðåøåíèåì.Ïóñòü S 0 ≈ (a, b) × S 1 ìíîãîîáðàçèå ñ êîîðäèíàòàìè (v, ϕ mod 2π) èïñåâäîðèìàíîâîé ìåòðèêîé ds2 = dv 2 − f 2 (v)dϕ2 , ãäå f (v) ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ íà (a, b) èf 0 (v) 6= 0 íà (a, b). Òîãäà, åñëè ôóíêöèÿ f (v) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþÒåîðåìà 10.β 4 + 5(−f 00 f + f 02 )β 2 − 5f 00 f f 02 + 4f 002 f 2 − 3f 000 f 0 f 2 + 4f 04 = 0,(3.1.7)äëÿ íåîòðèöàòåëüíîé äåéñòâèòåëüíîé β , òî íà ýòîì ìíîãîîáðàçèè ñóùåñòâóþò êîîðäèíàòû (θ, ϕ mod 2π), òàêèå, ÷òî θ = θ(v), â êîòîðûõ ïñåâäîðèìàíîâà ìåòðèêà èìååòâèä (2.1.8):dϕ2dθ22+,(3.1.8)ds = 2(θ + c − tθ−2 )2 µ2 (θ2 + c − tθ−2 )ãäå µ, c, t íåêîòîðûå âåùåñòâåííûå êîíñòàíòû, µ > 0.
Ïðè ýòîì µ ∈ { β1 , β2 }. Áîëåå2òîãî, åñëè f f 00 − f 02 ≡ const, òî f 00 f − f 02 ≡ βi2 , äëÿ i ∈ {1, 2}, t = 0, µ = βi ; åñëèf f 00 − f 02 6= const, òî t 6= 0, µ 6= β2 .Îáðàòíî, äëÿ âñÿêîãî ìíîãîîáðàçèÿ Áåðòðàíà áåç ýêâàòîðîâ, ò.å. ïñåâäîðèìàíîâàìíîãîîáðàçèÿ ñ èíäåôèíèòíîé ìåòðèêîé (3.1.8), ôóíêöèÿ f (v), ïîëó÷åííàÿ ïðè çàïèñèèíäåôèíèòíîé ìåòðèêè (3.1.8) â íàòóðàëüíûõ êîîðäèíàòàõ, ò.å.
f (v), îïðåäåë¼ííàÿ102−2 −1óñëîâèÿìè −f 2 (v(θ)) = µ2 (θ2 +c−tθ) , óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ−2 ) , v (θ) = −(θ + c − tθ2(3.1.7) äëÿ êîíñòàíòû β := µ ïðè t 6= 0, äëÿ ëþáîé êîíñòàíòû β ∈ { µ1 , µ2 } ïðè t = 0.Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå (3.1.7) ïîëó÷àåòñÿ èç óðàâíåíèÿ (3.1.5) ïîäñòàíîâêîé âìåñòî f (v) âûðàæåíèÿ if (v), ãäå i ìíèìàÿ åäèíèöà. Òî æå ñïðàâåäëèâî èäëÿ ìåòðèê: ìåòðèêà (3.1.1) ïåðåõîäèò â èíäåôèíèòíóþ ìåòðèêó (3.1.3) ïðè îïèñàííîéïîäñòàíîâêå.Çàìå÷àíèå 3.1.2.Ôîðìóëû (3.1.5), (3.1.7) äàþò âîçìîæíîñòü êîíñòðóêòèâíî ïðîâåðèòü,ÿâëÿåòñÿ ëè ïîâåðõíîñòü áåðòðàíîâñêîé èëè íåò (ñì. îïðåäåëåíèÿ 2.1.1, 2.1.2 è çàìå÷àíèå2.1.1).
Äëÿ ýòîãî ïðåîáðàçóåì óðàâíåíèå β 4 + ε̂5(f 00 f −f 02 )β 2 −5f 00 f f 02 +4f 002 f 2 −3f 000 f 0 f 2 +Çàìå÷àíèå 3.1.3.614f 04 = 0 (åäèíàÿ ôîðìà çàïèñè äëÿ (3.1.5), (3.1.7)), ðàçðåøèâ åãî îòíîñèòåëüíî β :rhip0002000220000000β=−5ε̂(f f − f ) + 9(f f − f ) + 12f f (f f − f f ) /2 = β+ (f, f 0 , f 00 , f 000 ),β=rh(3.1.9)ip−5ε̂(f f 00 − f 02 ) − 9(f f 00 − f 02 )2 + 12f f 0 (f 000 f − f 0 f 00 ) /2 = β− (f, f 0 , f 00 , f 000 ).(3.1.10)Òàêèì îáðàçîì èìåÿ ðèìàíîâó (ïñåâäîðèìàíîâó) ìåòðèêó â íàòóðàëüíûõ êîîðäèíàòàõds2 = dv 2 + ε̂f 2 (v)dϕ2 , íóæíî âû÷èñëèòü ôóíêöèè β+ (f, f 0 , f 00 , f 000 ), β− (f, f 0 , f 00 , f 000 ) è åñëèõîòÿ áû îäíà èç íèõ òîæäåñòâåííî ðàâíà ïîëîæèòåëüíîé ðàöèîíàëüíîé ïîñòîÿííîé, òîïîâåðõíîñòü ÿâëÿåòñÿ áåðòðàíîâñêîé (ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî óêàçàííûé àëãîðèòì íå ó÷èòûâàåò ýêâàòîðû). êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè òåîðåìû 9 ðàññìîòðèì ïðîêîëîòóþ åâêëèäîâó ïëîñêîñòü,ïðîêîëîòóþ ïîëóñôåðó S 2 , ïðîêîëîòóþ ïëîñêîñòü Ëîáà÷åâñêîãî L2 .
Ìåòðèêà íà ïëîñêîñòè â íàòóðàëüíûõ êîîðäèíàòàõ (äëÿ ïëîñêîñòè ýòî ïîëÿðíûå) èìååò âèä ds2 =dv 2 + v 2 dϕ2 , ôóíêöèÿ f (v) = v , êðèâèçíà ïëîñêîñòè ðàâíà íóëþ (f 00 = 0), ñîîòâåòñòâåííîf 00 f − f 02 = −1 (ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèþ ïàðàìåòðîâ t = 0, c = 0, µ = 1). Ìåòðèêà íà ïîëóñôåðå â íàòóðàëüíûõ êîîðäèíàòàõ (äëÿ ïîëóñôåðû ýòî äîëãîòà è øèðîòà) èìååò âèäsin v),ds2 = dv 2 + sin2 vdϕ2 , ôóíêöèÿ f (v) = sin v , êðèâèçíà ïîëóñôåðû ðàâíà åäèíèöå (− −sinvñîîòâåòñòâåííî f 00 f − f 02 = −1 (ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèþ ïàðàìåòðîâ t = 0, c = 1, µ = 1).Ìåòðèêà íà L2 â íàòóðàëüíûõ êîîðäèíàòàõ èìååò âèä ds2 = dv 2 + sh2 vdϕ2 , ôóíêöèÿsh vf (v) = sh v , êðèâèçíà L2 ðàâíà ìèíóñ åäèíèöå (− sh), ñîîòâåòñòâåííî f 00 f − f 02 = −1v(ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèþ ïàðàìåòðîâ t = 0, c = −1, µ = 1).
Óêàçàííûå ôóíêöèè (à òàêæåïîëó÷àþùèåñÿ èç íèõ v + c2 , c11 sin(c1 v + c2 ), c11 sh(c1 v + c2 )) ÿâëÿþòñÿ âñåìè ðåøåíèÿìèóðàâíåíèÿ f 00 f − f 02 = −1.Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì 9 è 10 åäèíîîáðàçíû è äîñëîâíî ïîâòîðÿþò äðóã äðóãà, ïîýòîìó ïðèâåä¼ì ïîäðîáíî äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 9, êîòîðîå îñíîâàíî íà ñëåäóþùåéëåììå.Ïóñòü â óñëîâèÿõ ïðÿìîé òåîðåìû ôóíêöèÿ f = f (v) óäîâëåòâîðÿåòóðàâíåíèþ (3.1.5). Òîãäà ñóùåñòâóþò åäèíñòâåííûå êîíñòàíòà µ > 0 è ôóíêöèÿ θ(v)òàêèå, ÷òî1 11θ0 (v) = 2 2 , f 2 (v(θ)) = 2 2,µ f (v)µ (θ + c − tθ−2 )Ëåììà 3.1.2.ãäå êîíñòàíòû c, t âåùåñòâåííûå.
Ïðè ýòîì µ ∈ { β1 , β2 }. Áîëåå òîãî, åñëè f 00 f − f 02 =2const (÷òî ñîîòâåòñòâóåò ïîâåðõíîñòè ñ äâóìÿ ïîòåíöèàëàìè), òî f f 00 − f 02 ≡ − βi2äëÿ i ∈ {1, 2}, t = 0, µ = βi ; åñëè f f 00 − f 02 6= const (ìíîãîîáðàçèå âòîðîãî òèïà), òît 6= 0, µ = β2 .62Äëÿ äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 3.1.2 äîêàæåì ëåììó 3.1.3 îá ýêâèâàëåíòíîñòè óñëîâèé(3.1.5) è (3.1.6) íà ìåòðèêó, â êîòîðîé îíî (óñëîâèå íà ìåòðèêó) ïåðåôîðìóëèðîâàíî âýêâèâàëåíòíîñòü óðàâíåíèé (3.1.5) è (3.1.11). Ýêâèâàëåíòíîñòü óðàâíåíèé íóæíî ïîíè2ìàòü òàê: åñëè f (v) ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3.1.5), òî ôóíêöèÿ f (v(θ)), ãäå θ0 (v) = f 2β(v) ,ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (3.1.11); îáðàòíî, åñëè g(θ) := f (v(θ)), ãäå θ(v) îïðåäåëåíà÷óòü âûøå, ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (3.1.11), òî f (v) ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3.1.5).Ðàññìîòðèì êîíñòàíòó β > 0 è ôóíêöèþ f (v) > 0 íå ñîîòâåòñòâóþ2ùóþ ïîâåðõíîñòè ïåðâîãî òèïà (ñì.
çàì. 3.1.1), ò.å. f 00 f − f 02 6= − β4 , f 00 f − f 02 6= −β 2 ,f 00 f −f 02 6= 0 íè â êàêîé òî÷êå v ∈ (a, b). Ïóñòü åñòü çàìåíà θ(v), îïðåäåë¼ííàÿ óñëîâèåìθ0 (v) = µ2 f12 (v) , è v(θ) îáðàòíàÿ çàìåíà, ãäå µ = βi > 0, i = 1, 2.Òîãäà äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå òðåòüåãî ïîðÿäêà (3.1.5) íà f (v) ýêâèâàëåíòíî ñóùåñòâîâàíèþ äåéñòâèòåëüíûõ êîíñòàíò c1 6= 0, c2 , äëÿ êîòîðûõ ôóíêöèÿ f (v(θ)) óäîâëåòâîðÿåò äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ ïåðâîãî ïîðÿäêàËåììà 3.1.3.df (v(θ))β 2 dθ1= c1 (θ + c2 )−3 − (θ + c2 ).43i f (v(θ))4(3.1.11)Êàæäûé øàã â äîêàçàòåëüñòâå ëåììû 3.1.3 ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿýêâèâàëåíòíûé ïåðåõîä ìåæäó óðàâíåíèÿìè.Øàã 1. Äëÿ óïðîùåíèÿ óðàâíåíèÿ (3.1.5) âñëåä çà Ñàíòîïðåòå ââåä¼ì ôóíêöèþh(v) := f (v)f 00 (v) − f 02 (v).
Òîãäà óðàâíåíèå (3.1.5) ïåðåïèøåòñÿ â âèäåÄîêàçàòåëüñòâî.β 4 + 5h(v)β 2 − 3f (v)f 0 (v)h0 (v) + 4h2 (v) = 0.(3.1.12)Øàã 2.Äëÿ ðàáîòû ñ êîîðäèíàòîé θ ââåä¼ì ôóíêöèþ η(θ), êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ â íåêîdβ 2 dθ f (v(θ))1 fv0 (v(θ))òîðîì ñìûñëå àíàëîãîì h(v). Ïóñòü η(θ) := (µβ)2 f (v(θ)) = i4 f 3 (v(θ)) . Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òîâûïîëíåíî:β 2 η 00 (θ(v)).h(v) = β 2 ηθ0 (θ(v)), h0v (v) = 4 θθ 2i f (v)Ïîäñòàíîâêà ïîëó÷åííûõ ñîîòíîøåíèé âìåñòå ñ îïðåäåëåíèåì η â óðàâíåíèå (3.1.12) ïîçâîëÿåò ïåðåïèñàòü åãî, çàìåíèâ v íà θ:001 + 5ηθ0 (θ) − 3ηθθ(θ)η(θ) + 4ηθ02 (θ) = 0.Øàã 3.Äîìíîæèì óðàâíåíèå (3.1.13) íàη054|η 0 + 14 | 4 η 2(3.1.13). Òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå ÿâëÿåòñÿ ýê-âèâàëåíòíûì ïåðåõîäîì â ñëó÷àå η 0 6= − 14 , 0.
À ïîñëåäíåå âûïîëíåíî, ò.ê. f (v) > 0, f 0 (v) 6=20, à çíà÷èò η(θ(v)) 6= 0, òàêæå ïî óñëîâèþ ëåììû h 6= − β4 , 0, ÷òî îçíà÷àåò η 0 6= 0, − 41 .Ôóíêöèÿ η 0 (θ) + 14 ãëàäêàÿ è ñîõðàíÿåò çíàê íà îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ. Ââåä¼ì îáîçíà÷åíèå ε := sgn(η 0 (θ) + 14 ). Ñ ó÷¼òîì ñäåëàííûõ çàìå÷àíèé è ââåä¼ííîãî îáîçíà÷åíèÿïîëó÷èì131(η 0 + 41 ) 4 ηη 00 − (η 0 + 1) ε 14 (η 0 + 14 )− 4 ηη 00 + (η 0 + 14 ) 4 η 0= 0.(3.1.14)1η 2 (η 0 + 41 ) 263Øàã 4.Èíòåãðèðîâàíèå ïî θ äà¼òη0 + 11η|η 0 + 14 | 2= c0 ,(3.1.15)ãäå c0 äåéñòâèòåëüíàÿ êîíñòàíòà, è âûïîëíåíî η 0 6= 0 è c0 6= 0 (ñîãëàñíî óñëîâèÿì ëåììûη 0 6= −1).0Øàã 5. Ïîñëåäíèé øàã äîêàçûâàåò, ÷òî â ñëó÷àå η 6= −1 óðàâíåíèå (3.1.15) ýêâèâàëåíòíî óðàâíåíèþ1η(θ) = c1 (θ + c2 )−3 − (θ + c2 ),(3.1.16)4ãäå c1 , c2 íåêîòîðûå êîíñòàíòû, óäîâëåòâîðÿþùèå c1 6= 0, θ + c2 6= 0 â èíòåðâàëå èçìå, c0 (θ + c2 ) < 0.íåíèÿ θ, η 6= 0, η 0 6= 0, η 0 6= −1, η 0 6= − 41 , |c1 | = 27c40Ïðÿìîé ïîäñòàíîâêîé ïðîâåðÿåòñÿ (3.1.16) ⇒ (3.1.15).
Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîêàçàòü îáðàòíóþ èìïëèêàöèþ óìíîæèì îáå ÷àñòè (3.1.15) íà η è ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïî θ:3 εη 00= c0 .4 |η 0 + 1 | 52(3.1.17)4Ïðîèíòåãðèðóåì ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ñ ó÷¼òîì c0 6= 0−3 0 1 −1|η + | 4 = θ + c2 ,c04(3.1.18)c2 êîíñòàíòà èíòåãðèðîâàíèÿ. Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå èíòåãðèðóåòñÿ è äà¼ò1η(θ) = c1 (θ + c2 )−3 − (θ + c2 ) + c3 .4(3.1.19)Ñîîòíîøåíèÿ íà êîíñòàíòû î÷åâèäíû. äîêàçàòåëüñòâå ëåììû 3.1.2 åäèíñòâåííîñòü ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ, à äëÿ òîãî, ÷òîáûïðîâåðèòü ñóùåñòâîâàíèå ðàçáåð¼ì òðè ñëó÷àÿ.Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 3.1.22Ïóñòü âûïîëíåíî f f 00 − f 02 6= − β4 , f f 00 − f 02 6= −β 2 .
Òîãäà ïî ëåììå3.1.3 ôóíêöèÿ f (v(θ)) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (3.1.11), ãäå c1 6= 0. Ïðîèíòåãðèðóåìóðàâíåíèå (3.1.11) ïî θ. Òîãäà ëåâàÿ ÷àñòüÑëó÷àé 1.Zdf (v(θ))1 dθ1 1 −2dθ=−f (v) + c4 .µ4 β 2 f 3 (v(θ))2 µ4 β 2Ïðàâàÿ ÷àñòü ðàâíàZ 111−3c1 (θ + c2 ) − (θ + c2 ) dθ = − c1 (θ + c2 )−2 − (θ + c2 )2 + c5 .428Ò.ê. θ îïðåäåëåíà ñ òî÷íîñòüþ äî êîíñòàíòû âûïîëíåíîf 2 (v(θ)) =µ2 (θ2641,+ c − tθ−2 )ãäå t = −4c1 , c = −8(c5 − c4 ), µ = β2 .00Ñëó÷àé 2.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé ïîâåðõíîñòè ïåðâîãî òèïà, ò.å. h ≡ 0, ïîýòîìó η ≡ 0,óðàâíåíèå (3.1.5) â ôîðìå (3.1.13) íàõîäèì η 0 ≡ −1, η 0 ≡ − 41 . Åñëè η 0 ≡ −α, ãäå α = 1df (v(θ))0(v(θ))= −αθ + const. Àíàëîãè÷íîèëè 41 , òî ïðè µ := β √1 α èìååì η = (αβ)2 dθf 3 (v(θ)) = α ffv(v(θ))ïåðâîìó ñëó÷àþ èíòåãðèðóåì ïî θ ïîëó÷èìf 2 (v(θ)) =αβ 21= 2 2,2(θ + c)µ (θ + c)÷òî è òðåáîâàëîñü.Îñòàëüíûå ñëó÷àè ðàçáèðàþòñÿ àíàëîãè÷íî.
×òîáû ïðîâåðèòü óòâåðæäåíèå ïðÿìîé òåîðåìû ïîäñòàâèì ïîëó÷åííûé â ëåììå 3.1.2 âèä äëÿ ôóíêöèè f 2 (v) â ìåòðèêó ds2 = dv 2 + f 2 (v)dϕ2 .Ïîëó÷èìdϕ2dθ2.+ds2 = 2(θ + c − tθ−2 )2 µ2 (θ2 + c − tθ−2 )Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 9Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî äëÿ ðèìàíîâîé ìåòðèêè (3.1.6) ïðè t 6=0, β = µ2 ôóíêöèÿ f (v(θ)) óäîâëåòâîðÿåò äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ (3.1.11), à ïîòîìó ôóíêöèÿ f (v) óäîâëåòâîðÿåò (3.1.5).
Ïðè t = 0 ôóíêöèÿ f (v(θ)) óäîâëåòâîðÿåò2äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ (3.1.11) ïðè c1 = c2 = 0. Îòêóäà f f 00 − f 02 ≡ − β4 èëè−β 2 , ïîýòîìó f (v) óäîâëåòâîðÿåò (3.1.5). 3.2Ñâîéñòâà ïîâåðõíîñòåé è îðáèò âR3, R32Ïðî ðèìàíîâû ïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà Sc,t,µ , îòâå÷àþùèå çíà÷åíèþ t = 0, èçâåñòíî ìíîãîå,ò.ê. ýòè ïîâåðõíîñòè èìåþò ìàêñèìàëüíî ïðîñòîé âèä êðóãîâîé êîíóñ (èëè ïëîñêîñòü),ïîëóñôåðà, ïëîñêîñòü Ëîáà÷åâñêîãî. Ïðî ïîâåðõíîñòè, îòâå÷àþùèå t 6= 0, ïî÷òè íè÷åãîíå èçâåñòíî, â ò.÷. ÿâëÿþòñÿ ëè îíè àëãåáðàè÷åñêèìè, èëè ÿâëÿþòñÿ ëè ïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà òàêæå äðóãèìè èçâåñòíûìè ïîâåðõíîñòÿìè âðàùåíèÿ êàê ïàðû Áîííå èëè ãðóøèÒàííåðè.Èñïîëüçóÿ ôàêò ðåàëèçóåìîñòè âñåõ ïîâåðõíîñòåé Áåðòðàíà ñ ïñåâäîðèìàíîâîé ìåòðèêîé (òåîðåìà 8) ìîæíî êîððåêòíî ñôîðìóëèðîâàòü ôàêò àëãåáðàè÷íîñòè ïîâåðõíîñòèÁåðòðàíà.
 ðèìàíîâîì ñëó÷àå âñå ïîâåðõíîñòè, îòâå÷àþùèå çíà÷åíèÿì ïàðàìåòðîâ t = 0è µ = 1 (èëè c = t = 0 è ëþáîìó µ), ÿâëÿþòñÿ àëãåáðàè÷åñêèìè, òî æå ñïðàâåäëèâî èäëÿ ïñåâäîðèìàíîâà ñëó÷àÿ.Ïîâåðõíîñòü Áåðòðàíà ñ ïñåâäîðèìàíîâîé ìåòðèêîé (2.1.7) ïðè µ =1, ðåàëèçîâàííàÿ êàê ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ â R32 , ÿâëÿåòñÿ ïîäïîâåðõíîñòüþ àëãåáðàè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè.Óòâåðæäåíèå 7.65Èñïîëüçóÿ òåîðåìó 10 çàïèøåì ïñåâäîðèìàíîâó ìåòðèêó (2.1.7)â íàòóðàëüíûõ êîîðäèíàòàõ (v, ϕ).
Òîãäà îíà ïðèìåò âèä ds2 = dv 2 − f 2 (v)dϕ2 , ãäå ôóíêöèÿ f (v), êîòîðàÿ ñòîèò â ìåòðèêå, óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ: f 00 (v)f (v) − f 02 (v) = β 2 ,ãäå β = 1/µ. Óðàâíåíèå ëåãêî èíòåãðèðóåòñÿ è ïðèâîäèò ê ÿâíîìó âèäó ôóíêöèè f (v):f (v) = c11 ch (c1 β(v + v0 )), ãäå c1 , v0 êîíñòàíòû èíòåãðèðîâàíèÿ. Òàêèì îáðàçîì ïîâåðõíîñòü Áåðòðàíà ïðè t = 0 è µ = 1 ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ ÷àñòü îäíîïîëîñòíîãî ãèïåðáîëîèäà {x2 + y 2 − z 2 = c21 }, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
