Геометрия гамильтоновых систем для многообразий и потенциалов Бертрана (1102755), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Çíà22÷èò, âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ òåîðåìû 3 è, ïðèìåíÿÿ åå, ïîëó÷àåì äëÿ ñèñòåìû (1.2.1) âñåïàðû ôóíêöèé (ρ(z), Ψ(z)), òàêèõ ÷òî ôóíêöèÿ Ψ(z) ÿâëÿåòñÿ ρ-çàìûêàþùåé. Âîçâðàùàÿñü òåïåðü ê θ, a22 (θ), V (θ) ïîëó÷àåì îïèñàíèå âñåõ çàìûêàþùèõ ïîòåíöèàëîâ V (θ) äëÿêàæäîé ïîâåðõíîñòè S 0 ñ ïñåâäîðèìàíîâîé ìåòðèêîé ds2 = µ4 a422 (θ)dθ2 − a222 (θ)dϕ2 . Îäíàêî äàëåå áóäåò äàíî áîëåå ãåîìåòðè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 6, êîòîðîå ïîâòîðÿåòìíîãèå ýòàïû äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 3, íî òàêæå èìååò è îòëè÷èÿ.Ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî çàìêíóòîñòü îðáèò θ(ϕ) îçíà÷àåò ñîèçìåðèìîñòü èõ ìèíèìàëüíûõ ïåðèîäîâ ñ π , ÷òî ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ïîïàðíîé ñîèçìåðèìîñòè ïåðèîäîâíåêðóãîâûõ îðáèò.
Íà ñàìîì äåëå èç òåîðåìû 3 ìîæíî âûâåñòè áîëåå ñèëüíîå óòâåðæäåíèå, îïèñûâàþùåå âñå ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ áåç ýêâàòîðîâ, äîïóñêàþùèå íàëè÷èå ïîòåíöèàëîâ, ïðèâîäÿùèõ ê îðáèòàì, ÿâëÿþùèìñÿ ãðàôèêàìè ïîñòîÿííûõ èëè ïåðèîäè÷åñêèõôóíêöèé θ(ϕ) ñ ïîïàðíî ñîèçìåðèìûìè (è â äåéñòâèòåëüíîñòè ðàâíûìè) ìèíèìàëüíûìèïîëîæèòåëüíûìè ïåðèîäàìè.2.21Ψ(z).K2Ñâîéñòâà îðáèò è ýôôåêòèâíîãî ïîòåíöèàëàÏóñòü ïðîèñõîäèò äâèæåíèå ïî ïîâåðõíîñòè S 0 ≈ (a, b) × S 1 ñ èíäåôèíèòíîé ìåòðèêîé(1.1.2) ïîä äåéñòâèåì öåíòðàëüíîãî ãëàäêîãî ïîòåíöèàëà V (u) è u(ϕ) îðáèòà ñ êèíåòè÷åñêèì ìîìåíòîì K . Ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë îïðåäåëÿåò âíåøíèé âèä îðáèò è ïîìîãàåòâ äîêàçàòåëüñòâå ìíîãèõ èõ ñâîéñòâ.Äëÿ äâèæåíèÿ ñ êèíåòè÷åñêèì ìîìåíòîì K îïðåäåëèì ãðàíèöûîðáèòû u1 := inf u(R ) ïåðèöåíòð, u2 := sup u(R1 ) àïîöåíòð, à òàêæå ýôôåêòèâíûé2K2ïîòåíöèàë W (u) = V (u) − 2aK2 (u) .
(â ðèìàíîâîì ñëó÷àå V (u) + 2a2 (u) )Îïðåäåëåíèå 2.2.1.12222Îñîáîå çíà÷åíèå ïðè èçó÷åíèè îðáèò â öåíòðàëüíîì ïîëå èìåþò êðóãîâûå îðáèòû.Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå äà¼ò êðèòåðèé òîãî, ÷òî îðáèòà u = u0 (ïàðàëëåëü) áóäåò êðóãîâîé äëÿ äàííîãî ïîòåíöèàëà V (u). À èìåííî ñïðàâåäëèâîÏàðàëëåëü {u0 } × S 1 ÿâëÿåòñÿ êðóãîâîé îðáèòîé ïðè íåêîòîðîìK (ò.å. u = u0 ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.1.7)) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà sgn V0 (u0 ) =−sgn a022 (u0 ).Ïðåäëîæåíèå 2.1.Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿêðóãîâîé îðáèòû u0 = 0, u00 = 0, ñîãëàñíî (1.1.7) ýòî âëå÷¼ò −K 2 a022 (u0 ) = V 0 (u0 )a322 (u0 ). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî âñþäó a22 > 0 è K 2 > 0, ïîëó÷àåìòðåáóåìîå ñîâïàäåíèå çíàêîâ.
Îáðàòíî ïðè sgn a022 (u0 ) = −sgn V0 (u0 ) ðàññìîòðèì K =37qV 0 (u0 )a322 (u0 ).a022 (u0 )−Ê. Òîãäà u = u0 = const áóäåò ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (1.1.7) ïðè âûáðàííîìÓñëîâèå ñî çíàêàìè ìîæíî ïåðåïèñàòü â òåðìèíàõ ýôôåêòèâíîãî ïîòåíöèàëà. Ïàðàëëåëü u = u0 ÿâëÿåòñÿ êðóãîâîé îðáèòîé ñ êèíåòè÷åñêèì ìîìåíòîì Kòîãäà è òîëüêî òîãäà êîãäà u0 êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà ýôôåêòèâíîãî ïîòåíöèàëà W (u) =202 0V (u)− 2aK2 (u) . Ýòî âåðíî, ò.ê.
òî÷êà u0 êðèòè÷åñêàÿ äëÿ W (u) ⇔ W (u0 ) = 0, ò.å. −K a22 (u0 ) =22V 0 (u0 )a322 (u0 ), äàëåå ïîâòîðÿþòñÿ ðàññóæäåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà ïðåäëîæåíèÿ 2.1.Çàìå÷àíèå 2.2.1.Èñïîëüçóÿ ïðåäëîæåíèå 2.1 ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè îòñóòñòâèè êðóãîâîé îðáèòû íåáóäåò íè îäíîé çàìêíóòîé, äàæå îãðàíè÷åííîé îðáèòû. Áîëåå òî÷íî, åñëè ñóùåñòâóåòîãðàíè÷åííàÿ îðáèòà ñ êèíåòè÷åñêèì ìîìåíòîì K , òîãäà ñóùåñòâóåò è êðóãîâàÿ îðáèòàñ òåì æå êèíåòè÷åñêèì ìîìåíòîì.Îðáèòû ïðè äâèæåíèè â öåíòðàëüíîì ïîëå â ïðîñòðàíñòâå R3 îáëàäàþò îñüþ ñèììåòðèè (åñëè îíè îãðàíè÷åíû). Ïîõîæèì ñâîéñòâîì îáëàäàþò îðáèòû è íà ïîâåðõíîñòÿõâðàùåíèÿ.Ïóñòü u = u(ϕ) îðáèòà (ðåøåíèå óðàâíåíèÿ 1.1.7) ñ êðèòè÷åñêîé òî÷êîé (ϕ0 , u(ϕ0 )), ò.å. u0 (ϕ0 ) = 0. Òîãäà ãðàôèê ôóíêöèè u(ϕ) íà ïëîñêîñòè R2 ñäåêàðòîâûìè êîîðäèíàòàìè (u, ϕ) ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ϕ = ϕ0 .Ïðåäëîæåíèå 2.2.Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåä¼ì â áåðòðàíîâñêèõ êîîðäèíàòàõ (θ, ϕ)(ñì.
çàì. 1.1.2). Ñèììåòðèÿ îçíà÷àåò θ(ϕ) = θ̃(ϕ) := θ(ϕ0 − (ϕ − ϕ0 )). Ïðÿìàÿ ïîäñòàíîâêà00ïîêàçûâàåò, ÷òî ôóíêöèÿ θ̃(ϕ) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (1.1.9) îðáèòû θϕϕ= −W 0 (θ), ãäåW ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë. À ïîñêîëüêó íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ñîâïàäàþò θ(ϕ0 ) = θ̃(ϕ0 )è θ0 (ϕ0 ) = θ̃0 (ϕ0 ), òî ðåøåíèÿ θ(ϕ) è θ̃(ϕ) ñîâïàäàþò. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî êðèòè÷åñêèå òî÷êè ÿâëÿþòñÿ ëîêàëüíûìè ýêñòðåìóìàìè, áîëååòîãî îíè ÿâëÿþòñÿ òàêæå ãëîáàëüíûìè ýêñòðåìóìàìè, ò.å ó ôóíêöèè u = u(ϕ) âîîáùåíåò ëîêàëüíûõ ìàêñèìóìîâ è ìèíèìóìîâ è ñåäëîâûõ òî÷åê.Èíòåãðàëû äâèæåíèÿ E, K òåñíî ñâÿçàíû ñ ìàêñèìàëüíî è ìèíèìàëüíî óäàë¼ííûìèîò ïðèòÿãèâàþùåãî öåíòðà òî÷êàìè (ïåðè- è àïîöåíòðû) îðáèòû u(ϕ).Äîêàçàòåëüñòâî.Ïðåäëîæåíèå 2.3.Ïóñòü a < a0 < b0 < b. Òîãäà(a) Åñëè ñóùåñòâóåò îãðàíè÷åííîå ðåøåíèå u(ϕ) óðàâíåíèÿ (1.1.7) ñ ýíåðãèåé E, êèíåòè÷åñêèì ìîìåíòîì K, ïåðèöåíòðîì a0 , àïîöåíòðîì b0 .
Òî ∀u0 ∈ (a0 , b0 ) W (u0 ) <E èW (a0 ) = W (b0 ) = E.(2.2.1)(b) Âåðíî îáðàòíîå. Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîãî K âûïîëíåíî V (a0 ) −K22a222 (b0 )K22a222 (a0 )= V (b0 ) −= E , à òàêæå ∀u0 ∈ (a0 , b0 ) W (u0 ) < E . Òîãäà ñóùåñòâóåò îãðàíè÷åííîåðåøåíèå u(ϕ) óðàâíåíèÿ (1.1.7) ñ ýíåðãèåé Å, êèíåòè÷åñêèì ìîìåíòîì K, ïåðèöåíòðîì a0 è àïîöåíòðîì b0 .38(c) Åñëè çàäàíî ðåøåíèå u(ϕ) óðàâíåíèÿ (1.1.7) ñ ïåðèöåíòðîì a0 , àïîöåíòðîì b0 , ýíåðãèåé E è u0 ∈ {a0 , b0 }. Òîãäà u0 ∈ u(R1 ) ⇔ W 0 (u0 ) 6= 0.Ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë íà ïðîòÿæåíèè âñåé îðáèòû íå ïðåâîñõîäèò ýíåðãèè, è ñðàâíèâàåòñÿ ñ íåé òîëüêî â êðàéíèõ òî÷êàõ (ïåðè- è àïîöåíòðàõ).
Ïåðèöåíòð (àïîöåíòð) a0äîñòèãàåòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïðîèçâîäíàÿ ýôôåêòèâíîãî ïîòåíöèàëà â í¼ì íåíîëü.a2 (u)2 02Äîêàçàòåëüñòâî. (a) Ñîãëàñíî (1.1.8) E = W (u) + 2a114 (u) K uϕ , îòñþäà (â ñèëó22ïîëîæèòåëüíîñòè âòîðîãî ñëàãàåìîãî) ñëåäóåò W (u)|[a0 ,b0 ] ≤ E . Ïóñòü äîñòèãàåòñÿ àïîöåíòð b0 ïðè ϕ = ϕ2 . Òîãäà â ñèëó åãî ìàêñèìàëüíîñòè u0ϕ (ϕ2 ) = 0, îòñþäà â ñèëó (1.1.8)E = W (b0 ) + 0. Ïóñòü òåïåðü àïîöåíòð b0 íå äîñòèãàåòñÿ, ò.å.
u(ϕ) ñòðåìèòñÿ ê b0 ñ ðîñòîìϕ, ïðè÷åì ýòî ñòðåìëåíèå ìîíòîííîå â ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 2.2. Òîãäà u0 → 0 ⇒ W → E(1.1.8), à â ñèëó ãëàäêîñòè W (u) → W (b0 ), èìååì â ïðåäåëå W (b0 ) = E .(b) Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå u1 ∈ (a0 , b0 ), òîãäà ïî òåîðåìå î ñóùåñòâîâàíèè è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ ÎÄÓ ñóùåñòâóåò ðåøåíèå u(ϕ) óðàâíåíèÿ (1.1.8) ñ í.ó. u(0) = u1 ,ýòî ðåøåíèå áóäåò ñ ýíåðãèåé E . Äàëåå ýòî ðåøåíèå ìîæíî ïðîäîëæèòü íà âåñü èíòåðâàë(a0 , b0 ).(c) Åñëè ïåðèöåíòð b0 äîñòèãàåòñÿ â íåêîòîðîì ϕ0 , òî äëÿ òàêîé îðáèòû u(ϕ0 ) = b0è u0 (ϕ0 ) = 0, çàìåòèì, ÷òî åñëè W 0 (b0 ) = 0, òî u = b0 ïîñòîÿííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ(1.1.7), à ýòî ïðîòèâîðå÷èò òåîðåìå î åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ, ò.ê. ÷åðåç (ϕ0 , b0 ) ïðîõîäÿòèñõîäíîå è ïîñòîÿííîå ðåøåíèÿ.Åñëè æå ïåðèöåíòð b0 íå äîñòèãàåòñÿ, òî ïðè ñòðåìëåíèè u ê b0 âåðíî, ÷òî u0 , u00 ñòðåìÿòñÿê íóëþ, ñëåäîâàòåëüíî èç óðàâíåíèÿ (1.1.7) ïðîèçâîäíàÿ W 0 (u) → 0 ïðè u → b0 , à çíà÷èòè ðàâíà 0. WHuLu1u2uEÐèñ.
2.3: Ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë îðáèòû, ÿâëÿþùåéñÿ ãðàôèêîì ïåðèîäè÷åñêîéôóíêöèè u(ϕ).Ðèñ. 2.4: Îðáèòà, ÿâëÿþùàÿñÿ ãðàôèêîì ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè u(ϕ).39WHuLu1u2uEÐèñ. 2.5: Ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë îðáèòû, ÿâëÿþùåéñÿ ãðàôèêîì íåïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè u(ϕ).Ðèñ. 2.6: Îðáèòà, ÿâëÿþùàÿñÿ ãðàôèêîìíåïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè u(ϕ).Äëÿ ïðîèçâîëüíîé îáèòû ñ ïåðèöåíòðîì u1 è àïîöåíòðîì u2 (ýíåðãèåé E ) ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë W (u) íà îòðåçêå (u1 , u2 ) èìååò âèä ÿìû W (u) < E . Ïðåäëîæåíèå2.3 óòâåðæäàåò, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà ãðàôèê W (u) ïåðåñåêàåò óðîâåíü E â òî÷êàõ u1 , u2òðàíñâåðñàëüíî (W 0 (u1 ) 6= 0, W 0 (u2 ) 6= 0), òî îðáèòà äîñòèãàåò ïàðàëëåëè u = u1 , u = u2 èÿâëÿåòñÿ ãðàôèêîì ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè u(ϕ), êîëåáëåòñÿ ìåæäó äâóìÿ óêàçàííûìèïàðàëëåëÿìè.
Íà ðèñ. 2.3 ãðàôèê ýôôåêòèâíîãî ïîòåíöèàëà äëÿ îðáèòû, ÿâëÿþùåéñÿãðàôèêîì ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè u(ϕ), à íà ðèñ. 2.4 îáùèé âèä îðáèòû, ÿâëÿþùåéñÿãðàôèêîì ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè u(ϕ). Íà ðèñ. 2.5 ïðåäñòàâëåí ãðàôèê W (u), êîòîðûéïåðåñåêàåò óðîâåíü E â òî÷êå u1 òðàíñâåðñàëüíî, à â òî÷êå u2 êàñàåòñÿ óðîâíÿ E . Ñîîòâåòñòâóþùàÿ îðáèòà èçîáðàæåíà íà ðèñ. 2.6, îíà äîñòèãàåò ñâîåãî ìèíèìóìà u1 , íî íåäîñòèãàåò u2 áåñêîíå÷íî ïðèáëèæàÿñü ê íåìó.Ïîòåíöèàëüíàÿ ÿìà (ãðàôèê W (u)), äàæå â ñëó÷àå çàìêíóòîé îðáèòû, ìîæåò èìåòü ìíîæåñòâî îñîáåííîñòåé, â ò.÷.
íåñêîëüêî ëîêàëüíûõ ìèíèìóìîâ, ïëîñêèå ó÷àñòêè è äð. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî â ñëó÷àå çàìûêàþùåãî ïîòåíöèàëà V (u) ÿìà èìååò òîëüêî î÷åíü ñïåöèàëüíûé âèä ó íå¼ ìíîæåñòâî ãëîáàëüíûõ ìèíèìóìîâ îáðàçîâàíî òî÷êîé.  ñëåäóþùåìóòâåðæäåíèè ñâîéñòâî çàìûêàåìîñòè îñëàáëåíî äî ïåðèîäè÷íîñòè (áåç òðåáîâàíèÿ ïîïàðíîé ñîèçìåðèìîñòè ïåðèîäîâ), ïîýòîìó âìåñòî îäíîòî÷å÷íîãî ìíîæåñòâà ëîêàëüíûõìèíèìóìîâ â ôîðìóëèðîâêå ôèãóðèðóåò îòðåçîê [c1 , c2 ].Ïóñòü ïðè íåêîòîðûõ Ê è Å íà (a0 , b0 ) ⊂ (a, b) ôóíêöèÿ W (u) =200V (u) − 2aK2 (u) ñòðîãî ìåíüøå E è W (a ) = W (b ) = E . Ïóñòü E0 = min W . Òîãäà ñëåäó22[a0 ,b0 ]þùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíûÏðåäëîæåíèå 2.4.401.
Ëþáàÿ îðáèòà, ñ óðîâíåì ýíåðãèè E 0 ∈ (E0 , E], êèíåòè÷åñêèì ìîìåíòîì K è íà÷àëüíûì óñëîâèåì u(0) ∈ (a0 , b0 ) áóäåò ÿâëÿòüñÿ ãðàôèêîì ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèèu(ϕ).2. Ñóùåñòâóåò [c1 , c2 ] : W 0 |[a0 ,c1 ) < 0, W 0 |[c1 ,c2 ] = 0, W 0 |(c2 ,b0 ] > 0.2 ⇒ 1. Óðîâåíü E 0 ïåðåñåêàåò ãðàôèê W (u) â äâóõ òî÷êàõ (u1 , E 0 ),(u2 , E 0 ). Ïî ïðåäëîæåíèþ 2.3 ñóùåñòâóåò îãðàíè÷åííîå ðåøåíèå ñ ïåðèöåíòðîì u1 è àïîöåíòðîì u2 , ïðè÷åì îáà îíè äîñòèãàþòñÿ (ò.ê. W 0 (u1 ) < 0, W 0 (u2 ) > 0 ) ýòî ðåøåíèå èáóäåò íàøåé îðáèòîé ñ ýíåðãèåé E 0 . Ïåðèîäè÷íîñòü ñëåäóåò èç ïðåäëîæåíèÿ 2.2.1 ⇒ 2. Åñëè ôóíêöèÿ W 0 (u) íå èìååò âèä, óêàçàííûé â óñëîâèè, òî ñóùåñòâóþò u1 , u2 ∈[a0 , b0 ] òàêèå, ÷òî E 0 := W (u1 ) = W (u2 ) < E, W |(u1 ,u2 ) < E 0 , è áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòèW 0 (u1 ) = 0.
Òîãäà ïî ïðåäëîæåíèþ 2.3 ñóùåñòâóåò îðáèòà ñ ýíåðãèåé E 0 , ïåðèöåíòðîì u2 èíåäîñòèæèìûì àïîöåíòðîì u1 , áîëåå òîãî îíà íå áóäåò ÿâëÿòüñÿ ãðàôèêîì ïåðèîäè÷åñêîéôóíêöèè u(ϕ). Ïðîòèâîðå÷èå. Äîêàçàòåëüñòâî.Åñëè óñèëèòü ïåðâûé ïóíêò, ïîòðåáîâàâ íå ïåðèîäè÷íîñòü ôóíêöèé,ãðàôèêàìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ îðáèòû, à çàìêíóòîñòü îðáèò (èëè õîòÿ áû ïîïàðíóþ ñîèçìåðèìîñòü ïåðèîäîâ óêàçàííûõ íåïîñòîÿííûõ ôóíêöèé), òî ó ýôôåêòèâíîãî ïîòåíöèàëàíå áóäåò äíà, à áóäåò íåâûðîæäåííûé ãëîáàëüíûé ìèíèìóì, ò.å. ∃u0 : W 0 |[a0 ,u0 ) < 0,W 0 (u0 ) = 0, W 00 (u0 ) 6= 0, W 0 |(u0 ,b0 ] > 0. Îáðàòíîå, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâåðíî.Äëÿ òîãî, ÷òîáû óáåäèòüñÿ â ýòîì ïåðåéä¼ì ê áåðòðàíîâñêèì êîîðäèíàòàì (çàìå÷àíèå1.1.2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
