Геометрия гамильтоновых систем для многообразий и потенциалов Бертрана (1102755), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Èñïîëüçóÿ òàêóþ íåñëîæíóþ ñâÿçü ìîæíî ïîñòðîèòü êîîðäèíàòóäåéñòâèÿ I(E) â ÷àñòè ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà ñèñòåìû (ñì. çàìå÷àíèå 4.2.3). Äëÿ íåîãðàíè÷åííûõ òðàåêòîðèé (âûõîäÿùèõ íà êðàé ïîâåðõíîñòè) áîëüøîå çíà÷åíèå èãðàåò êîíå÷íîñòü âðåìåíè, òðåáóåìîãî äëÿ âûõîäà íà ãðàíèöó, ò.ê. ýòî íàïðÿìóþ ñâÿçàíî ñ ïîëíîòîéñîîòâåòñòâóþùèõ ôàçîâûõ ïîòîêîâ (ñì. óòâåðæäåíèÿ 18, 19).56Ãëàâà 3Àáñòðàêòíûå ìíîãîîáðàçèÿ Áåðòðàíà èïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà âR3, R32Ìíîãèå èññëåäîâàòåëè çàäà÷è Áåðòðàíà íà÷èíàëè ñâîè ðàáîòû ñ ïîñòðîåíèÿ ïîâåðõíîñòåé â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå R3 , èíäóöèðîâàíèÿ îáúåìëþùåé ìåòðèêè íà íèõ. Îäíàêî, ìíîãèå ïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà íåëüçÿ âëîæèòü â R3 òàê, ÷òîáû èõ ìåòðèêà ïîëó÷àëàñü èíäóöèðîâàíèåì îáúåìëþùåé åâêëèäîâîé, íàïðèìåð, â òåîðåìå 5 ðå÷ü èä¼ò îáàáñòðàêòíûõ ìíîãîîáðàçèÿõ âðàùåíèÿ S ≈ (a, b) × S 1 .
Íåêîòîðûå èç íèõ ìîæíî öåëèêîìâëîæèòü â R3 , íåêîòîðûå òîëüêî ëîêàëüíî, ÷àñòü íå âêëàäûâàåòñÿ äàæå ëîêàëüíî, ò.å.∀a1 , b1 ∈ (a, b) : a ≤ a1 < b1 ≤ b íå ñóùåñòâóåò âëîæåíèÿ ïîÿñà (a1 , b1 ) × S 1 â R3 (ñ ó÷åòîì ìåòðèêè). Òåì íå ìåíåå äëÿ ðåàëèçóåìûõ êàê ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ ìíîãîîáðàçèéÁåðòðàíà ïîëó÷åíû êðàñèâûå ðåçóëüòàòû.3.1Áåðòðàíîâñêèå ïîâåðõíîñòè è íàòóðàëüíûå êîîðäèíàòûÏóñòü çàäàíî ïðîñòðàíñòâî R3 ñ êîîðäèíàòàìè (x, y, z) è åâêëèäîâîé ìåòðèêîé ds2 =dx2 + dy 2 + dz 2 . Ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ óäîáíî ïðåäñòàâëÿòü êàê ìíîæåñòâî, çàìåòàåìîåâðàùåíèåì ïðîôèëüíîé êðèâîé (îíà æå ìåðèäèàí) âîêðóã îñè âðàùåíèÿ.
Ðàññìîòðèìãëàäêóþ ðåãóëÿðíóþ êðèâóþ γ(v) = (f (v), g(v)) â ïëîñêîñòè XOZ , ãäå v íàòóðàëüíûéïàðàìåòð, ïðîáåãàþùèé çíà÷åíèÿ îò a äî b. Òîãäà ïðè âðàùåíèè âîêðóã îñè OZ êðèâàÿçàìåòàåò ïîâåðõíîñòü S ≈ (a, b) × S 1 , ðàäèóñ âåêòîð ëþáîé òî÷êè êîòîðîé èìååò âèär(v, ϕ) = (f (v) cos ϕ, f (v) sin ϕ, g(v)); òàêèì îáðàçîì íà ïîâåðõíîñòè çàäàíû êîîðäèíàòû(v, ϕ mod 2π).  ýòèõ êîîðäèíàòàõ èíäóöèðîâàííàÿ ìåòðèêà ïðèìåò âèä!10,(3.1.1)0 f 2 (v)57ò.ê. r0v (v, ϕ) · r0v (v, ϕ) = f 02 (v) + g 02 (v) = 1 â ñèëó íàòóðàëüíîñòè ïàðàìåòðà v , è îñòàëüíûå êîìïîíåíòû ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà âû÷èñëÿþòñÿ òðèâèàëüíî r0ϕ (v, ϕ) · r0v (v, ϕ) = 0,r0ϕ (v, ϕ) · r0ϕ (v, ϕ) = f 2 (v).
Ôóíêöèÿ f (v) èìååò ïðîñòîé ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë: f (v) ðàâíîðàññòîÿíèþ îò òî÷êè (v, ϕ) íà ïîâåðõíîñòè S äî îñè âðàùåíèÿ.Âîçüì¼ì òàêîé âèä ìåòðèêè äëÿ îïðåäåëåíèÿ íàòóðàëüíûõ êîîðäèíàò.Äëÿ ìíîãîîáðàçèÿ S ≈ (a, b) × S 1 ñ ìåòðèêîé âðàùåíèÿ ds2 =a211 (v)dv 2 + a222 (v)dϕ2 áóäåì íàçûâàòü êîîðäèíàòû (v, ϕ mod 2π) íàòóðàëüíûìè, åñëè âíèõ a11 (v) ≡ 1, ò.å. ìåòðèêà íà ñàìîì äåëå âûãëÿäèò òàê (3.1.1).Îïðåäåëåíèå 3.1.1.Íàçâàíèå ìîòèâèðîâàíî êàê ðàç òåì, ÷òî êîîðäèíàòà v ÿâëÿåòñÿ íàòóðàëüíûì ïàðàìåòðîì äëÿ êîîðäèíàòíîé êðèâîé ϕ = const (îíà æå ïðîôèëüíàÿ êðèâàÿ, îíà æå ìåðèäèàí). Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî àáñòðàêòíûõ ìíîãîîáðàçèé ñ ìåòðèêîé (3.1.1) áîëüøå, ÷åìïîñòðîåííûõ âûøå ïîâåðõíîñòåé â R3 ñ òîé æå ìåòðèêîé.
Âñå ïîñòðîåííûå ïîâåðõíîñòèìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ìíîãîîáðàçèÿ ñ ìåòðèêîé (3.1.1), íî íå âñå òàêèå ìíîãîîáðàçèÿ ðåàëèçóþòñÿ â R3 êàê ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî íå âñåãäà ïîçàäàííîé ôóíêöèè f (v) ìîæíî ïîäîáðàòü ôóíêöèþ g(v) òàêóþ, ÷òî f 02 (v) + g 02 (v) = 1,òî÷íåå ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ýòî â âèäå ñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ.Ïîâåðíîñòü S ≈ (a, b) × S 1 ñ êîîðäèíàòàìè (v, ϕ) è ìåòðèêîé (3.1.1)ðåàëèçóåòñÿ êàê ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ â R3 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ∀v ∈ (a, b)|f 0 (v)| ≤ 1.Óòâåðæäåíèå 6.Äëÿ èëëþñòðàöèè ðàññìîòðèì ñôåðó, ìåòðèêà íà íåé â íàòóðàëüíûõ êîîðäèíàòàõâûãëÿäèò ds2 = dv 2 + sin2 v dϕ2 . Ñîãëàñíî êðèòåðèþ | sin0 v| ≤ 1 è, äåéñòâèòåëüíî, ñôåðàðåàëèçóåòñÿ â R3 . Äåòàëüíîå îïèñàíèå ðåàëèçóåìîñòè ñì. [57].Áåðòðàíîâñêèå êîîðäèíàòû ñ÷èòàþòñÿ ïî íàòóðàëüíûì ñîãëàñíî çàìå÷àíèþ 1.1.2:Rθ = C f 2dv(v) , ãäå C íåêîòîðàÿ íåíóëåâàÿ êîíñòàíòà (âûøå áðàëàñü ðàâíîé 1 èëè -1).Èñïîëüçóÿ èçâåñòíûé ôàêò vθ0 = θ10 íåñëîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî íàòóðàëüíûå âûñ÷èòûâàvRdθþòñÿ ïî áåðòðàíîâñêèì ñîãëàñíî ôîðìóëå v = C −1 µ2 (θ2 +c−tθ−2 ) .
Èíòåãðàë îò äðîáíîðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè ñ÷èòàåòñÿ â êâàäðàòóðàõ è çàâèñèìîñòü ìåæäó v è θ âûãëÿäèòòàê (ñ òî÷íîñòüþ äî êîíñòàíò): â ñëó÷àå åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè θ = v1 , ãäå (v, ϕ) ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû íà ïëîñêîñòè; â ñëó÷àå ñôåðû θ = ctg v , ãäå v øèðîòà íà ñôåðå; âñëó÷àå ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî θ = cth v . Áîëåå ïîäðîáíî äëÿ âñåõ ïîâåðõíîñòåé Áåðòðàíà çàâèñèìîñòü ñì.
[56].Âåðíåìñÿ òåïåðü ê ðåàëèçóåìîñòè ïîâåðõíîñòåé Áåðòðàíà ñ èíäåôèíèòíîé ìåòðèêîé.Ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâî R32 ñ êîîðäèíàòàìè (x, y, z) è ïñåâäîðèìàíîâîé ìåòðèêîé ds2 =−dx2 −dy 2 +dz 2 . Ðàññìîòðèì ãëàäêóþ ðåãóëÿðíóþ êðèâóþ γ(θ) = (f (θ), g(θ)) â ïëîñêîñòèXOZ . Ïðè âðàùåíèè âîêðóã îñè OZ êðèâàÿ çàìåòàåò ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ S 0 , ðàäèóñ58âåêòîð òî÷êè (θ, ϕ) çàäà¼òñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: x(θ, ϕ)f (θ)cosϕ r(θ, ϕ) = y(θ, ϕ) = f (θ)sinϕ .z(θ, ϕ)g(θ)(3.1.2)Ïñåâäîðèìàíîâà ìåòðèêà íà S 0 ïðèìåò âèä:!−f 02 (θ) + g 02 (θ)0.0−f 2 (θ)(3.1.3)Êîîðäèíàòû (v, ϕ), â êîòîðûõ g 02 (v) − f 02 (v) ≡ 1, ò.å.
ïñåâäîðèìàíîâà ìåòðèêà (3.1.3) ïðèìåò âèä ds2 = dv 2 − f 2 (v)dϕ2 , íàçîâåì íàòóðàëüíûìè.Îïðåäåëåíèå 3.1.2. ïñåâäîðèìàíîâîì ñëó÷àå, â îòëè÷èå îò ðèìàíîâà, ïîëíîñòüþ ðåàëèçóþòñÿ âñå ïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà. ×òîáû óñòàíîâèòü ýòî âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùèì êðèòåðèåì.Ïîâåðõíîñòü S 0 ≈ (a, b) × S 1 ñ ïñåâäîðèìàíîâîé ìåòðèêîé (2.1.8) ðåàëèçóåòñÿ â R32 êàê ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà íà (a, b) âûïîëíåíî:Ëåììà 3.1.1.µ2 (θ2 + c − tθ−2 ) ≤ (θ + tθ−3 )2 .Äîêàçàòåëüñòâî. Â−f 2 =(3.1.4)ñàìîì äåëå â ñëó÷àå ðåàëèçóåìîñòèµ2 (θ21,+ c − tθ−2 )g 02 − f 02 =(θ21.+ c − tθ−2 )2Íåîáõîäèìîñòü ñëåäóåò èç öåïî÷êè ðàâåíñòâ:−2f f 0 = −2(θ + tθ−3 )(θ + tθ−3 )2(θ + tθ−3 )22 0202,ff=,f=−µ2 (θ2 + c − tθ−2 )2µ4 (θ2 + c − tθ−2 )4µ2 (θ2 + c − tθ−2 )3(θ + tθ−3 )21−.g = (g − f ) + f = 2(θ + c − tθ−2 )2 µ2 (θ2 + c − tθ−2 )302020202Âûðàæåíèå g 02 âñåãäà íåîòðèöàòåëüíî, îòñþäà ñëåäóåò óñëîâèå (3.1.4).
Åñëè ÷èòàòü ýòóöåïî÷êó ðàâåíñòâ ñ êîíöà ïîëó÷àåòñÿ äîñòàòî÷íîñòü, à èìåííî ïóñòü âûïîëíåíî (3.1.4).Òîãäà ðàññìîòðèì f (θ), g(θ) òàêèå, ÷òî:Z s11(θ + tθ−3 )2f2 = − 2 2,g(θ)=−dθ.µ (θ + c − tθ−2 )(θ2 + c − tθ−2 )2 µ2 (θ2 + c − tθ−2 )3Ïîñòðîèì ïîâåðõíîñòü S 0 êàê îïèñàíî ïåðåä ëåììîé, ó íå¼ áóäåò òðåáóåìàÿ ìåòðèêà(2.1.8). Ïðè ëþáîì äîïóñòèìîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðîâ c, t, µ ïîâåðõíîñòü ÁåðòðàíàS öåëèêîì ðåàëèçóåòñÿ â R32 êàê ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ S 0 .Òåîðåìà 8.059Äîêàçàòåëüñòâî.
Òåîðåìà ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûì ñëåäñòâèåì ëåììû 3.1.1, ò.ê. ëåâàÿ ÷àñòüíåðàâåíñòâà (3.1.4) âñåãäà îòðèöàòåëüíà, à ïðàâàÿ ïîëîæèòåëüíà. Ñàìîå èçâåñòíîå îïèñàíèå ïîâåðõíîñòåé Áåðòðàíà â ðèìàíîâîì ñëó÷àå â íàòóðàëüíûõêîîðäèíàòàõ äàë Ñàíòîïðåòå [24], õîòÿ îí ðàáîòàë â ïðîñòðàíñòâå R3 , åãî ðåçóëüòàò êàêè åãî äîêàçàòåëüñòâî ñïðàâäåëèâû è äëÿ àáñòðàêòíûõ (íå îáÿçàòåëüíî âëîæåííûõ â R3 )ìíîãîîáðàçèé Áåðòðàíà. Åãî òåîðåìà 1 äà¼ò íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ ñèëüíîçàìûêàþùåãî ïîòåíöèàëà íà ïîâåðõíîñòè ñ ìåòðèêîé (3.1.1) â âèäå äèôôåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé íà ìåòðèêó (ôóíêöèþ f (v)) ïðè äîïîëíèòåëüíîì ïðåäïîëîæåíèè îòñóòñòâèÿýêâàòîðîâ (f 0 (v) 6= 0).
Òåîðåìû 9, 10 îáîáùàþò ýòîò ðåçóëüòàò ñ ñèëüíî çàìûêàþùèõïîòåíöèàëîâ íà çàìûêàþùèå, ëîêàëüíî-çàìûêàþùèå, ïîëóëîêàëüíî-çàìûêàþùèå, ñëàáîçàìûêàþùèå ïîòåíöèàëû, à òàêæå íà ïñåâäîðèìàíîâ ñëó÷àé.Ïóñòü S ≈ (a, b) × S 1 ìíîãîîáðàçèå ñ êîîðäèíàòàìè (v, ϕ mod 2π) èðèìàíîâîé ìåòðèêîé ds2 = dv 2 +f 2 (v)dϕ2 , ãäå f (v) ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ íà (a, b) è f 0 (v) 6= 0íà (a, b). Òîãäà, åñëè ôóíêöèÿ f (v) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþÒåîðåìà 9.β 4 − 5(−f 00 f + f 02 )β 2 − 5f 00 f f 02 + 4f 002 f 2 − 3f 000 f 0 f 2 + 4f 04 = 0,(3.1.5)äëÿ íåîòðèöàòåëüíîé äåéñòâèòåëüíîé β , òî íà ýòîì ìíîãîîáðàçèè ñóùåñòâóþò êîîðäèíàòû (θ, ϕ mod 2π), òàêèå, ÷òî θ = θ(v), â êîòîðûõ ìåòðèêà èìååò âèä (2.1.2):ds2 =dϕ2dθ2+,(θ2 + c − tθ−2 )2 µ2 (θ2 + c − tθ−2 )(3.1.6)ãäå µ, c, t íåêîòîðûå âåùåñòâåííûå êîíñòàíòû, µ > 0.
Ïðè ýòîì µ ∈ { β1 , β2 }. Áîëåå2òîãî, åñëè f f 00 − f 02 ≡ const, òî f 00 f − f 02 ≡ − βi2 , äëÿ i ∈ {1, 2}, t = 0, µ = βi ; åñëèf f 00 − f 02 6= const, òî t 6= 0, µ 6= β2 .Îáðàòíî, äëÿ âñÿêîãî ìíîãîîáðàçèÿ Áåðòðàíà áåç ýêâàòîðîâ, ò.å. ðèìàíîâà ìíîãîîáðàçèÿ ñ ìåòðèêîé (3.1.6), ôóíêöèÿ f (v), ïîëó÷åííàÿ ïðè çàïèñè ìåòðèêè (3.1.6) â1íàòóðàëüíûõ êîîðäèíàòàõ, ò.å. f (v), îïðåäåë¼ííàÿ óñëîâèÿìè f 2 (v(θ)) = µ2 (θ2 +c−tθ−2 ) ,2v 0 (θ) = (θ2 + c − tθ−2 )−1 , óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (3.1.5) äëÿ êîíñòàíòû β := µ ïðèt 6= 0, äëÿ ëþáîé êîíñòàíòû β ∈ { µ1 , µ2 } ïðè t = 0.Ïîâåðõíîñòü S áóäåò áåðòðàíîâñêîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà β èëèµ áóäóò ðàöèîíàëüíûìè, îäíàêî ýêâèâàëåíòíîñòü óñëîâèé (3.1.5), (3.1.6) ñïðàâåäëèâà èïðè èððàöèîíàëüíûõ çíà÷åíèÿõ β, µ.Íàïîìíèì, ÷òî ïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà áûâàþò äâóõ âèäîâ: íà ïåðâûõ ñóùåñòâóþò äâàòèïà çàìûêàþùèõ ïîòåíöèàëîâ, ÷åìó ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèå ïàðàìåòðà t = 0, íà âòîðûõòîëüêî îäèí òèï çàìûêàþùåãî ïîòåíöèàëà, ÷åìó ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèå ïàðàìåòðà t 6= 0. íàòóðàëüíûõ êîîðäèíàòàõ óñëîâèå t = 0 çàïèñûâàåòñÿ â âèäå äèôôåðåíöèàëüíîãîóðàâíåíèÿ íà ôóíêöèþ f (v): f äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü îäíîìó èç ñëåäóþùèõ óðàâíåíèéÇàìå÷àíèå 3.1.1.602f f 00 − f 02 ≡ −β 2 , f f 00 − f 02 ≡ − β4 .
Çàìåòèì òàêæå, ÷òî åñëè f óäîâëåòâîðÿåò îäíîìó èçïåðå÷èñëåííûõ óðàâíåíèé, òî îíà óäîâëåòâîðÿåò è óðàâíåíèþ (3.1.5), à ñîîòâåòñòâóþùàÿ00ïîâåðõíîñòü ÿâëÿåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ ïîñòîÿííîé ãàóññîâîé êðèâèçíû K = − ff .Îòìåòèì òàêæå, ÷òî â áåðòðàíîâñêèõ êîîðäèíàòàõ äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (3.1.5)000002ïðèíèìàåò âèä 1 + 5ηΘ− 3ηΘΘη + 4ηΘ= 0, ãäå ôóíêöèÿ η(Θ) = βf2vf(v(Θ))ñîîòâåòñòâóåò(v(Θ))ëîãàðèôìè÷åñêîé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè f (v), à v 0 (Θ) = f 2 (v(Θ)). Áîëåå òîãî, âûïèñàííîåóðàâíåíèå îáëàäàåò äâóìÿ ñèììåòðèÿìè, â ò.÷.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
