Геометрия гамильтоновых систем для многообразий и потенциалов Бертрана (1102755), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Îäíàêî ìîæíî îáîáùèòü èõ íà ñëó÷àé ïñåâäîðèìàíîâûõ ïîâåðõíîñòåé, îòâå÷àþùèõ çíà÷åíèÿì ïàðàìåòðîâ t = 0, µ = 1, íî ñíà÷àëàñôîðìóëèðóåì îäíî ïðîñòîå óòâåðæäåíèå.Ïóñòü S (S 0 ) ðèìàíîâà (ïñåâäîðèìàíîâà) ïîâåðõíîñòü Áåðòðàíà,ðåàëèçîâàííàÿ â R3 (R32 ), à V çàìûêàþùèé ïîòåíöèàë íà íåé. Òîãäà îðáèòû áóäóòñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòåé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç îñü âðàùåíèÿ ïîâåðõíîñòèè òî÷åê ýêñòðåìóìîâ.Óòâåðæäåíèå 14.Ýòî óòâåðæäåíèå ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûì ñëåäñòâèåì ïðåäëîæåíèÿ 2.2.
Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå îáîáùàåò ïåðâûé çàêîí Êåïëåðà íà ïîâåðõíîñòè ñ èíäåôèíèòíîé ìåòðèêîé.Ïóñòü S 0 ïîâåðõíîñòü Áåðòðàíà ñ ïñåâäîðèìàíîâîé ìåòðèêîé223ds2 = (θ2dθ+c)2 + (θdϕ2 +c) , ðåàëèçîâàííàÿ â R2 . Ïóñòü íà íåé äåéñòâóåò àíàëîã íüþòîíîâñêîãî ïîòåíöèàëà V1 èëè àíàëîã ãóêîâñêîãî V2 . Òîãäà äâèæåíèå ïî S 0 ïîä äåéñòâèåì V1(ñîîòâåòñòâåííî V2 ) áóäåò ïðîèñõîäèòü ïî êîíè÷åñêèì ñå÷åíèÿì, ãäå êîíóñ ÿâëÿåòñÿêâàäðèêîé è åãî öåíòð ðàñïîëîæåí íà îñè âðàùåíèÿ.Óòâåðæäåíèå 15.Òî÷êà ñ êîîðäèíàòàìè (θ, ϕ) ëåæèò íà ïîâåðõíîñòè (x, y, z) =(f (θ) cos ϕ, f (θ) sin ϕ, g(θ)). Ïðè ýòîì äëÿ ïîòåíöèàëà V1 ñîãëàñíî (2.2.18) θ è ϕ ñâÿçàíûñîîòíîøåíèåì θ = a + b cos ϕ.
Âûðàçèì â ýòîì ñîîòíîøåíèè θ è cos ϕ ÷åðåç (X, Y, Z).√√Êîñèíóñ âûðàæàåòñÿ òàê cos ϕ = X/ X 2 + Y 2 , θ âûðàæàåòñÿ òàê θ = −c √X 2Z+Y 2 (èç g 02 −Äîêàçàòåëüñòâî.701c2f 02 = (θ2 +c)= − θ21+c íàõîäèì g 02 = (θ2 +c)2 è f3 , èíòåãðèðóåì g =√√ gZθ = −c f = −c √X 2 +Y 2 ).
Ïîñëå ïîäñòàíîâêè ïîëó÷èòñÿ√−c √θc(θ2 +c)è óñòàíàâëèâàåìZX= a + b√,X2 + Y 2X2 + Y 2à ýòî óæå óðàâíåíèå êâàäðàòè÷íîãî êîíóñà ñ âåðøèíîé íà îñè OZ .22 −Y 2, θ2 = −c X 2Z+Y 2 ). Àíàëîãè÷íî äëÿ ïîòåíöèàëà V2 (cos 2ϕ = XX 2 +Y 2Ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå ñôîðìóëèðîâàíî äëÿ îðáèò, êîòîðûå çàìûêàþòñÿ çà îäèí âèòîê (µ = 1).Ïðè t 6= 0 íåÿñíî ÿâëÿþòñÿ ëè îðáèòû êîíè÷åñêèìè ñå÷åíèÿìè, íî îíè ñîõðàíÿþòíåêîòîðûå ñâîéñòâà ýëëèïñà. Âî-ïåðâûõ, îáùèé âèä óðàâíåíèÿ (2.2.19) θ2 = p1 (1+e cos 2ϕ)íàïîìèíàåò óðàâíåíèå ýëëèïñà â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ (â ñëó÷àå R2 ñ ïîëÿðíûìè êîîðäèíàòàìè (r, ϕ) áåðòðàíîâñêèå êîîðäèíàòû îïðåäåëÿþòñÿ òàê θ = 1/r).
Âî-âòîðûõ, îðáèòàèìååò 2 îñè ñèììåòðèè.Â-òðåòüèõ, äëÿ îðáèò ìîæíî ââåñòè ïîíÿòèå ýêñöåíòðèñèòåòà. Íà ïëîñêîñòè êâàäðèêè çàäàþòñÿ ýêñöåíòðèñèòåòîì ñ òî÷íîñòüþ äî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîäîáèÿ, ò.å. ëþáûå äâåêâàäðèêè ñ îäèíàêîâûì e ïîäîáíû.  ñëó÷àå ïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà (êàê ñ ðèìàíîâîéòàê è ñ ïñåâäîðèìàíîâîé ìåòðèêîé) íàçîâ¼ì ýêñöåíòðèñèòåòîì îðáèòû âåëè÷èíó e =r1+t− 2A2K2E−B− 2cK2. Òîãäà åñëè âçÿòü îðáèòó ñ òåì æå ýêñöåíòðèñèòåòîì, íî äðóãèìE−BK2− 2c ,()òî îäíà ïåðåâîäèòñÿ â äðóãóþ ñ ïîìîùüþ óìíîæåíèÿ: γ1 (θ, ϕ) → γ2 (θ, ϕ) = γ1 (x ∗ θ, ϕ).Â-÷åòâåðòûõ ñïðàâåäëèâî îáîáùåíèå ñëåäóþùåãî ïðîñòîãî ñâîéñòâà êâàäðèê íà ïëîñêîñòè: åñëè ïîâåðíóòü íà ïëîñêîñòè ýëëèïñ (ïàðàáîëó) íà 90 ãðàäóñîâ (è äàæå ñäâèíóòü),òî òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ åãî ñ èñõîäíûì ýëëèïñîì (åñëè ñäâèãà íå áûëî, èõ áóäåò 4) áóäóòëåæàòü íà îäíîé îêðóæíîñòè (äîñòàòî÷íî ñëîæèòü èõ óðàâíåíèÿ â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ).
Çäåñü æå ðîëü ïîâîðîòà ñûãðàåò ïîäñòàíîâêà ϕ → ϕ + π2 , êîòîðàÿ äàñò ïîâ¼ðíóòóþîðáèòó. Îêàçûâàåòñÿ å¼ ïåðåñå÷åíèå ñ èñõîäíîé îðáèòîé áóäåò ñîñòîÿòü èç 4 òî÷åê, ëåæàùèõ íà îäíîé ïàðàëëåëè.71Ãëàâà 4Ãàìèëüòîíîâ ïîäõîä ïðåäûäóùèõ ãëàâàõ ê ñèñòåìàì Áåðòðàíà ïðèìåíÿëñÿ ëàãðàíæåâ ïîäõîä. Îäíàêî ñèñòåìà Áåðòðàíà ÿâëÿåòñÿ â òî æå âðåìÿ è ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìîé ñ ÷åòûðåõìåðíûìôàçîâûì ïðîñòðàíñòâîì M 4 . Áåðòðàíîâñêàÿ ñèñòåìà èíòåãðèðóåìà, ïîëíàÿ ýíåðãèÿ E èêèíåòè÷åñêèé ìîìåíò K å¼ ïåðâûå èíòåãðàëû. Äëÿ íåêîòîðûõ áåðòðàíîâñêèõ ñèñòåì(ðèìàíîâ ñëó÷àé, t = 0) ïîñòðîåí òàêæå òðåòèé ïåðâûé èíòåãðàë, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì âåêòîðà Ëàïëàñà-Ðóíãå-Ëåíöà [25] (çàìåòèì, ÷òî âåêòîð Ëàïëàñà-Ðóíãå-Ëåíöàóäàëîñü îáîáùèòü òàêæå è íà îñòàëüíûå ïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà [1]), òàêèì îáðàçîì, äëÿòàêèõ ñèñòåì íàéäåí ìàêñèìàëüíûé íàáîð ïåðâûõ èíòåãðàëîâ.
Ñèñòåìà Áåðòðàíà î÷åíüïîõîæà íà èíòåãðèðóåìûå ïî Ëèóâèëëþ ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû [33], íî òàêîâîé íå ÿâëÿåòñÿ â ñèëó íåïîëíîòû ôàçîâûõ ïîòîêîâ. Îäíàêî îíà ñîõðàíÿåò ìíîãèå ñâîéñòâà èíòåãðèðóåìûõ ïî Ëèóâèëëþ ñèñòåì, â ò.÷. å¼ ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî M 4 ñëîèòñÿ íà ñîâìåñòíûåïîâåðõíîñòè óðîâíåé èíòåãðàëîâ E è K , ñâÿçíûå êîìïîíåíòû êîòîðûõ ëèáî îêðóæíîñòè, ëèáî òîðû, ëèáî öèëèíäðû. Ñèñòåìà Áåðòðàíà áîãàòà ðàçëè÷íûìè îñîáåííîñòÿìè:ó íå¼ íå âñåãäà ïîëíû ôàçîâûå ïîòîêè, ó íå¼ åñòü íåêîìïàêòíûå ñëîè è íåêîìïàêòíûåïåðåñòðîéêè, ó íå¼ âñå òîðû Ëèóâèëëÿ ðåçîíàíñíû. Íåñìîòðÿ íà âñå ýòî çäåñü ðàáîòàþòáîëüøèíñòâî ìåòîäîâ, ðàçðàáîòàííûõ è ïðèìåíÿåìûõ äëÿ èíòåãðèðóåìûõ ïî Ëèóâèëëþ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì c êîìïàêòíûìè èçîýíåðãåòè÷åñêèìè ïîâåðõíîñòÿìè [32]-[34],[41]-[42], [45]-[53], [54]. äàííîé ãëàâå áóäåò ïîäðîáíî îïèñàíà òîïîëîãèÿ ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ ñèñòåìû Áåðòðàíà, èññëåäîâàíà ïîëíîòà ôàçîâûõ ïîòîêîâ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ E è K , à òàêæå âîçíèêàþùèå ïåðåñòðîéêè ñëîåâ ïðè èçìåíåíèè E è K , ïîñòðîåíû ðàñøèðåííûå áèôóðêàöèîííûåäèàãðàììû.4.1Ñèñòåìà Áåðòðàíà êàê ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìàÏðåäñòàâëåíèå ñèñòåìû Áåðòðàíà êàê ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû ïîçâîëèò íàì ïðèìåíèòüê åå èçó÷åíèþ íîâûå ìåòîäû è ïîëó÷èòü íîâûå ðåçóëüòàòû.
Ïóñòü ó íàñ çàäàíî ïðîèç-72âîëüíîå ãëàäêîå ìíîãîîáðàçèå âðàùåíèÿ S ≈ (a, b) × S 1 (ñîîòâåòñòâåííî S 0 ) ñ êîîðäèíàòàìè (u, ϕ mod 2π) è ðèìàíîâîé ìåòðèêîé (1.1.1) (ïñåâäîðèìàíîâîé ìåòðèêîé (1.1.2)).Ïóñòü íà S (íà S 0 ) äåéñòâóåò öåíòðàëüíûé ãëàäêèé ïîòåíöèàë V (u). Òîãäà òàêàÿ ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ ãàìèëüòîíîâîé. Ñîîòâåòñòâóþùèå èìïóëüñû èìåþò âèä pu := ∂L= a211 (u)u̇,∂ u̇pϕ := ∂L= ε̂a222 (u)ϕ̇, ãäå L ëàãðàíæèàí, à ãàìèëüòîíèàí H =∂ ϕ̇Äâèæåíèå çàäàåòñÿ óðàâíåíèÿìè Ãàìèëüòîíà:∂H,u̇ = ∂pu ϕ̇ = ∂H ,∂pϕṗu = − ∂H,∂u ṗ = − ∂H .ϕp2u2a211 (u)p2+ ε̂ 2a2 ϕ(u) + V (u).22(4.1.1)∂ϕÍàïîìíèì, ÷òî âåëè÷èíà ε̂ ââåäåíà äëÿ åäèíîîáðàçèÿ çàïèñè ôîðìóë â ðèìàíîâîì è ïñåâäîðèìàíîâîì ñëó÷àÿõ (ñì. îïðåäåëåíèå 1.1.1), è ñîîòâåòñòâåííî ðàâíà åäèíèöå â ïåðâîìè ìèíóñ åäèíèöå âî âòîðîì.
Êîãäà ïîâåðõíîñòü S (èëè S 0 ) è ïîòåíöèàë V áåðòðàíîâñêèå,òî óðàâíåíèÿ (4.1.1) ìîæíî ðåøèòü â áåðòðàíîâñêèõ êîîäðèíàòàõ (θ, ϕ) (ñì. çàìå÷àíèå1.1.2) è çàïèñàòü ðåøåíèå â âèäå ôóíêöèè ~r(t) = (θ(t), ϕ(t)), ò.å. íàéòè òðàåêòîðèè (ñì.îïðåäåëåíèå 1.1.3) íà S (èëè S 0 ). Ïî òðàåêòîðèè ~r(t) âîññòàíàâëèâàåòñÿ îðáèòà, à òàêæåôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ ~rM (t) = (θ(t), ϕ(t), pθ (t), pϕ (t)).Áîëüøóþ ïîìîùü â èíòåãðèðîâàíèè óðàâíåíèé (4.1.1) îêàçûâàþò ïåðâûå èíòåãðàëûïîëíîé ýíåðãèè E è êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà K , êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ òàêîâûìè íå òîëüêî äëÿ áåðòðàíîâñêîé ïàðû (S, V ), íî è äëÿ ïðîèçâîëüíîé ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ S èöåíòðàëüíîãî (íå çàâèñÿùåãî îò óãëîâîé êîîðäèíàòû ϕ) ïîòåíöèàëà V :E=H=p2ϕp2u+ε̂+ V (u),2a211 (u)2a222 (u)K = pϕ .(4.1.2)(4.1.3)Ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìîé Áåðòðàíà íàçîâåì îãðàíè÷åíèå ñèñòåìû (4.1.1) íà èíâàðèàíòíîå ïîäìíîæåñòâî M 4 := (T ∗ S) \ {pϕ = 0}.
Ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî M 4 ñèñòåìûïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ ÷åòûðåõìåðíîå ìíîãîîáðàçèå âðàùåíèÿ (a, b) × S 1 × R1 × (R1 \ {0})(êîêàñàòåëüíîå ðàññëîåíèå ê S , èç êîòîðîãî óäàëåíû ôàçîâûå îðáèòû, îòâå÷àþùèå îñîáûì îðáèòàì). Íà M 4 îïðåäåëåíû êîîðäèíàòû (u, ϕ, pu , pϕ ).Ñèìïëåêòè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèå M ýòî ìíîãîîáðàçèå ñ çàäàííîéíà íåì íåâûðîæäåííîé çàìêíóòîé 2-ôîðìîé ω . Ôîðìà ω íàçûâàåòñÿ ñèìïëåêòè÷åñêîé.Îïðåäåëåíèå 4.1.1.Ëþáîå ñèìïëåêòè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèå ÿâëÿåòñÿ îðèåíòèðóåìûì è ÷åòíîìåðíûì.Ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî M 4 îïèñàííîé âûøå äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ñèìïëåêòè÷åñêîåìíîãîîáðàçèå ñ êàíîíè÷åñêîé ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðîéω = du ∧ dpu + dϕ ∧ dpϕ .73(4.1.4)Íàëè÷èå ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðû ïîçâîëÿåò êàíîíè÷åñêè îïðåäåëèòü âåêòîð êîñîãîãðàäèåíòà îò ñêàëÿðíîé ãëàäêîé ôóíêöèè F íà M 4 è ñêîáêó Ïóàññîíà [33].Äëÿ ãëàäêîé ôóíêöèè F íà ñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèè (M 2n , ω)îïðåäåë¼í âåêòîð êîñîãî ãðàäèåíòà sgrad F (u): êîîðäèíàòû âåêòîðà sgrad F (u) îïðåäåëÿþòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ ω(v, sgrad F ) = v(F ), êîòîðîå äîëæíî áûòü âûïîëíåíî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ v íà M 2n .
 ëîêàëüíûõ êîîðäèíàòàõÎïðåäåëåíèå 4.1.2.(sgrad F )i = ω ij∂F,∂xj(4.1.5)ãäå ω ij ìàòðèöà, îáðàòíàÿ ê ωij ìàòðèöå ñèìïëåêòè÷åñêîé ôîðìû (4.1.4).Âåêòîð êîñîãî ãðàäèåíòà sgrad F ÿâëÿåòñÿ äâîéñòâåííûì ê êîâåêòîðó ãðàäèåíòà dFîòíîñèòåëüíî íåâûðîæäåííîé ôîðìû ω .Ñêîáêîé Ïóàññîíà íà ìíîãîîáðàçèè M íàçûâàåòñÿ áèëèíåéíîåîòîáðàæåíèå {·, ·}: C (M ) × C ∞ (M ) → C ∞ (M ), ñòàâÿùåå â ñîîòâåòñòâèå ïàðå ãëàäêèõôóíêöèé ãëàäêóþ ôóíêöèþ, è óäîâëåòâîðÿþùåå ïðàâèëàì êîñîé ñèììåòðèè, ßêîáè èËåéáíèöà:Îïðåäåëåíèå 4.1.3.∞{f, g} = −{g, f },(4.1.6){f, {g, h}} + {g, {h, f }} + {h, {f, g}} = 0,(4.1.7){f g, h} = f {g, h} + g{f, h}.(4.1.8)Ìíîãîîáðàçèå, íà êîòîðîì ââåäåíà ñêîáêà Ïóàññîíà, íàçûâàåòñÿ ïóàññîíîâûì.Ëþáîå ñèìïëåêòè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèå ÿâëÿåòñÿ ïóàññîíîâûì (îáðàòíîå, âîîáùå ãîâîðÿ, íå âåðíî), ò.ê.
äëÿ äâóõ ãëàäêèõ ôóíêöèé F, G ñêîáêó Ïóàññîíà ìîæíî ââåñòèñëåäóþùèì îáðàçîì{F, G} = ω(sgrad F, sgrad G) ⇔ {F, G} = ω ij∂F ∂G.∂xi ∂xjÑêàæåì, ÷òî äâå ãëàäêèå ôóíêöèè F, G íà M 4 íàõîäÿòñÿ â èíâîëþöèè èëè êîììóòèðóþò, åñëè {F, G} = 0. Ôóíêöèÿ, ðàâíàÿ òîæäåñòâåííî êîíñòàíòå, êîììóòèðóåò ñ ëþáîéäðóãîé. òåðìèíàõ ñêîáêè Ïóàññîíà óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà (4.1.1) ïåðåïèøóòñÿ â âèäå:u̇ = {H, u},ϕ̇ = {H, ϕ},ṗu = {H, pu },ṗϕ = {H, pϕ }.74(4.1.9)Èíòåãðàëüíûå êðèâûå ñèñòåìû (4.1.9) ïðåäñòàâëÿþò èç ñåáÿ êðèâûå âåêòîðíîãî ïîëÿsgrad H .
Ôóíêöèÿ F íà M ïåðâûé èíòåãðàë ñèñòåìû (4.1.9), åñëè îíà ïîñòîÿííà íàèíòåãðàëüíûõ êðèâûõ ïîëÿ sgrad H , ÷òî ñîîòâåòñòâóåò Ḟ = {H, F } = 0.Ãàìèëüòîíîâó ñèñòåìó (M 2n , ω, H ), îïðåäåëåííóþ íà ñèìïëåêòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèè (M 2n , ω), ãäå H ãëàäêèé ãàìèëüòîíèàí, íàçîâåì âïîëíå èíòåãðèðóåìîé ïî Ëèóâèëëþ, åñëè ñóùåñòâóåò n ïåðâûõ èíòåãðàëîâ f1 , f2 , ...fn ïîëÿ sgrad H ,êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì:Îïðåäåëåíèå 4.1.4.• f1 , f2 , ..., fn ôóíêöèîíàëüíî íåçàâèñèìû, ò.å.
ïî÷òè âñþäó íà M 2n èõ ãðàäèåíòû ëèíåéíî íåçàâèñèìû,• f1 , f2 , ..., fn ïîïàðíî êîììóòèðóþò, ò.å. {fi , fj } = 0,• ôàçîâûå ïîòîêè ïîëåé sgrad f1 , ... sgrad fn ïîëíû, ò.å. åñòåñòâåííûé ïàðàìåòð íàèíòåãðàëüíûõ êðèâûõ ïðîäîëæàåòñÿ äî áåñêîíå÷íîñòè â îáå ñòîðîíû.Ñîâìåñòíîé ðåãóëÿðíîé ïîâåðõíîñòüþ Ta1 ,...an óðîâíÿ ôóíêöèé f1 , ..., fn íàçîâ¼ì ïîâåðõíîñòü Ta1 ,...an := {x ∈ M 2n : f1 (x) = a1 , ..., fn (x) = an } òàêóþ, ÷òî â êàæäîé òî÷êåx ∈ Ta1 ,...an ãðàäèåíòû grad f1 , ... grad fn ëèíåéíî íåçàâèñèìû.
Ðàçáèåíèå ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà M 2n íà ñâÿçíûå êîìïîíåíòû ñîâìåñòíûõ ïîâåðõíîñòåé óðîâíÿ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ íàçîâåì ñëîåíèåì Ëèóâèëëÿ. Äëÿ ñîâìåñòíîé ïîâåðõíîñòè ïåðâûõ èíòåãðàëîâ f1 , ...fnâïîëíå èíòåãðèðóåìûõ ïî Ëèóâèëëþ ñèñòåì âûïîëíÿåòñÿ òåîðåìà Ëèóâèëëÿ [33].(Òåîðåìà Ëèóâèëëÿ).
Ïóñòü (M 2n , ω, H = f1 , f2 , ..., fn ) âïîëíå èíòåãðèðóåìàÿ ïî Ëèóâèëëþ ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà. Òîãäà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:Òåîðåìà 111. ñîâìåñòíàÿ ðåãóëÿðíàÿ ñâÿçíàÿ ïîâåðõíîñòü Ta1 ,...an óðîâíÿ èíòåãðàëîâ f1 , ...fn èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ïîòîêîâ sgrad f1 , ..., sgrad fn è åñëè îíà êîìïàêòíà, òîäèôôåîìîðôíà n-ìåðíîìó òîðó T n , êîòîðûé íàçûâàåòñÿ òîðîì Ëèóâèëëÿ;2. ñëîåíèå Ëèóâèëëÿ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè U òîðà Ëèóâèëëÿ Ta1 ,...an äèôôåîìîðôíî ïðÿìîìó ïðîèçâåäåíèþ òîðà T n íà äèñê Dn ;3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
